Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Задание 1

Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ₁=0,3; ₂=0,6; ₃=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁ = 1,10 и d₂ = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁ = 0,32;

• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Таблица 1

Поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года

Решение

Будем считать, что зависимость между компонентами тренд-сезонный временный ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

, (1)

где k – период упреждения;

Y_р(t) — расчетное значение экономического показателя для t-гo периода;

a(t), b(t) и F(t) - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

F(t+k-L) - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L - период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных – L=12).

Таким образом, если по формуле 1 рассчитывается значение экономического показателя, например за второй квартал, то F(t+k-L) как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

; (2)

; (3)

. (4)

Параметры сглаживания ₁, ₂ и ₃ подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).

Из формул 1 - 4 видно, что для расчета а(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (т.е. для t=1-1=0). Значения а(0) и b(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 1.

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл. 1. Линейная модель имеет вид:

. (5)

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения а(0) и b(0) по формулам 6 - 9:

; (6)

; (7)

; (8)

. (9)

Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1 (т.е. к данным за первые 2 года), находим значения а(0) и b(0). Составим вспомогательную таблицу для определения параметров линейной модели:

Таблица 2

t		Y(t)	t-tcp	Y-Ycp	(t-tcp)2	(Y-Ycp)(t-tcp)
1		28	-3,5	-7,625	12,25	26,6875
2		36	-2,5	0,375	6,25	-0,9375
3		43	-1,5	7,375	2,25	-11,0625
4		28	-0,5	-7,625	0,25	3,8125
5		31	0,5	-4,625	0,25	-2,3125
6		40	1,5	4,375	2,25	6,5625
7		49	2,5	13,375	6,25	33,4375
8		30	3,5	-5,625	12,25	-19,6875
	36	285	0	0	42	36,5

Уравнение (5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид: Y_p(t)=31,714+0,869·t. Из этого уравнения находим расчетные значения Y_р(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл. 3). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл. 1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса по формулам 1 - 4.

Таблица 3

Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Y_p(t)

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное Y(1)/Y_р(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) Y(5)/Yр(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

F(-3) = [ Y(1) / Y_p(1) + Y(5) / Y_p(5) ] / 2=[ 28 / 32,583 + 31 / 36,060 ] / 2 = 0,8595.

Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:

F(-2) = [Y(2) / Y_p(2) + Y(6) / Y_p(6) ] / 2 = 1,0797;

F(-1) = [Y(3) / Y_p(3) + Y(7) / Y_p(7) ] / 2 = 1,2746;

F(0) = [Y(4) / Y_p(4) + Y(8) / Y_p(8) ] / 2 = 0,7858.

Оценив значения а(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул 1 - 4.

Из условия задачи имеем параметры сглаживания ₁=0,3; ₂=0,6; ₃=0,3. Рассчитаем значения Y_p(t), a(t), b(t) и F(t) для t=l.

Из уравнения 1, полагая что t=0, k=1, находим Y_р(1):

Из уравнений 2 - 4, полагая что t=1, находим:

;

;

.

Аналогично рассчитаем значения Y_p(t), a(t), b(t) и F(t) для t=2:

;

;

;

для t=3:

;

;

;

для t=4:

;

;

;

для t=5:

Обратим внимание на то, что здесь и в дальнейшем используются коэффициенты сезонности F(t-L), уточненные в предыдущем году (L=4):

;

;

;

Продолжая аналогично для, t = 6,7,8,…,16 строят модель Хольта-Уинтерса (табл. 4). Максимальное значение t, для которого можно находить коэффициенты модели, равно количеству имеющихся данных по экономическому показателю Y(t). В нашем примере данные приведены за 4 года, то есть за 16 кваралов. Максимальное значение t равно 16.

Таблица 4

Модель Хольта-Уинтерса

Проверка качества модели

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности Y(t)-Yp(t) между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 5.

Проверка точности модели

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%·abs{E(t)}/Y(t)) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см. гр. 8 табл. 4) составляет 21,25, что дает среднюю величину 21,25/16 = 1,33%.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)