Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть p0. Тогда из условия (1.22₃) получаем, что =0.

Условия (1.22₁), (1.22₂) запишутся в виде:

am+cn-p=0, (1.23₁)

bm+dn-p= 0. (1.23₂)

Из условий (1.21₁) и (1.21₃) имеем:

(a₁-)m= 0,

(3b₁-)n=0.

Пусть m0, тогда a₁-=0 и

=a₁, (1.24)

а при n0, получаем, что 3b₁-=0 и

=3b_1. (1.25)

Учитывая (1.24) и (1.25) из условия (1.21₂) находим выражение коэффициента m:

m= , (1.26)

а соотношение (1.23₁) даст значение коэффициента p:

p= . (1.27)

Из равенства (1.23₂), с учетом полученных выражений (1.26) и (1.27), находим условие на коэффициенты системы (1.1):

[3(a₁b₁-2b₁b₂) a+(2a₁b₂-a₁²) b-3b₁²c+a₁b₁d] n=0. (1.28)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.2 Система (1.1) имеет частный интеграл (1.18), коэффициенты которого выражаются формулами (1.26),(1.27), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.28) и c₁=a₂= 0, c₂= 3b₁.

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

В разделах 1, 2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(2ab₁-ba₁)[3(32a₁b₁b₂-15a₁²b₁-16b₁b₂²) a+(8a₁b₂²-18a₁²b₂+9a₁³) b+

24(a₁b₁²-b₁²b₂) c+(16a₁b₁b₂-15a₁²b₁) d]=0,

(2ab₁-ba₁)[12(7a₁b₁b₂-3a₁²b₁-4b₁b₂²) a²+6(3a₁b₁²-4b₁²b₂) ac+(3a₁²b₁-

-4a₁b₁b₂) bc+2(4a₁²b₂-3a₁³)bd –8a₁b₁²cd+4a₁²b₁d²]=0,

[3(a₁b₁-2b₁b₂) a+(2a₁b₂-a₁²) b-3b₁²c+a₁b₁d] n=0.

Причем b₁0, a₁0, 2b₁a-ba₁0.

Рассмотрим частный случай, т.е. будем предполагать, что коэффициенты

a₁= , b₁=1, b₂=0.

Следовательно, наши соотношения запишутся в виде:

a- b-3c+ d=0, (1.30)

- a+ b+6c- d=0, (1.31)

- a²+ d²+ ac+ bc- bd-2cd=0. (1.32)

Выразим из условия (1.30) коэффициент c

c= a- b+ d, (1.33)

подставим (1.33) в равенство (1.31), найдем коэффициент d

d= (-21a+ b). (1.34)

Из условия (1.32), учитывая (1.33) и (1.34) находим

b= a.

Получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются по следующим формулам:

b= a,

c=- a, (1.35)

d=- a,

a₁= , b₁=1, a₂=0, c₁=0, b₂=0, c₂=3b₁=3.

Равенства (1.15), (1.26) и (1.27), при условии, что имеют место формулы (1.35), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.4) и (1.18):

₂=12a, ₂= - a,

₂=a, ₃= a²,

₃= - a²,= a³, (1.36)

m= - n, p= - an.

Теорема 1.3 Система (1.1) имеет два частных интеграла вида (1.4) и (1.18) с коэффициентами, определенными формулами (1.36), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.35).

2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.35),т.е. систему:

(2.1)

Интегральные кривые (1.4),(1.18), согласно формулам (1.36), имеют вид:

x³+12ax²- axy+ay²+ a²x- a²y+ a³=0, (2.2)

- nx+ny- an=0. (2.3)

Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и исключив переменную x, получим следующее уравнение для определения ординат состояний равновесия:

8192y⁴-11776ay³+5480a²y²-825a³y=0. (2.4)

Из (2.4) получаем, что

y₀=0, y₁= a, y₂= a, y₃= a. (2.5)

Абсциссы точек покоя имеют вид:

x₀=0, x₁= - a, x₂= - a, x₃= - a. (2.6)

Согласно (2.5) и (2.6) заключаем, что система (2.1) имеет четыре состояния равновесия - , , , .

Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия , , , .

1. Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке [10, с. 1760-1765]

Отсюда

(2.7)

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:

= =0.

,

Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут

.

Корни - действительные, различных знаков не зависимо от параметра a. Следовательно, точка - седло.

1. Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке A. Согласно

равенствам (2.7) характеристическое уравнение примет вид:

,

,

то есть

, .

Корни - действительные и одного знака, зависящие от параметра a. Если a0, то точка - устойчивый узел, если a0, то точка -неустойчивый узел.

1. Исследуем точку .

Применяя равенства (2.7), составим характеристическое уравнение в точке B:

, .

