Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Функция Лапласа выражает зависимость от . Обратная выражает зависимость от . При , имеем

(8)

С помощью формулы (8) и обратной функции Лапласа решается задача определения доверительного интервала по известным р_д и и необходимого числа испытаний по известным р_д и .

При решении первой задачи согласно (8) определяется .При решении второй задачи согласно (8) определяется , а затем N.

Для проведения тестирования СП обычно приводят к стандартному виду. Для случая двоичной ноль - единичной последовательности это достигается перекодировкой исходной последовательности в симметричную -1,1- ю последовательность в соответствии с правилом

.

Здесь - элементы стандартной и исходной последовательностей соответственно.

3.2 Определение математического ожидания

Оценка математического ожидания как экспериментальное (выборочное) значение первого начального момента случайной величины X равна

,

В тоже время оценка среднего всей генеральной совокупности значений случайной величины определяется из выражения

, (9)

где - независимые случайные величины с одинаковыми , т.е. с числовыми характеристиками, равными истинным, но неизвестным априори, их значениям.

Математическое ожидание погрешности оценки среднего равно

. (10)

Дисперсия погрешности оценки среднего равна

. (11)

Среднее квадратическое отклонение оценки математического ожидания

. (12)

Как видно из (10,11) оценка (9) – несмещенная, состоятельная и эффективная.

Выражения (8-12) могут быть положены в основу определения требуемого размера выборки для обеспечения заданных значений доверительного интервала погрешности и доверительной вероятности. Так, имея требования к величине доверительного интервала и доверительной вероятности и принимая гипотезу о гауссовом характере распределения погрешности оценивания , т.е. возможности определения доверительной вероятности в виде , из выражения (8) определяем требуемое значение среднего квадратического отклонения погрешности оценки . Вместе с тем из выражения (12) следует, что среднее квадратическое значение погрешности оценки среднего случайной величины связано со значениями СКО и объемом выборки N следующей зависимостью:

,

откуда, приравнивая правые части последних равенств, окончательно определяем выражение для расчета требуемого объема выборки

.

Здесь значение СКО случайной величины может задаваться априорно, либо определяться экспериментально по выборке меньшего чем N объема.

Определение оценки дисперсии и ее среднего квадратического отклонения

Оценка дисперсии как экспериментальное значение второго центрального момента случайной величины X может быть вычислена по формуле

.

Так как значение априори неизвестно, то принимают и тогда

. (13)

Математическое ожидание погрешности оценки равно

, (14)

что означает, что оценка (14) является смещенной.

Смещение пропорционально D_x и обратно пропорционально N. Это означает, что оценка D_x, полученная согласно (14), - состоятельная.

Смещение устраняется с переходом к .

При этом вместо (13) имеем

. (15)

При больших значениях N результаты расчета по формулам (13) и (15) практически будут одинаковыми.

Выражение для дисперсии оценки (15), равной дисперсии погрешности , при нормальном виде закона распределения X (для худшего случая) можно получить следующее [1-3]:

. (16)

Зависимость среднего квадратического отклонения от его точного значения определяется выражением

.

3.3Определение корреляционного момента и коэффициента корреляции

Экспериментальное значение корреляционного момента R_xy как оценка смешанного центрального момента m₁₁ системы двух случайных величин равно

Так как значения М_х, М_у неизвестны, то принимают , и тогда

ИЛИ

. (17)

Погрешность оценки

(18)

Математическое ожидание погрешности (18)

Это означает, что оценка (17) - смещена и равна

. (19)

Можно показать, что она является и состоятельной.

Смещение устраняется с переходом от к . При

этом вместо (17) имеем

. (20)

Для дисперсии оценки (17), равной дисперсии погрешности (18), можно получить [1-3]

, (21)

где - четвертый смешанный центральный момент системы (X Y). При Y = X выражения (20) и (21) превращаются в (15), (16). Если система (X Y) распределена нормально, то и согласно (21)

Так как значения R_xy, D_x, D_y неизвестны, то практически используется приближение

. (22)

Среднее квадратическое значение погрешности (18) равно среднему квадратическому отклонению оценки (20):

. (23)

Оценка коэффициента корреляции определяется согласно

. (24)
Если оценки , получены в результате одной серии наблюдений, а оценка – в результате другой, то их погрешности , – независимые случайные величины, являющиеся аргументами линейной функции:

. (25)

Значение рассчитывается согласно (15), доверительный интервал – по формуле (8).

3.4 Определение вероятности события

Экспериментальное значение вероятности Р некоторого события - это частость [1-3]

, (26)

причем число п появлений события в серии из N испытаний можно рассматривать как сумму N независимых случайных слагаемых:

, (27)

каждое из которых может принимать только два значения 1 и 0 с вероятностями P и 1 – P.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X_i:

. (28)

Погрешность оценки (26) равна

. (29)
Математическое ожидание погрешности и ее дисперсия:

. (30)

Таким образом, оценка (26) - несмещенная и состоятельная. Среднее квадратическое отклонение оценки (26)

.

На практике принимают

. (31)

3.5 Определение законов распределения случайной величины

Экспериментальное определение законов распределения случайных величин сводится к определению оценок вероятностей, математических ожиданий, дисперсий и средних квадратических отклонений [1-3].

Если случайная величина X - дискретная, то определяются , и оценки значений функции вероятности или оценки значений функции распределения .

Если случайная величина X - непрерывная, то определяются М_х , D_х и оценки f_x(x), F_x(x) плотности вероятности f_x(x) и функции распределения F_x(x).

При оценивании законов распределения непрерывной случайной величины процесс обработки экспериментальных данных - реализаций х ,...,x_N,, начинается с выбора границ а и b > а интервала, заключающего возможные значения X, и деления этого интервала на k равных элементарных промежутков с = (b - a)/ k.

При расчете с значения а и b следует для удобства округлять,

принимая, например, вместо b = 3,341, а = -2,63 значения 3,4 и -2,7. Во всех случаях округление производится в сторону увеличения разности b- а. Значение k выбирается в пределах от 8 до 20. Удобно принять k= 10.

После этого определяют границы всех элементарных промежутков и составляют таблицу (табл.1), в которой х'₀=а, x'_k=b. Значение - это число реализаций X, оказавшихся в пределах j-ого интерва­ла от , до . Значения и :

(32)
. (33)

При группировке реализаций X по отдельным интервалам может оказаться что некоторые из них придутся точно на границу двух смежных промежутков. В этих случаях необходимо прибавить к чис­лам и смежных интервалов по 1/2.

Таблица 1

… … … …

По данным таблицы могут быть построены эмпирические гистограмма и график функции распределения.

Затем возникает весьма сложная задача подбора аналитического закона распределения, достаточно хорошо согласующегося с результатами эксперимента.

Основанием для выбора аналитического выражения плотности вероятности f_x(x) могут служить соображения о том, чтобы простейшие числовые характеристики теоретической случайной величины были равны экспериментальным значениям этих характеристик. Если, например, теоретический закон определяется двумя параметрами, то их выбирают так, чтобы совпали два момента ( ).

3.6 Критерий интервальных оценок

Располагая результатами эксперимента согласно (31) рассчитывают средние квадратические отклонения:

;
. (34)

Согласно (8) рассчитываются доверительные интервалы

и границы изменения ВВХ

, (35)

соответствующие доверительной вероятности и .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)