85485 (589834), страница 2

Файл №589834 85485 (Triple-wave ensembles in a thin cylindrical shell) 2 страница85485 (589834) страница 22016-07-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

There are many routs to obtain the evolution equations. Let us consider a technique based on the Lagrangian variational procedure. We pass from the density of Lagrangian function to its average value

(7) ,

An advantage of the transform (7) is that the average Lagrangian depends only upon the slowly varying complex amplitudes and their derivatives on the slow spatio-temporal scales , and . In turn, the average Lagrangian does not depend upon the fast variables.

The average Lagrangian can be formally represented as power series in :

(8)

At the average Lagrangian (8) reads

where the coefficient coincides exactly with the dispersion relation (3). This means that .

The first-order approximation average Lagrangian depends upon the slowly varying complex amplitudes and their first derivatives on the slow spatio-temporal scales , and . The corresponding evolution equations have the following form

(9)

Notice that the second-order approximation evolution equations cannot be directly obtained using the formal expansion of the average Lagrangian , since some corrections of the term are necessary. These corrections are resulted from unknown additional terms of order , which should generalize the ansatz (3):

provided that the second-order approximation nonlinear effects are of interest.

Triple-wave resonant ensembles

The lowest-order nonlinear analysis predicts that eqs.(9) should describe the evolution of resonant triads in the cylindrical shell, provided the following phase matching conditions

(10) ,

hold true, plus the nonlinearity in eqs.(1)-(2) possesses some appropriate structure. Here is a small phase detuning of order , i.e. . The phase matching conditions (10) can be rewritten in the alternative form

where is a small frequency detuning; and are the wave numbers of three resonantly coupled quasi-harmonic nonlinear waves in the circumferential and longitudinal directions, respectively. Then the evolution equations (9) can be reduced to the form analogous to the classical Euler equations, describing the motion of a gyro:

(11) .

Here is the potential of the triple-wave coupling; are the slowly varying amplitudes of three waves at the frequencies and the wave numbers and ; are the group velocities; is the differential operator; stand for the lengths of the polarization vectors ( and ); is the nonlinearity coefficient:

where .

Solutions to eqs.(11) describe four main types of resonant triads in the cylindrical shell, namely -, -, - and -type triads. Here subscripts identify the type of modes, namely ( ) — longitudinal, ( ) — bending, and ( ) — shear mode. The first subscript stands for the primary unstable high-frequency mode, the other two subscripts denote the secondary low-frequency modes.

A new type of the nonlinear resonant wave coupling appears in the cylindrical shell, namely -type triads, unlike similar processes in bars, rings and plates. From the viewpoint of mathematical modeling, it is obvious that the Karman-type equations cannot describe the triple-wave coupling of -, - and -types, but the -type triple-wave coupling only. Since -type triads are inherent in both the Karman and Donnell models, these are of interest in the present study.

-triads

High-frequency azimuthal waves in the shell can be unstable with respect to small perturbations of low-frequency bending waves. Figure (2) depicts a projection of the corresponding resonant manifold of the shell possessing the spatial dimensions: and . The primary high-frequency azimuthal mode is characterized by the spectral parameters and (the numerical values of and are given in the captions to the figures). In the example presented the phase detuning does not exceed one percent. Notice that the phase detuning almost always approaches zero at some specially chosen ratios between and , i.e. at some special values of the parameter . Almost all the exceptions correspond, as a rule, to the long-wave processes, since in such cases the parameter cannot be small, e.g. .

NB Notice that -type triads can be observed in a thin rectilinear bar, circular ring and in a flat plate.

NBThe wave modes entering -type triads can propagate in the same spatial direction.

-triads

Analogously, high-frequency shear waves in the shell can be unstable with respect to small perturbations of low-frequency bending waves. Figure (3) displays the projection of the -type resonant manifold of the shell with the same spatial sizes as in the previous subsection. The wave parameters of primary high-frequency shear mode are and . The phase detuning does not exceed one percent. The triple-wave resonant coupling cannot be observed in the case of long-wave processes only, since in such cases the parameter cannot be small.

NBThe wave modes entering -type triads cannot propagate in the same spatial direction. Otherwise, the nonlinearity parameter in eqs.(11) goes to zero, as all the waves propagate in the same direction. This means that such triads are essentially two-dimensional dynamical objects.

-triads

High-frequency bending waves in the shell can be unstable with respect to small perturbations of low-frequency bending and shear waves. Figure (4) displays an example of projection of the -type resonant manifold of the shell with the same sizes as in the previous sections. The spectral parameters of the primary high-frequency bending mode are and . The phase detuning also does not exceed one percent. The triple-wave resonant coupling can be observed only in the case when the group velocity of the primary high-frequency bending mode exceeds the typical velocity of shear waves.

NBEssentially, the spectral parameters of -type triads fall near the boundary of the validity domain predicted by the Kirhhoff-Love theory. This means that the real physical properties of -type triads can be different than theoretical ones.

NB -type triads are essentially two-dimensional dynamical objects, since the nonlinearity parameter goes to zero, as all the waves propagate in the same direction.

-triads

High-frequency bending waves in the shell can be unstable with respect to small perturbations of low-frequency bending waves. Figure (5) displays an example of the projection of the -type resonant manifold of the shell with the same sizes as in the previous sections. The wave parameters of the primary high-frequency bending mode are and . The phase detuning does not exceed one percent. The triple-wave resonant coupling cannot also be observed only in the case of long-wave processes, since in such cases the parameter cannot be small.

NBThe resonant interactions of -type are inherent in cylindrical shells only.

Manly-Rawe relations

By multiplying each equation of the set (11) with the corresponding complex conjugate amplitude and then summing the result, one can reduce eqs.(11) to the following divergent laws

(12)

Notice that the equations of the set (12) are always linearly dependent. Moreover, these do not depend upon the nonlinearity potential . In the case of spatially uniform wave processes ( ) eqs.(12) are reduced to the well-known Manly-Rawe algebraic relations

(13)

where are the portion of energy stored by the quasi-harmonic mode number ; are the integration constants dependent only upon the initial conditions. The Manly-Rawe relations (13) describe the laws of energy partition between the modes of the triad. Equations (13), being linearly dependent, can be always reduced to the law of energy conservation

(14) .

Equation (14) predicts that the total energy of the resonant triad is always a constant value , while the triad components can exchange by the portions of energy , accordingly to the laws (13). In turn, eqs.(13)-(14) represent the two independent first integrals to the evolution equations (11) with spatially uniform initial conditions. These first integrals describe an unstable hyperbolic orbit behavior of triads near the stationary point , or a stable motion near the two stationary elliptic points , and .

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
4,05 Mb
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов ВКР

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6363
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее