85675 (589853), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

(a₁–2) a–a₁(a₁–2) b+c–a₁d =0 и а₁≠0, а₁≠2.

1. Необходимые и достаточные условия существования у двумерной стационарной системы двух частных интегралов в виде кривых первого и второго порядков

В подразделах 1.1–1.2 мы получили что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривой первого порядка и кривой второго порядка, при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(a₁–2) a–a₁(a₁–2) b+c–a₁d =0, (1.16)

2 ((a₁–2) a – a₁ (a₁–2) b–a₁d+c) ((a₁–2) a+a₁d)=0.

Причём а₁≠0, а₁≠2, в₁=в₂=с₂=1.

1. Рассмотрим случай (a₁–2) a–a₁(a₁–2) b+c–a₁d =0, (a₁–2) a+a₁d=0.

Из этих равенств получили:

а= - d, d≠0

c=a₁(a₁–2) b+2a₁d.

Так как коэффициент d можно взять любым, неравным нулю, тогда предположим, что b=2d. Из следующих предположений, получаем:

b=2d,

a= - d, (1.17)

c=2a₁(a₁–1) d, d≠0, а₁≠2.

Получили, что коэффициенты системы (1.1) определяются формулами (1.17), при условиях (1.16), в которых параметры b₁=b₂=с₂=1, а₁≠0.

Выражения (1.6), (1.9), (1.15) при условии, что имеют место (1.17), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.11):

α=2 (a₁–2),

β=(a₁–2)²,

γ=2 (2а₁–3) d,

δ=2 (а₁–2) (2а₁–3) d, (1.18)

σ=(2а₁–1) d²,

n= m,

p= md, m≠0, d≠0, a₁≠2, a₁≠0.

Имеет место следующая теорема:

Теорема 1.3 Система

Имеет частные интегралы вида:

y²+2 (a₁–2) xy+(a₁–2)²x²+2 (2a₁–3) d+

+2 (a₁–2) (2a₁–3) dx+(2a₁–1) d²=0

и (a₁–2) x+y+(2a₁–3) d=0,

При условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры а₁ и d по формулам (1.17) и в₁=в₂=с₂=1.

1. Рассмотрим случай:

(a₁–2) a–a₁(a₁–2) b+c–a₁d =0.

Выразим из этого условия коэффициент с, получим

с= a₁(a₁–2) b+ a₁d – (a₁–2) a.

Воспользуемся предположением из первого случая, что в=2d, d≠0, тогда коэффициент с=а₁(2а₁–3) d – (а₁–2) а.

Так как d-любое число, неравное нулю, предположим, что а=2а₁d.

Из соотношения (a₁–2) a–a₁(a₁–2) b+c–a₁d =0, при условиях, что b=2d, a=2a₁d, d-любое число, d≠0, получим формулы, выражающие коэффициенты системы (1.1) через параметр а₁ и коэффициент d, то есть: a=2a₁d,

b=2d, (1.19)

c=a₁d.

Равенства (1.6) – (1.9) и (1.14) при условии, что имеют место формулы (1.19), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.11):

α=2 (a₁–2),

β=(a₁–2)²,

γ=2 (а₁–1) d,

δ=2 (a₁– ) (a₁–2) d, (1.20)

σ=(a₁– )²d²,

n= m,

p=m d, a₁≠2, d≠0, m≠0.

Теорема 1.4 Система

2a₁dx+2dy+a₁x²+2xy,

=a₁dx+dy+2xy+y²

Имеет частные интегралы вида:

y²+2 (a₁–2) xy+(a₁–2)²x²+2 (a₁–1) dy+2 (a₁– ) (a₁–2) dx+(a₁– )²d²=0

и

(a₁–2) x+y+(2a₁–3) d=0,

При условиях, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры а₁ и d по формулам (1.19) и в₁=в₂ =с₂=1, а₁≠2, а₁≠0, d-любое число.

2 Качественное исследование построенных классов систем

2.1 Исследование одной системы из первого класса построенных двумерных стационарных систем

Будем проводить исследование системы в предположении, что коэффициенты её определяются согласно формулам (1.17):

a= - d, (1.17)

b=2d,

c=2a₁(a₁–1) d, d≠0, а₁≠2,

с учётом в₁=в₂=с₂=1 и предполагая, что параметр а₁=1.

Тогда система (1.1) запишется в виде:

dx+2dy+x²+2xy, (2.1)

dy+2xy+y²

Интегральные кривые в этом случаи имеют вид:

y²–2xy+x²–2dy+2dx+d²=0, (2.2)

x–y+d=0.

При рассмотрении этого случая заметим, что интегральная кривая второго порядка y²–2xy+x²–2dy+2dx+d²=0 представляет собой две совпадающие прямые вида x–y+d=0, то есть:

(y–x)²–2d (y–x)+d²=0,

(y–x) – d)²=0,

y–x–d=0,

x–y+d=0.

Значит, если а₁=в₁=в₂=с₂=1 и если выполняются условия (1.17) система (1.1) имеет только один частный интеграл вида:

x–y+d=0. (2.3)

Найдём состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и, решив полученную систему, найдём точки покоя системы.

