183608 (584733), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

у якій α, β, х_і - детерміновані (фіксовані чи відомі) величини, а значення показника y_і і помилки моделі ε_і - випадкові величини (ВВ) із заданим розподілом (наприклад, щільності імовірності). Часто у_і, ε_і вважаються нормальними ВВ (НВВ), тоді модель називають нормальною. Обмежені дані вибірки обсягу п << N дозволяють замість точної моделі з параметрами α і β побудувати наближену модель:

Тут е_і - залишки регресії, вероятностные властивості яких вважаються аналогічними помилкам , а а, b - деякі оцінки (наближені значення) параметрів моделі.

Ми будемо оцінювати дисперсії і середньоквадратичні помилки (СКП) для оцінок параметрів моделі і величини ε:

де М[X], D[X] - математичне чекання і дисперсія випадкової величини X.

Для безупинної випадкової величини X із щільністю імовірності р(х) вони визначаються як:

Отже, для точного визначення того чи іншого параметра випадкової величини досить знати (чи задати) її розподіл щільності імовірності.

4. Властивості простої лінійної регресії

Якщо дано сукупність показників y, що залежать від факторів х, то постає завдання знайти таку економетричну модель, яка б найкраще описувала існуючу залежність. Одним з методів є лінійна регресія. Лінійна регресія передбачає побудову такої прямої лінії, при якій значення показників, що лежать на ній будуть максимально наближені до фактичних, і продовжуючи цю пряму одержуємо значення прогнозу. Процес продовження прямої називається екстраполяцією. Відповідно до цього постає задача визначити цю пряму, тобто рівняння цієї прямої. В загальному вигляді рівняння прямої виглядає:

=а+bх,

де ­- вирівняне значення у для відповідного значення х.

Константи а і b - константи, які передбачають зменшення суми квадратів відхилень між фактичним значенням у і вирівняним значенням .

(у - )² min

Коефіцієнт а характеризує точку перетину прямої регресії з лінією координат.

Коефіцієнт b характеризує кут нахилу цієї прямої до осі абсцис, а також на яку величину зміниться при зміні х на одиницю.

Коефіцієнти а і b знаходять із системи рівнянь, що випливає з формули.

Знайшовши значення параметрів розраховують ряд вирівняних значень для відповідних факторів і проводять дослідження знайденої економетричної моделі.

5. Коефіцієнти кореляції та детермінації

Кореляційний аналіз має на меті встановлення істотності (статистичної значимості) кореляційного зв'язку між фактором і результатом (показником). Основним і досить зручним параметром для цього є коефіцієнт детермінації R².

Розкладемо вибіркову дисперсію показника S_у² на дві некорельовані складові:

Остання сума в цьому розкладанні дорівнює 0 і, отже, випадкові величини е_і, і некорельовані. Тому

Таким чином, загальна дисперсія показника TSS (total sum of squares - загальна сума квадратів) складається з двох складових, що характеризують різні властивості кореляційного полючи даних. Складова ESS (error sum of squares - сума квадратів помилок) характеризує ступінь розкиду точок у, щодо теоретичної прямої і, отже, виражає властивість випадковості вибіркової сукупності. Складова RSS (regressіon sum of squares - сума квадратів регресії), навпроти, пропорційна квадрату різниці між лінією регресії і постійної середній, тобто характеризує властивість закономірності зв'язку. Її частка в загальній дисперсії, обумовлена як коефіцієнт детермінації

є параметром, що визначає значимість лінійного статистичного зв'язку між фактором і показником. З цього випливає, що

Ця формула зручна при розрахунках, якщо за результатами моделювання обчислені залишки регресії е_і, і їхні квадрати.

Коефіцієнт детермінації можна також виразити через коефіцієнт регресії b, якщо врахувати, що зведення в квадрат і усереднення дає

Тоді

або

Таким чином, коефіцієнт детермінації дорівнює квадрату коефіцієнта кореляції

Коефіцієнт кореляції можна виразити через коефіцієнт регресії як:

Таким чином, знак коефіцієнта кореляції збігається зі знаком коефіцієнта регресії b. Останній, однак, відрізняється тим, що може мати розмірність [у/х], тоді як коефіцієнт кореляції R- величина безрозмірна.

Коефіцієнт кореляції характеризує ступінь лінійного статистичного зв'язку. Він приймає значення в інтервалі

- 1 < R < 1.

У крайніх точках R = ± 1 статистичний зв'язок стає лінійним функціональним, позитивним (R = 1) чи негативним (R = - 1). В області R є (0, 1] регресія позитивна (b > 0), а в області r_ху є [- 1, 0) - негативна (b < 0). При R = 0 говорять, що величини Х і Y некорельовані. У теорії імовірності доводиться, що незалежні випадкові величини завжди некорельовані (зворотне твердження вірне лише в окремих випадках, наприклад, для нормальних випадкових величин X і Y). Звичайно думають, що при | R | 0,7 - сильний.

Коефіцієнт кореляції є більш інформативним параметром у порівнянні з коефіцієнтом детермінації, тому що його знак дозволяє судити про позитивну чи негативну кореляцію (і, тим самим, регресії). Відповідно область значень коефіцієнта детермінації

0≤R²≤1.

Важливою властивістю коефіцієнтів кореляції і детермінації є їхня незалежність від зміни розмірності величин X і (чи) Y, а також від їхньої пропорційної зміни. Скажемо, ми вивчаємо залежність товарообігу Y торгового підприємства від торгової площі X [м²]. Коефіцієнт регресії b при цьому виміряється в ден. од./м², наприклад, грн./м² , чи євро/м². Перехід від однієї одиниці до іншої супроводжується пропорційною зміною коефіцієнта регресії b (а також і постійної складовий а, якщо змінюється показник Y). Разом з тим на коефіцієнти R² і R такі перерахування не впливають, вони є безрозмірними відносними показниками (коефіцієнт R² можна, наприклад, виразити в %).

6. Ступені вільності, аналіз дисперсій

Завжди варто пам'ятати, що однієї з основних задач моделювання є в остаточному підсумку одержати результат прогнозу показника Y для якогось цікавлячого економіста значення фактора х_р (у точці прогнозу). Скажемо, при побудові моделі сімейних витрат на харчування в залежності від числа членів родини у вибірку ввійшли родини до 5 чоловік, а ми хочемо спрогнозувати ці витрати для родини з 7 чоловік (х_р = 7). Середнє значення прогнозу показника в точці прогнозу х_р легко визначається з рівняння моделі:

М[у_р ] = М[а + bх_р + ε_p ] = а + b хр = у_р.

Таким чином, середнє значення прогнозу лежить на прямій, що визначає теоретичну залежність моделі.

Після перебування середнього значення прогнозу завжди виникає традиційне питання: яка точність прогнозу, яка ступінь його надійності. Звичайно для цього залучаються интервальні оцінки помилок моделювання (довірчий інтервал разом з довірчою імовірністю). Для кожного значення прогнозу помилки виявляються різними. Це природно, якщо згадати, що помилки, наприклад, у прогнозі погоди ростуть зі збільшенням часу до точки прогнозу (прогноз на завтра більш точний, чим на тиждень уперед).

Визначимо дисперсію і середньоквадратичну помилку прогнозу показника у_р. У специфікації моделі для відхилень замінимо точку спостереження х, на прогнозну крапку х_р:

Вхідні в останнє вираження випадкові величини некорельовані, тому дисперсія показника складається з дисперсій доданків і дорівнює

Як і раніше, замість точного значення дисперсії помилок σ² (яке невідомо в рамках вибіркового спостереження) варто підставити її оцінку, тоді стандартна помилка прогнозу показника стає рівною

Ця середньоквадратична помилка (чи стандартна помилка), як і випливало очікувати, пропорційна стандартній помилці регресії S і росте зі збільшенням різниці між прогнозним і середнім значеннями фактора . Гранична помилка для визначення довірчого інтервалу дорівнює

а границі довірчого інтервалу прогнозованого показника розширюються пропорційно квантилю t_α(n - 2) розподілу Стьюдента з (п - 2) ступенями вільності і рівнем значимості α.

Очевидно, з видаленням крапки прогнозного фактора хр від середнього зона довірчого інтервалу розширюється (рис.4). Це відповідає інтуїтивному сприйняттю помилок прогнозу, що звичайно зростають при видаленні від середніх показників. Максимальна точність прогнозу досягається в крапці х – х^* .

Рис. 4

7. Перевірка простої регресійної моделі на адекватність

Для оцінки знайденої економетричної моделі на адекватність порівнюють розрахункове значення критерію Фішера із табличним.

Розрахункове значення критерію Фішера знаходиться за формулою:

,

де ,

,

n – число спостережень,

m – число включених у регресію факторів, які чинять суттєвий вплив на показник.

Для даної надійної ймовірності р (а=1-р рівня значущості) і числа ступенів вільності k₁=m, k₂=n-m-1 знаходиться табличне значення F(a, k₁, k₂). Отримане розрахункове значення порівнюється з табличним. При цьому, якщо F_роз > F(a, k₁, k₂), то з надійністю р = 1-а можна вважати, що розглянута економетрична модель адекватна вихідним даним. У протилежному випадку з надійністю р розглянуту лінійну регресію не можна вважати адекватною.

8. F - критерій Фішера

Теорія статистичної перевірки гіпотез у додатку до регресійного аналізу розроблена англійським математиком Фишером.

