Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики
преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

на тему: Кольцо целых чисел Гаусса.

Выполнил:

студент V курса

математического факультета

Гнусов В.В.

___________________________

Научный руководитель:

старший преподаватель кафедры

алгебры и геометрии

Семенов А.Н..

___________________________

Рецензент:

кандидат физ.-мат. наук, доцент

кафедры алгебры и геометрии

Ковязина Е.М.

___________________________

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой________________ Вечтомов Е.М.

« »________________

Декан факультета___________________ Варанкина В.И.

« »________________

Киров 2005

Содержание.

Введение. 2

ГЛАВА 1. ДЕЛИМОСТЬ В КОЛЬЦЕ ЧИСЕЛ ГАУССА. 3

1.1 ОБРАТИМЫЕ И СОЮЗНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. 4

1.2 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ. 5

1.3 НОД. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА. 6

1.4 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ. 9

ГЛАВА 2. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ГАУССА. 12

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЕЛ ГАУССА. 17

Заключение. 23

Введение.

Кольцо целых комплексных чисел было открыто Карлом Гауссом и названо в его честь гауссовым.

К. Гаусс пришел к мысли о возможности и необходимости расширения понятия целого числа в связи с поиском алгоритмов решения сравнений второй степени. Он перенес понятие целого числа на числа вида , где — произвольные целые числа, а — является корнем уравнения На данном множестве К. Гаусс впервые построил теорию делимости, аналогичную теории делимости целых чисел. Он обосновал справедливость основных свойств делимости; показал, что в кольце комплексных чисел существует только четыре обратимых элемента: ; доказал справедливость теоремы о делении с остатком, теоремы о единственности разложения на простые множители; показал какие простые натуральные числа останутся простыми и в кольце ; выяснил природу простых целых комплексных чисел.

Развитая К. Гауссом теория, описанная в его труде «Арифметические исследования», явилась фундаментальным открытием для теории чисел и алгебры.

В выпускной работе были поставлены следующие цели:

1. Развить теорию делимости в кольце чисел Гаусса.

2. Выяснить природу простых гауссовых чисел.

3. Показать применение гауссовых чисел при решении обычных диофантовых задач.

ГЛАВА 1. ДЕЛИМОСТЬ В КОЛЬЦЕ ЧИСЕЛ ГАУССА.

Рассмотрим множество комплексных чисел. По аналогии с множеством действительных чисел в нем можно выделить некоторое подмножество целых чисел. Множество чисел вида , где назовем целыми комплексными числами или гауссовыми числами. Нетрудно проверить, что для этого множества выполняются аксиомы кольца. Таким образом, это множество комплексных чисел является кольцом и называется кольцом целых чисел Гаусса. Обозначим его как , так как оно является расширением кольца элементом: .

Поскольку кольцо гауссовых чисел является подмножеством комплексных чисел, то для него справедливы некоторые определения и свойства комплексных чисел. Так, например, каждому гауссовому числу соответствует вектор с началом в точке и с концом в . Следовательно, модуль гауссова числа есть . Заметим, что в рассматриваемом множестве, подмодульное выражение всегда есть число неотрицательное целое. Поэтому в некоторых случаях удобнее пользоваться нормой, то есть квадратом модуля. Таким образом . Можно выделить следующие свойства нормы. Для любых гауссовых чисел справедливо:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Здесь и далее — множество натуральных чисел, то есть целых положительных чисел.

Справедливость данных свойств тривиальным образом проверяется с помощью модуля. Попутно заметим, что (2), (3), (5) справедливы и для любых комплексных чисел.

Кольцо гауссовых чисел — это коммутативное кольцо без делителей 0, так как оно является подкольцом поля комплексных чисел. Отсюда следует мультипликативная сократимость кольца , то есть

(6)

1.1 ОБРАТИМЫЕ И СОЮЗНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ.