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка - седло при любом параметре a .

1. Исследуем точку .

Учитывая выражения (2.7), составим характеристическое уравнение в точке:

,

Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут

,

Корни - действительные и одного знака.Следовательно точка - устойчивый узел, если a0 и неустойчивый узел, если a<0 .

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

Очень важным для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, то есть исследование бесконечно-удаленных частей плоскости.

Для этого воспользуемся преобразованием Пуанкаре [7]:

, (2.8)

которое позволяет изучить особые точки лежащие на экваторе сферы Пуанкаре вне концов оси OY.

Имеем

Значит преобразование (2.8) переводит систему (1.1) в систему:

(2.9)

Введем новое время . Система (2.9) примет вид:

(2.10)

Изучим бесконечно-удаленные точки на оси u, т.е. при z=0.

Получаем

(2.11)

Приравнивая второе уравнение системы (2.11) к нулю, получаем

Таким образом, состоянием равновесия являются две точки N₁(0,0) N₂(0, ).

Исследуем характер точек N₁, N₂.

1. Исследуем точку N₁(0,0).

Составим характеристическое уравнение системы (2.10) в точке N₁:

(2.12)

Согласно выражениям (2.12), получаем характеристическое уравнение:

Получим, что

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N₁(0,0) - устойчивый узел.

2. Исследуем точку N₂(0, ).

Учитывая выражение (2.12), составим характеристическое уравнение в точке N₂:

соответственно характеристическими числами будут являться

Корни - действительные и различных знаков. Следовательно, точка N₂(0, )-седло.

Исследуем бесконечно-удаленную часть плоскости в конце оси OY с помощью преобразования [7]

Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:

(2.14)

Введем новое время , тогда система (2.14) примет следующий вид:

(2.15)

При z=0, получаем:

(2.16)

Приравнивая второе уравнение системы (2.16) к нулю, получаем

Для исследования состояний равновесий на концах оси OY, необходимо исследовать только точку N₃(0,0).

Составим характеристическое уравнение системы (2.16) в точке N₃:

соответственно характеристическими числами будут являться

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N₃(0,0) – устойчивый узел.

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.

Таблица 1.

Примечание: через с, у⁺, у^- обозначены соответственно седло, устойчивый узел, неустойчивый узел.

Положение кривых (1.4), (1.18) и расположение относительно их состояний равновесия при a>0 и a<0 дается соответственно рис. 1(а,б).

а) (a>0)

б) (a<0)

Рис.1

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре

Поскольку три состояния равновесия A, B, C расположены на интегральных кривых, то вопроса существования предельных циклов вокруг этих точек не возникает.

Начало координат расположено вне интегральных кривых и является седлом с индексом (-1). Предельные циклы могут окружать состояния равновесия с индексом (+1). Отсюда заключаем, что изучаемая система предельных циклов не имеет.

Поведение сепаратрис седла O, B легко выяснить.

Сепаратрисы седла В полностью определяются интегральными кривыми. Сепаратрисы седла О(0,0) однозначно выясняются с помощью изучения поля направления системы на осях координат. Так для а>0 α – сепаратрисы седла О примыкают к точке С и N₃, а ω – сепаратрисы примыкают к точке А и N₁, а при а<0 -сепаратрисы примыкают к точке А и N₁, - сепаратрисы – к точке С и N₃.

В результате получаем, что качественная картина исследования траекторий в целом при а>0 определяется рисунком 2а приложения, а при а<0 – рисунком 2б приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной дипломной работе построена квадратичная двумерная стационарная система, имеющая два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольный параметр системы.

Проведено качественное исследование полученной системы, найдены четыре состояния равновесия, три из которых А, В, С принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удаленная часть плоскости, доказано отсутствия предельных циклов, выяснено поведение сепаратрис седел и построена качественная картина поведения траекторий системы в целом.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб.- 1952.- Т.30,№1.- 458 с.

2. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.-М.: Наука, 1976.- 274 с.

3. Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- УМН, 1941.- Вып. 9.- 643 с.

4. Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.- 340 с.

5. Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа “узел” // ДАН БССР.- 1960.- Т.4,№9.- 720 с.

6. Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.- ПММ.- 1952.- Т.16, Вып. 6.- с.659-670.

7. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 839 с.

8. Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний.- ПММ.- 1963 Т.27, Вып.1.- 230 с.

9. Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1973.- Т.9,№3.- 256

10. Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения , где P и Q – многочлены второй степени // ДАН БССР.- 1963.- Т.7,№11.- 950 с.

11. Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1970.- Т.6,№10.- с. 1752-1760.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Поведение траекторий системы (2.1)

а) (а>0)

б) (а<0)

Рис. 2

Характеристики

Список файлов ВКР