48531 (588562), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Последний член уравнения (1.26) носит название реактивной силы: . Эта сила возникает в результате действия на данное тело присоединяемой (или отделяемой) массы. Если масса присоединяется, то и вектор R совпадает по направлению с вектором u; если же масса отделяется, то и вектор R противоположен вектору u.

Уравнение Мещерского по своей форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки постоянной массы: слева – произведение массы тела на ускорение, справа – действующие на него силы, включая реактивную силу. Однако в случае переменной массы нельзя внести массу под знак дифференцирования и представить левую часть уравнения как производную по времени от импульса, ибо ,

Обратим внимание на два частных случая.

1. Если u=0. т. е. масса присоединяется или отделяется без скорости относительно тела, то R=0, и уравнение (1.26) принимает вид

где - масса тела в данный момент времени. Это уравнение определяет , например, движение платформы, из которой свободно высыпается песок (см. задачу 10, пункт 1-й).

1. Если u=-v, т. е. присоединяемая масса неподвижна в выбранной системе отсчета или отделяемая масса становится неподвижной в этой системе, то уравнение (1.28) принимает другой вид

или

иначе говоря, в этом частном случае – и только этом – действие силы F определяет изменение импульса тела с переменной массой. Данный случай реализуется, например, при движении платформы, нагружаемой сыпучим веществом из неподвижного бункера (см. задачу 10, пункт 2-й).

Рассмотрим пример на применение уравнения Мещерского.

Пример. Ракета движется в инерциальной K-системе отсчета в отсутствие внешнего силового поля, причем так, что газовая струя вылетает с постоянной относительно ракеты скоростью u. Найти зависимость скорости ракеты от ее массы , если в момент старта ее масса была равна .

В данном случае F=0 и из уравнения (1.28) следует

.

Проинтегрировав это выражение с учетом начальных условий, получим

где знак минус показывает, что вектор v (скорость ракеты) противоположен по направлению вектору u. Отсюда видно, что скорость ракеты в данном случае (u=const) не зависит от времени сгорания топлива: v определяется только отношением начальной массы ракеты к оставшейся массе m.

Заметим, что если бы вся масса горючего была одновременно выброшена со скоростью u относительно ракеты , то скоростью последней оказалась бы иной. Действительно, если ракета вначале покоилась в выбранной инерциальной системе отсчета, а после одновременного выброса всего горючего приобрела скорость v, то из закона сохранения импульса для системы ракета – горючее следует

,

где u+v - скорость горючего относительно данной системы отсчета. Отсюда

скорость ракеты v в этом случае оказывается меньше, чем в предыдущем (при одинаковых значениях отношения ). В этом нетрудно убедиться, сравнив характер зависимости v от в обоих случаях. С ростом в первом случае (когда вещество отделяется непрерывно) скорость v ракеты, согласно (1), растет неограниченно, во втором же (когда вещество отделяется одновременно) скорость v, согласно (2), стремится к пределу, равному - u.

Задачи к главе 1

1.1. Частица движется с импульсом под действием силы F(t). Пусть a и b – постоянные векторы, причем a b. Полагая, что:

1. , где - положительная постоянная, найти вектор F в те моменты времени, когда F p;

2. , где - вектор, противоположный по направлению вектору а, найти вектор p в момент , когда он окажется повернутым на 90^○ по отношению к вектору .

Решение. 1. Сила , т. е. вектор F все время перпендикулярен вектору a. Следовательно, вектор F будет перпендикулярен вектору p в те моменты, когда коэффициент при b в выражении для обращается в нуль. Отсюда и соответствующие значения вектора F равны:

2. Приращение вектора p за промежуток времени есть Интегрируя это уравнение с учетом начальных условий, находим

где, по условию, противоположен вектору а. Вектор p окажется перпендикулярным вектору в момент , когда . В этот момент .

Рис. 6

1.2. Через блок (рис. 6) перекинут шнур на одном конце которого находится лестница с человеком А, а на другом – уравновешивающий груз массы М. Человек , масса которого m, совершил вверх перемещение относительно лестницы и затем остановился. Пренебрегая массами блока и шнура, а также трением в оси блока, найти перемещение центра инерции этой системы.