Посмотрим, какие гауссовы числа будут обратимыми. Нейтральным по умножению является . Если гауссово число обратимо, то, по определению, существует такое, что . Переходя к нормам, согласно свойству 3, получим . Но эти нормы натуральны, следовательно . Значит, по свойству 4, . Обратно, все элементы данного множества обратимы, поскольку . Следовательно, обратимыми будут числа с нормой равной единице, то есть , .

Как видно не все гауссовы числа будут обратимы. Поэтому интересно рассмотреть вопрос делимости. Как обычно, мы говорим, что делится на , если существует такое, что .Для любых гауссовых чисел , а также обратимых справедливы свойства.

(7)

(8)

(9)

(10)

, где (11)

(12)

Легко проверяются (8), (9), (11), (12). Справедливость (7) следует из (2), а (10) следует из (6). В силу свойства (9), элементы множества ведут себя по отношению к делимости точно так же как и , и называются союзными с . Поэтому естественно рассматривать делимость гауссовых чисел с точностью до союзности. Геометрически на комплексной плоскости союзные числа будут отличаться друг от друга поворотом на угол кратный .

1.2 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ.

Пусть надо поделить на , но невозможно произвести деление нацело. Мы должны получить , и при этом должно быть «мало». Тогда покажем, чтó брать в качестве неполного частного при делении с остатком во множестве гауссовых чисел.

Лемма 1. О делении с остатком.

В кольце возможно деление с остатком, при котором остаток меньше делителя по норме. Точнее, для любых и найдется такое, что . В качестве можно взять ближайшее к комплексному числу гауссово число.

Доказательство.

Разделим на во множестве комплексных чисел. Это возможно, так как множество комплексных чисел является полем. Пусть . Округлим действительные числа и до целых, получим соответственно и . Положим . Тогда

.

Умножая сейчас обе части неравенства на получим, в силу мультипликативности нормы комплексных чисел, что . Таким образом, в качестве неполного частного можно взять гауссово число , которое как нетрудно видеть, является ближайшим к .

Ч.Т.Д.

1.3 НОД. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА.

Мы пользуемся обычным для колец определением наибольшего общего делителя. НОД’ом двух гауссовых чисел называется такой их общий делитель, который делится на любой другой их общий делитель.

Как и во множестве целых чисел, во множестве гауссовых чисел для нахождения НОД пользуются алгоритмом Евклида.

Пусть и данные гауссовы числа, причем . Разделим с остатком на . Если остаток будет отличен от 0, то разделим на этот остаток, и будем продолжать последовательное деление остатков до тех пор, пока оно будет возможно. Получим цепочку равенств:

, где

, где

, где

……………………….

, где

Эта цепочка не может продолжаться бесконечно, так как имеем убывающую последовательность норм, а нормы — неотрицательные целые числа.

Теорема 2. О существовании НОД.

В алгоритме Евклида, примененному к числам Гаусса и последний ненулевой остаток есть НОД( ).

Доказательство.

Докажем, что в алгоритме Евклида действительно получаем НОД.

1.Рассмотрим равенства снизу вверх.

Из последнего равенства видно, что .Следовательно, как сумма чисел делящихся на . Так как и , то следующая строчка даст . И так далее. Таким образом, видно, что и . То есть это общий делитель чисел и .

Покажем, что это наибольший общий делитель, то есть делится на любой другой их общий делитель.

2. Рассмотрим равенства сверху вниз.

Пусть — произвольный общий делитель чисел и . Тогда , как разность чисел делящихся на , действительно из первого равенства . Из второго равенства получим, что . Таким образом, представляя в каждом равенстве остаток как разность чисел делящихся на , мы из предпоследнего равенства получим, что делится на .

Ч.Т.Д.

Лемма 3. О представлении НОД.

Если НОД( , )= , то существуют такие целые гауссовы числа и , что .

Доказательство.

Рассмотрим снизу вверх цепочку равенств, полученную в алгоритме Евклида. Последовательно подставляя вместо остатков их выражения через предыдущие остатки, мы выразим через и .

Ч.Т.Д.

Гауссово число называется простым, если его нельзя представить в виде произведения двух необратимых сомножителей. Следующее утверждение очевидно.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ВКР