48276 (588531), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

где a, b, c — неизвестные параметры.

Подберем значения этих параметров так, чтобы была наименьшей сумма квадратов уклонений опытных данных T_i и теоретических T_i = aU_i + bV_i + cW_i, то есть сумма:

(ф. 2)

Величина является функцией трех переменных a, b, c. Необходимым и достаточным условием существования минимума этой функции является равенство нулю частных производных функции по всем переменным, то есть:

(ф. 3)

Так как:

(ф. 4)

то система для нахождения a, b, c будет иметь вид:

(ф. 5)

Данная система решается любым стандартным методом решения систем линейных уравнений (Гаусса, Жордана, Зейделя, Крамера).

Рассмотрим некоторые практические примеры нахождения приближающих функций:

1. y = x² + x +

Задача подбора коэффициентов , , сводится к решению общей задачи при T=y, U=x², V=x, W=1, =a, =b, =c.

1. f(x, y) = sin(x) + cos(y) + /x

Задача подбора коэффициентов , , сводится к решению общей задачи при T=f, U=sin(x), V=cos(y), W=1/x, =a, =b, =c.

Если мы распространим МНК на случай с m параметрами,

(ф. 6)

то путем рассуждений, аналогичных приведенным выше, получим следующую систему линейных уравнений:

(ф. 7)

где ,

2.2. Моделирование многомерной функции распреде

ления векторов признаков изображений объекта

Факторный Анализ(FA)

Факторный анализ (ФА), как и многие методы анализа многомерных данных, опирается на гипотезу о том, что наблюдаемые переменные являются косвенными проявления относительно небольшого числа неких скрытых факторов. ФА, таким образом, это совокупность моделей и методов ориентированных на выявление и анализ скрытых (латентных)зависимостей между наблюдаемыми переменными. В контексте задач распознавания, наблюдаемыми переменными обычно являются признаки объектов.

Модели с латентными переменными применяются при решении следующих задач:

• понижение размерности признакового пространства,

• классификация объектов на основе сжатого признакового пространства,

• косвенной оценки признаков, не поддающихся непосредственному измерению,

• преобразование исходных переменных к более удобному для интерпретации виду.

Факторный анализ использует предположение о том, что исходные наблюдаемые переменные (распределенные по нормальному закону!) x_i могут быть представлены в виде линейной комбинации факторов, также распределенных нормально:

x_i=∑_k=1..m(a_ikF_k) + u_i; i=1,...,n;

В этой модели присутствуют две категории факторов: общие факторы (common factors) F_k и специфические факторы(unique factors) u_i. Фактор называется общим, если он оказывает влияние на две и более наблюдаемые переменные (математически это выражается в наличии как минимум двух существенно отличающихся от нуля коэффициентов a_ik для данного фактора F_k). Каждый из специфических факторов u_i несет информацию только об одной переменной x_i. Матрица a_ik называется матрицей факторных нагрузок (factor loadings) и задает влияние общих факторов на наблюдаемые переменные.

Содержательно, специфические факторы соответствуют необъясненной общими факторами изменчивости набора наблюдаемых переменных. Таким образом их можно рассматривать как случайную ошибку наблюдения или шум, не являющийся ценной информацией для выявления скрытых закономерностей и зависимостей. Важным предположением является независимость u_i между собой. Обычно, однако не всегда, общие факторы F_k предполагаются некоррелированными (ортогональными).

Важными понятиями ФА являются общность и специфичность наблюдаемой переменной. На языке ФА доля дисперсии отдельной переменной, принадлежащая общим факторам (и разделяемая с другими переменными) называется общностью, дисперсия же приходящаяся на специфический фактор - специфичностью.

Целью ФА является выявление общих факторов F_k, специфических факторов u_i и матрицы факторных нагрузок A таким образом, чтобы найденные общие факторы объясняли наблюдаемые данные наилучшим образом, то есть чтобы суммарная общность переменных была максимальна (а соответственно специфичность - минимальна).

Отличие Факторного Анализа (Factor Analysis, FA) от Метода Главных Компонент (Principal Components Analysis, PCA)

• Результатом ФА является модель, в явном виде описывающая зависимость наблюдаемых переменных от скрытых факторов (МГК это описательный анализ данных, без получения модели);

• ФА предусматривает ошибку моделирования (специфический фактор) для каждой из наблюдаемых переменных, в то время как МГК пытается объяснить всю изменчивость, включая шум, зависимостью от главных компонент;

• В МГК главные компоненты являются линейными комбинациями наблюдаемых переменных. В ФА наблюдаемые переменные являются линейными комбинациями общих и специфических факторов;

• Получаемые в результате ФА факторы могут быть использованы для интерпретации наблюдаемых данных;

• Главные компоненты некоррелированны (что эквивалентно их ортогональности при переносе начала координат в центр масс исходного набора), факторы же - не обязательно;

• МГК можно рассматривать как частный случай ФА, когда все специфические факторы приняты равными нулю, а общие факторы ортогональны.