Решение. Сначала все тела системы покоились, поэтому приращение импульсов тел при движении равно самим импульсам. Силы натяжения шнура слева и справа одинаковы, а следовательно импульсы груза и лестницы с человеком в каждый момент времени будут равны между собой, т. т. , или

,

где v₁, v и v₂ - - скорости груза, человека и лестницы. Учитывая , что v₂= -v₁ и v=v₂ + v, где v - скорость человека относительно лестницы, получим

v₁= (m/2M)v. (1)

С другой стороны , импульс всей системы. Отсюда с учетом (1) найдем

.

И наконец, искомое перемещение

.

Другой способ решения основан на свойстве центра инерции данной системы характеризуется радиусом – вектором

,

где - радиусы-векторы центров инерции груза M, лестницы и человека относительно некоторой точки О данной системы отсчета. Отсюда перемещение центра инерции равно

,

где

-перемещения груза M, лестницы и человека относительно данной системы отсчета. Имея в виду, что получим в результате

.

1.3. система состоит из двух шариков с массами , которые соединены между собой невесомой пружинкой. Шарикам сообщили скорости , как показано на рис.7, после чего система начала двигаться в однородном поле сил тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха и считая, что в начальный момент пружинка не деформирована, найти:

1. скорость центра инерции этой системы в зависимости от времени;

2. внутреннюю механическую энергию системы в процессе движения.

Рис. 7 рис. 8

Решение. 1. Приращение вектора скорости центра инерции, есть . проинтегрировав это уравнение, получим , где -начальная скорость центра инерции. Отсюда

.

2. Внутренняя механическая энергия системы – это ее энергия

.

4. Шарик с кинетической энергией T, испытав лобовое соударение с первоначально покоившейся упругой гантелью (рис. 8), отлетел в противоположном направлении с кинетической энергией . Массы всех трех шариков одинаковы. Найти энергию колебаний гантели после удара.

Решение. пусть -импульсы налетающего шарика до и после удара, а -импульс и кинетическая энергия гантели как целого после удара, Е -энергия колебаний. Согласно законам сохранения импульса и энергии,

.

Из этих двух уравнений с учетом того, что , получим

.

5 В К-системе частица 1 массы налетает на покоящуюся частицу 2 массы . Заряд каждой частицы равен . Найти минимальное расстояние, на которое они сблизятся при лобовом соударении, если кинетическая энергия частицы 1 вдали от частицы 2 равна .

Рис. 9

Решние . Рассмотрим этот процесс как в К-системе, так и в Ц-системе.

1. В К-системе в момент наибольшего сближения обе частицы будут двигаться как единое целое со скоростью , которую можно определить на основании закона сохранения импульса:

,

где p₁ –импульс налетающей частицы,

С другой стороны, из закона сохранения энергии следует

,

где приращение потенциальной энергии системы

Исключив из этих двух уравнений, найдем

.

1. В Ц-системе решение наиболее просто: здесь суммарная кинетическая энергия частиц идет целиком на приращение потенциальной энергии системы в момент наибольшего сближения:

,

где , согласно (4.16),

Отсюда легко найти

6. Частица массы с импульсом испытала упругое столкновение с покоившейся частицей массы . Найти импульс первой частицы после столкновения, в результате которого она рассеялась под углом к первоначальному направлению движения.

Решение. Из закона сохранения импульса (рис. 69) находим

где -импульс второй частицы после столкновения.

С другой стороны, из закона сохранения энергии следует, что , где -кинетические энергии первой и второй частиц после столкновения. Преобразуем это равенство с помощью соотношения к виду

Е сли

т о физический смысл имеет только знак плюс перед корнем. Это следует из того, что при этом условии корень будет больше, чем а так как p^́́’₁ – это модуль, то, естественно, он не может быть отрицательным.

Если же m₁>m₂ , то физический смысл имеют оба знака перед

корнем – ответ в этом случае получается неоднозначным: под углом

импульс рассеянной частицы может иметь одно из двух значений (это зависит от относительного расположения частиц в момент соударения).

1.7. Какую часть η своей кинетической энергии теряет частица массы m₁ при упругом рассеянии под предельным углом на покоящейся частице массы m₂ , где m₁>m₂

§ 1.3 Анимационное моделирование процесса обучения механических систем

Характеристики

Список файлов ВКР