85726 (589863), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Рисунок 3.1

Заявки поступают двух типов: положительные и отрицательные. Впервые модель введена в работе [8]. На рисунке 3.1 положительные заявки обозначены знаком плюс, а отрицательные знаком минус, , – потоки на -ый узел, – поток с -ого узла, . На выходе только положительные заявки, дальше положительные заявки разбиваются на положительные и отрицательные.

Дисциплины обслуживания заявок в системах сети определяются следующим образом.

а) Если на приборе нет заявок, то отрицательная заявка, поступающая на прибор, теряется;

б) Если на приборе нет заявок, то поступающая положительная заявка начинает обслуживаться;

в) Если на приборе заявка положительная, то пришедшая отрицательная заявка выбивает заявку с прибора и положительная заявка теряется.

г) Если в очереди заявок положительных, то приходящая отрицательная заявка, вытесняет последнюю (положительную) заявку и в очереди становится заявка ( -ая положительная и отрицательная заявка теряется).

Состояние сети описывается случайным процессом

,

где – число положительных заявок в момент , соответственно в первом, втором, третьем узле. В соответствии с разделом 1 и учитывая формулу (3.1) – марковский процесс.

Таким образом, в соответствии с определением 1.3 и вышесказанном, построена марковская модель открытой сети с тремя узлами и разнотипными заявками.

3.1 Составление уравнений трафика

Р ассмотрим изолированный -й узел ( ), считая, что на него поступает поток заявок интенсивности . Граф переходов изобразится следующим образом.

0 1 2 … …

Рисунок 3.1.1

Тогда в соответствии с рисунком 3.1.1, получим следующие соотношения

, , (3.1.1)

где .

Согласно рисунку 3.1

, . (3.1.2)

Для марковской модели сети с тремя узлами и разнотипными заявками уравнения трафика имеют следующий вид:

,

,

,

,

,

.

Учитывая формулу (3.1.2) запишем ещё три уравнения

,

,

.

Таким образом, уравнения трафика имеют следующий вид

. (3.1.3)

, (3.1.4)

, (3.1.5)

, (3.1.6)

, (3.1.7)

, (3.1.8)

, (3.1.9)

, (3.1.10)

, (3.1.11)

Подставим формулу (3.1.9) в (3.1.5) и (3.1.6), формулу (3.1.10) в (3.1.7) и (3.1.8), а формулу (3.1.11) в (3.1.3) и (3.1.4). Тогда уравнения трафика запишутся следующим образом

, (3.1.12)

, (3.1.13)

, (3.1.14)

, (3.1.15)

, (3.1.16)

. (3.1.17)

3.2 Нахождение решений уравнений трафика

Положительность решения уравнений трафика для достаточно общей модели доказана в работе [9].

Для нахождения решений уравнений трафика составим уравнение относительно . Для этого преобразуем формулу (3.1.12), перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю

. (3.2.1)

Так как , то формула (3.2.1) примет следующий вид

. (3.2.2)

Подставляя формулу (3.1.14) и (3.1.15) в (3.1.16) имеем

.

Приводим к общему знаменателю

. (3.2.3)

Подставим формулу, полученную из формулы (3.1.13) вычетом формулы (3.1.12), получим , в формулу (3.2.3), получим

,

. (3.2.4)

Обозначим и , тогда

. (3.2.5)

В соответствии с формулами (3.1.16) и (3.1.17)

. (3.2.6)

Учитывая формулу (3.2.6) и (3.2.5), получим

. (3.2.7)

Подставим формулы (3.2.5) и (3.2.6) в формулу (3.2.2), имеем

. (3.2.8)

Так как , то формула (3.2.8) примет следующий вид

. (3.2.9)

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, запишем формулу (3.2.9) в виде

(3.2.10)

Таким образом, полученное уравнение (3.2.10) квадратное, то есть

, (3.2.11)

где коэффициенты , учитывая обозначения и формулу (3.2.10), определяются следующим образом

, (3.2.12)

, (3.2.13)

. (3.2.14)

Для уравнения (3.2.11) найдём дискриминант, учитывая формулы (3.2.12), (3.2.13), (3.2.14), имеем

.

Для получения решения уравнения (3.2.11) должно выполнятся следующее условие , а это возможно тогда, когда

.

Согласно формуле , получим

,

то есть

. (3.2.15)

В соответствии с рисунком 3.1, формула (3.2.15) есть условие эргодичности. Если это условие не выполняется, то нет стационарного распределения.

Учитывая формулы (3.2.12), (3.2.14), (3.2.15) получим, что , . Согласно обратной теореме Виета, если - корни уравнения (3.2.11), то выполняются следующие соотношения

Так как , то один из корней положительный и один отрицательный.

Таким образом, уравнение (3.2.11) имеет одно положительное решение. То есть система уравнений трафика (3.1.12) – (3.1.17) имеет положительное решение.

3.3 Уравнения равновесия

В соответствии, с рисунком 3.1 составим уравнения равновесия

(3.3.1)

.

3.4 Определение вида стационарного распределения

Стационарное распределение представимо в форме произведения множителей характеризующих узлы; каждый множитель есть стационарное распределение узла, то есть

.

Стационарное распределение -ого узла имеет вид

,

где

, .

Таким образом, стационарное распределение имеет следующий вид

. (3.4.1)

Обозначим через

, , .

Тогда в этих обозначениях формула (3.4.1) запишется в следующем виде

. (3.4.2)

Подставляя формулу (3.4.2) в уравнения равновесия (3.3.1), получим

(3.4.3)

.

Разделим обе части уравнения (3.4.3) на , получим

(3.4.4)

.

Через запишем уравнения трафика (3.1.12) – (3.1.17)

, (3.4.5)

, (3.4.6)

, (3.4.7)

, (3.4.8)

, (3.4.9)

. (3.4.10)

Так как , ( ), то получим следующие соотношения

, (3.4.11)

, (3.4.12)

. (3.4.13)

Рассмотрим всевозможные случаи числа заявок в марковской модели сети с тремя узлами и разнотипными заявками. То есть следующие случаи

1) , , ;

2) , , ;

3) , , ;

4) , , ;

5) , , ;

6) , , ;

7) , , ;

8) , , ;

Подставляя значения в уравнение (3.4.4), учитывая уравнения (3.4.5) – (3.4.13), проверим, удовлетворяет стационарное распределение (3.4.1) уравнениям равновесия (3.3.1). Рассмотрим каждый из случаев 1) – 8) отдельно.

Рассмотрим первый случай , ,

.

Согласно формуле (3.4.6) , формуле (3.4.8) , , формуле (3.4.10) , формуле (3.4.9) , получим

,

.

В соответствии с формулой (3.4.5) , формулой (3.4.12) , формулой (3.4.13) . Из формул (3.4.9), (3.4.10) , тогда имеем

,

.

Согласно формуле (3.4.9) , формуле (3.4.10) . Из формул (3.4.7) и (3.4.8) , получим

,

.

А это есть формула (3.4.11), то есть случай 1) выполняется.

Рассмотрим второй случай , ,

,

Согласно формуле (3.4.5) , формуле (3.4.6) , формуле (3.4.8) , , формуле (3.4.10) , формуле (3.4.10) . Из формул (3.4.5) и (3.4.6) . Раскроем скобки и перенесём всё в правую часть, получим

.

В соответствии с формулой (3.4.13) , формулой (3.4.12). Из формул (3.4.9), (3.4.10) , тогда

.

Согласно формуле (3.4.11) , ,формуле (3.4.12) . Из формул (3.4.7) и (3.4.8) , получим

.

, то есть случай 2) выполняется.

Аналогично выполняются 3) – 8).

Таким образом, случаи 1) – 8) превращаются в верное равенство. То есть стационарное распределение (3.4.1) есть решение уравнения равновесия (3.3.1), если выполняется условие эргодичности , .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе проведено исследование открытых марковских и полумарковских сетей массового обслуживания с тремя узлами и циклической маршрутизацией.

Получены следующие основные результаты:

Для марковской модели сети с тремя узлами, записаны уравнения равновесия (формула 1.1.3), получено достаточное условие эргодичности (формула 1.3.1) и найдено стационарное распределение (формула 1.2.9).

Для полумарковской модели сети с тремя узлами, определен вид дифференциально-разностных уравнений Колмогорова (формула 2.1.4), найдено стационарное распределение (формула 2.2.1) и доказана инвариантность (см. 2.3).

Для марковской модели сети с тремя узлами и разнотипными заявками, составлены уравнения равновесия (формула 3.3.1), найдено стационарное распределение (формула 3.4.1) и получено достаточное условие эргодичности (формула 3.2.15).

Результаты работы могут быть применены при проектировании и эксплуатации сетей передачи данных, информационно-вычислительных сетей, сетей ЭВМ и многих других технических объектов.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Малинковский Ю.В. Теория массового обслуживания. – Гомель: Бел ГУТ, 1998. – 100с.

2. Буриков А.Д., Малинковский Ю.В., Маталыцкий М.А. Теория массового обслуживания. – Гродно: ГрГУ, 1984. – 108с.

3. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. – М.: Высшая школа, 1982. – 256с.

4. Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероят-ностей: Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. – М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1986. – 328с.

5. Кениг Д., Штоян Д. Методы теории массового обслуживания: Пер. с нем.// Под ред. Г.П. Климова. – М.: Радио и связь, 1981. – 128с.

6. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. – М.: Наука, 1966. – 431с.

7. Ширяев А.Н. Вероятность. – М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1980 – 575с.

8. Gelenbe E. Product Form Queueing Networks with Negative and Positive Customers // J. Appl. Probab. – 1991. – V. 28. – P. 656 – 663.

9. Gelenbe E., Shassberger R. Stability of Product-Form G-networks // Probab. in Eng. and Inform. Sci. – 1992. – No. 6. – P. 271 – 276.

Приложение 1 Список опубликованных работ

1. Гарбуза И.В. Марковская и полумарковская модели открытой сети с тремя узлами// Материалы V международной межвузовской научно-технической конференции студентов, магистрантов и аспирантов «Исследования и разработка в области машиностроения, энергетики и управления 2005» Гомель, 2005 г.

2. Гарбуза И.В. Стационарное распределение и его инвариантность для модели открытой сети с тремя узлами// Творчество молодых’2005 Сборник научных работ студентов и аспирантов Гомельского Государственного университета им. Ф. Скорины. Гомель, 2005 г.

Характеристики

Список файлов ВКР