Метод главных компонент(PCA)

Метод главных компонент применяется для снижения размерности пространства наблюдаемых векторов, не приводя к существенной потере информативности. Пусть дан исходный набор векторов линейного пространства Rⁿ. Применение метода главных компонент позволяет перейти к базису пространства Rⁿ, такому что:

Первая компонента (первый вектор базиса) соответствует направлению, вдоль которого дисперсия векторов исходного набора максимальна. Направление второй компоненты (второго вектора базиса) выбрано таким образом, чтобы дисперсия исходных векторов вдоль него была максимальной при условии ортогональности первому вектору базиса. Аналогично определяются остальные векторы базиса.

В результате, направления векторов базиса выбраны так, чтобы максимизировать дисперсию исходного набора вдоль первых компонент, называемых главными компонентами (или главными осями). Получается, что основная изменчивость векторов исходного набора векторов представлена несколькими первыми компонентами, и появляется возможность, отбросив оставшиеся (менее существенные) компоненты, перейти к пространству меньшей размерности.

Результатом применения МГК является вычисление матрицы W размера m x n, осуществляющей проекцию векторов пространства Rⁿ на подпространство, натянутое на главные компоненты:

y = W^t(x - μ), y R^m, x Rⁿ.

Где x - вектор из исходного набора, y - координаты вектора в подпространстве главных компонент, μ - средний вектор начального набора.

Главные компоненты (векторы базиса), выбираемые с помощью МГК, обладают следующим свойством: обратная проекция вектора y в Rⁿ дает минимальную ошибку реконструкции (минимальное расстояние до образа вектора y). Нужно отметить, что корректное применение МГК возможно лишь при предположении о нормальном распределении векторов исходного набора.

В приложении к задаче классификации с учителем МГК обычно применяется следующим образом. После вычисления главных осей тренировочного набора, вектор признаков тестового объекта проецируется на подпространство, образованное главными осями. Вычисляются две характеристики: расстояние от проекции тестового вектора до среднего вектора тренировочного набора - Distance in Feature Space (DIFS), и расстояние от тестового вектора до его проекции в подпространство главных компонент - Distance From Feature Space (DFFS). Исходя из этих характеристик выносится решение о принадлежности тестового объекта классу, образованному тренировочным набором.

Отличие Факторного Анализа (Factor Analysis, FA) от Метода Главных Компонент (Principal Components Analysis, PCA)

• Результатом ФА является модель, в явном виде описывающая зависимость наблюдаемых переменных от скрытых факторов (МГК это описательный анализ данных, без получения модели);

• ФА предусматривает ошибку моделирования (специфический фактор) для каждой из наблюдаемых переменных, в то время как МГК пытается объяснить всю изменчивость, включая шум, зависимостью от главных компонент;

• В МГК главные компоненты являются линейными комбинациями наблюдаемых переменных. В ФА наблюдаемые переменные являются линейными комбинациями общих и специфических факторов;

• Получаемые в результате ФА факторы могут быть использованы для интерпретации наблюдаемых данных;

• Главные компоненты некоррелированы (что эквивалентно их ортогональности при переносе начала координат в центр масс исходного набора), факторы же - не обязательно;

• МГК можно рассматривать как частный случай ФА, когда все специфические факторы приняты равными нулю, а общие факторы ортогональны.

Анализ независимых компонент(ICA). Начало формы

Конец формы

Задачей анализа независимых компонент (Independent Components Analysis, ICA) является разложение наблюдаемых случайных переменных x_j в линейную комбинацию независимых случайных величин s_k:

x_j=a_j1s₁+a_j2s₂+...+a_jns_n для всех j.

Основными предположениями, используемыми в данном методе, являются независимость компонент s_k и, то, что их распределение отлично от нормального (non-gaussian). Алгоритм вычисления независимых компонент опирается на центральную предельную теорему, утверждающую, что при определенных условиях сумма независимо распределенных случайных величин стремится к нормальному распределению по мере увеличения количества слагаемых. Использую это утверждение, поиск независимых компонентов, как линейных комбинаций наблюдаемых переменных, ведется таким способом, чтобы получить независимые случайные величины, распределение которых максимально далеко от нормального. Степень близости распределения случайной величины к нормальному измеряется различным способами [Hyvarinen2000].

По своей формулировке, ICA близок к методу главных компонент (PCA) и факторному анализу (FA), однако имеет ряд существенных различий:

• В ICA существенно используется предположение о том, что распределения независимых компонент отличны от нормального,

что дает возможность интерпретировать ICA как FA для неортогональных факторов, с распределением отличным от нормального;

• В ICA понижение размерности не является целью, в отличии от FA и PCA;

• PCA добивается того, чтобы проекции векторов исходного набора на оси главных компонент были некоррелированы, в то время как ICA добивается их независимости (более сильное условие);

• Оси PCA ортогональны, в то время как оси независимых компонент - необязательно;

Линейный Дискриминантный Анализ (Linear Discriminant

Analysis, LDA)

Линейный Дискриминантный Анализ, в отличие от МГК и ФА не ставит своей целью найти подпространство меньшей размерности, наилучшим образом описывающее набор тренировочных изображений. Его задача - найти проекцию в пространство, в котором разница между различным классами объектов максимальна. Это требование формулируется как получение максимально компактных кластеров, соответствующих различным классам, удаленных на максимально возможное расстояние. С помощью ЛДА удается получить подпространство небольшой размерности, в котором кластеры изображений пересекаются минимально. Производить классификацию в таком пространстве значительно проще.

2.3. Деформируемые модели

Начало формы

Характеристики

Список файлов ВКР