Система имеет четыре состояния равновесия:

О (0,0), А (-d, 0), B (-d, d), C(- ).

Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия.

1. Исследуем точку О (0,0).

Составим характеристическое уравнение для точки имеет вид О (0,0):

=0,

²=0.

Характеристическими числами для точки О (0,0) системы (2.1) будут

Корни характеристического уравнения действительные, одного знака, но в зависимости от параметра d точка О (0,0) – устойчивый узел, если d<0; точка О (0,0) – неустойчивый узел, если d>0.

Из Главы 1. случай d=0 не рассматривается.

1. Исследуем точку А (-d, 0).

Составим характеристическое уравнение в точке А (-d, 0).

P (x, y)=dx+2dy+x²+2xy,

Q (x, y)=dy+2xy+y².

Отсюда, получим:

P_x=d+2x+2y, P_y=2d+2x, (2.4)

Q_x=2y,

Q_y=d+2x+2y.

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:

=0.

Итак, получаем:

=0.

(–d–λ)²=0.

Характеристические числа для точки А (-d, 0) системы (2.1) будут

Корни λ₁,λ₂ – действительные, одного знака. В зависимости от параметра d.

Точка А (-d, 0) является неустойчивым узлом, если d<0; устойчивым узлом, если d>0.

1. Исследуем точку В (-d, d).

Составим характеристическое уравнение в точке В (-d, d).

Согласно равенствам (2.4) характеристическое уравнение примет вид:

=0,

²=0,

λ₁=λ₂=d.

λ₁,λ₂ – характеристические числа для точки В (-d, d) системы (2.4).

Корни λ₁,λ₂–действительные, одного знака зависящие от параметра d.

Если d<0, то точка В (-d, d) – устойчивый узел; если d>0, то точка В (-d, d) – неустойчивый узел.

1. Исследуем точку С(- ).

Составим характеристическое уравнение в точке С(- ).Применяя равенства (2.4), получим:

=0,

.

Характеристические числа для точки С(- ) системы (2.1) будут λ₁=d, λ₂= .

Корни λ₁,λ₂–действительные, различных знаков, независимо от параметра d.

Значит, точка С(- ) – седло.

Исследуем бесконечно-удалённую часть плоскости на концах оси ОY. Преобразование x= , y= [1] переводит систему (2.1) в систему:

(2.5)

где t=zτ, dt=zdτ.

Для исследования состояний равновесий на концах оси ОУ, нам необходимо исследовать только точку N_o(0,0).Составим характеристическое уравнение в точке No (0,0):

=0.

Получаем, что

Корни λ₁,λ₂–действительные и различных знаков не зависимо от параметра d. Значит, точка N_o(0,0) – седло.

Исследуем бесконечно-удалённую часть плоскости вне концов оси ОУ преобразованием [1] . Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:

(2.6)

где t=zτ, dt=zdτ.

Изучим бесконечно-удалённые точки на оси U, то есть при z=0, получаем:

Следовательно, u₁=0, u₂=1.

Таким образом, получаем две точки N₁(0,0), N₂(0,1), которые являются состоянием равновесия. Исследуем характер этих точек обычным способом.

1. Исследуем точку N₁(0,0).

Составляем характеристическое уравнение в точке N₁(0,0):

=0,

λ₁=-1, λ₂=1.

Корни λ₁, λ₂–действительные и различных знаков. Следовательно, точка N₁(0,0) – седло.

2. Исследуем точку N₂(0,1).

Составим характеристическое уравнение в точке N₂(0,1):

P_z=–1–2u-2dz-4duz,

P_u=–2dz²–2z,

Q_z=–2du²,

Q_u=1–2u-4dzu.

Имеем:

=0,

(-3–λ) (-1–λ)=0,

λ₁=–3, λ₂=–1,

Корни λ₁,λ₂–действительные и одного знака (–). Следовательно, точка N₂(0,1) – устойчивый узел.

Дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.

Таблица 1

Положение кривой (2.3) и расположение относительно их состояний равновесия при d<0 и d>0 представлено на рис. 1 (а, б).

Поведение траекторий системы (2.1) в целом при d<0 и d>0 представлено на рис. 3 (а, б) приложения А.

Исследуя вид кривых (2.2) и расположение относительно их состояний равновесия, убеждаемся, что система (2.1) не имеет предельных циклов, так как Воробьёв А.П. [10] доказал, что для систем, правые части которых есть полиномы второй степени, предельный цикл может окружать только точку типа фокуса. Учитывая расположение состояний равновесия относительно кривых (2.2), являющиеся интегралами системы (2.1) не может существовать предельных циклов, окружающих несколько состояний равновесия.

1. d<0

б) d>0

Рис. 1

2.2 Исследование одной системы из второго класса построенных двумерных стационарных систем

Рассмотрим систему (1.1) в предположении, что в₁=в₂=с₂=1, а₁=

и коэффициенты определяются формулами (1.19). Тогда система (1.1) будет иметь вид:

(2.7)

Интегральные кривые в этом случае имеют вид:

4y²–4xy+x²+dy=0, (2.8)

Характеристики

Список файлов ВКР