Нехай Н₀ - гіпотеза про те, що статистичного зв'язку між X і Y немає (чи вона не істотна, статистично не значима), а Н₁ - гіпотеза про те, що зв'язок є (чи вона істотна, статистично значима). Припустимо, що виконується основна гіпотеза про відсутність зв'язку. У цьому випадку щире значення коефіцієнта регресії β = 0 і F-статистика стає рівною

Очевидно, що з ростом значення F (чи коефіцієнта детермінації R²) збільшується ступінь статистичного зв'язку між фактором і показником (тому що вона прямо пропорційна коефіцієнту регресії і назад пропорційна випадковим помилкам моделі). Задамо імовірність:

як імовірність того, що при перевищенні розрахунковим значенням F (2.47) деякого критичного значення F_Kp гіпотеза про відсутність зв'язку Н₀ вірна. Очевидно, з імовірністю (1 - α) вона при тім же умові невірна. Закритичну область F > F_Kp будемо вважати областю дії гіпотези Н₁, а докритичну F < F_Kp - областю дії гіпотези Н₀. Тоді імовірність є імовірність помилки першого роду: α=P(H₀|H₁), тобто імовірність прийняття основної гіпотези H₀, тоді як насправді справедлива альтернативна гіпотеза Н₁. Графічно ця імовірність визначається як площа під щільністю імовірності p(F) при F > F_kp. Імовірність α (її іноді називають коефіцієнтом значимості) звичайно вибирають малої (рівної 0,05 чи 0,01), після чого для заданих значень імовірності а розраховуються чисельно критичні значення F_Kp відповідно з урахуванням залежності. Ці значення табулюються, тобто заносяться в таблиці критичних коефіцієнтів чи детермінації критичних значень F-статистики.

Рис. 5

Визначення значимості статистичного зв'язку для моделі лінійної регресії здійснюється по наступної методики. На основі вибіркових даних будується модель і визначається коефіцієнт детермінації R², що потім порівнюється з критичним коефіцієнтом детермінації R²_Kp. Останній знаходять по таблиці критичних значень коефіцієнта детермінації. Вхідними даними таблиці є коефіцієнт значимості α = 0,05 (чи 0,01), номер стовпця таблиці к₁ = п - 1, номер рядка к₂₌п-к, де к - число параметрів моделі (для двовимірної моделі до = 2 і використовується перший стовпчик таблиці). Нагадаємо, що параметр к₁ - це число ступенів волі чисельника F-статистики, к₂ - число ступенів волі знаменника F-статистики. Коефіцієнт детермінації можна перерахувати в F-статистику (критерій Фишера), у загальному випадку по формулі:

Розраховане для моделі значення F порівнюється з критичним. При F > F_Kp (чи R² > R²_кр) робиться висновок, що з імовірністю, рівної (1 - α), зв'язок істотний (статистично значимий). У противному випадку говорять, що лінійний зв'язок незначимий (чи більш загальний статистичний зв'язок не встановлений).

Задача

Побудувати економетричну модель за наведеними даними. Оцінити параметри моделі. Зробити економічні висновки. Оцінити тісноту та значимість зв’язку між змінними.

Рішення:

Середні арифметичні показника і фактора:

Рівняння моделі лінійної регресії має вигляд: у = а+ bх.

Знайдемо коефіцієнти а і b:

Таким чином, рівняння моделі лінійної регресії має вигляд:

у=0,3527+2,9988×х

Коефіцієнт кореляції характеризує ступень лінійного статистичного зв’язку:

Тобто зв'язок між випуском продукції та витратами матеріалів на одиницю дуже щільний.

Маємо визначені середні значення величин - X_cp = 7,4429, Y_cp = 22,5214, слідові можна визначити середній коефіцієнт еластичності для цієї моделі:

A = b*X_cp/Y_cp = 2,9988*7,4429/22,5214 = 0,991,

тобто при зростанні показника (випуск продукції) на 1% показник Y (витрати матеріалів на одиницю продукції) зростає на 0,99%.

Можна зробити попередні висновки:

В результаті розрахунків отримано модель у^{^} = 0,3527+2,9988×х. Аналізуючи параметри моделі можливо зробити наступні висновки, що оскільки коефіцієнт регресії додатний a₁=2,9988, то це свідчить про те, що напрямок зв’язку між X і Y прямий (це підтверджує й графік моделі, рис.1), тобто при зростанні Х значення Y теж будуть збільшуватись. При збільшенні Х на 1 значення Y зросте на 0,99.

Рис.1.

Коефіцієнт еластичності свідчить, на скільки відсотків гранично змінюється залежна змінна, якщо відповідна незалежна змінна змінюється на 1%, а інші - постійні.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)