176656 (583161), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Самолет, ожидающий посадки, может, находится в положении, близком к критическому (в это время другие самолеты будут действительно в критическом положении), он может принять решение присоединится к более короткой очереди в ближайшем аэропорту и приземлится там. Прибывающий самолет может не выстраиваться в эшелон, а уходить в другой аэропорт (отказ становится в очередь). В этом случае говорят, что аэропорт "потерял" этот самолет. Случается, что самолет отправляется в соседний аэропорт после того, как, присоединившись к очереди, он прождал больше, чем предполагалось (по кидание очереди до начала обслуживания). Можно рассматривать приземляющийся самолет участвующим в цикле, если он присоединяется к очереди самолетов, ожидающих взлета, и снова включается к очереди самолетов, ожидающих взлета, и снова включается во входной поток системы. Если приземляющийся самолет имеет информацию о размерах очереди эшелонированных самолетов, ожидающих посадки в соседнем аэропорту, то он может присоединится к этой очереди. Если у него есть информация еще об одном аэропорте, то он может отправится и туда (редкий случай). Это движение туда и обратно при наличии нескольких очередей называется переходом из одной очереди в другую (возможность выбора очереди).

Аэропорт может временно закрываться, и прибывший самолет будет вынужден отправится в другой аэропорт, если число эшелонированных самолетов, ожидающих посадки, достигнет заданной величины. Операция обслуживания может быть ускорена путем оборудования специальных гасителей скорости, которые позволяют самолетам приземлятся на главной полосе с большой скоростью.

Основной проблемой при управлении аэропортом является связь. Если входящий поток как на земле, так и в воздухе велик, то аэропорт должен быстро связываться с самолетами и получать ответ. При организации связи важной проблемой является определение числа операторов и каналов связи, необходимых для регулирования различных состояний перегруженности, которые могут возникнуть. В данном случае необходимо выбрать оптимальное число каналов для обслуживания требований, поступающих в соответствии с данным распределением. Можно произвести сравнение стоимость дополнительного канала со стоимостью возросшего объема обслуживания существующими каналами.

Важной проблемой является наличие соответствующего места для ожидания в очереди. Например, при проектировании аэропорта существенным моментом является наличие наземной рулежной дорожки для самолетов, готовых к влету.

Во многих задачах теории массового обслуживания для определения необходимого показателя эффективности достаточно знать распределение входящего потока, дисциплину очереди (например, случайный выбор, обслуживание в порядке поступления или с приоритетом) и распределение времени обслуживания. В других задачах нужно иметь дополнительную информацию. Например, в случае отказов в обслуживании нужно определить вероятность того, что поступившее требование получит отказ сразу после прибытия или через некоторое время, т.е. покинет очередь до или после присоединения к ней.

С теоретической точки зрения очередь можно рассматривать как потоки, походящие через систему пунктов обслуживания, соединенных последовательно или параллельно. На поток оказывают влияние различные факторы; они могут замедлять его, приводить к насыщению и т.д.

Система массового обслуживания типа (M/M/1):(GD//): в модели (M/M/1):(GD//) имеется единственный узел обслуживания (обслуживающий прибор), а на вместимость блока ожидания и емкость источника требований никаких ограничений не накладывается. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими с параметрами и соответственно.

Прежде всего получим уравнение в конечных разностях для рn(t), т.е. для вероятности того, что в интервале времени t в системе находится n требований (клиентов). После этого при надлежащих условиях перейдем к пределам пи t и получим формулу для рn, соответстветствующих сиационарному режиму исследуемого процесса.

Система массового обслуживания типа (M/M/1):(GD/N/): разница между моделью типа (M/M/1):(GD/N/) и моделью типа (M/M/1):(GD//) заключается только в том, что требований, допускаемых в блок ожидания обслуживающей системы, равняется N. Это означает, что при наличии в системе N требований ни одна из дополнительных заявок на обслуживание не может присоединяться к очереди в блоке ожидания. В результате эффективная частота поступлений требований ЭФФ для системы указанного типа становятся меньше частоты , с которой заявки на обслуживание генерируются соответствующим источником.

Дифференциально-разностные уравнения как для n=0, так и 0

имеют

Система массового обслуживания типа (M/M/c):(GD//): процесс массового обслуживания, описываемый моделью (M/M/c):(GD//), характеризуется интенсивностью входного потока и тем обстоятельством, что параллельно обслуживаются может не более с клиентов. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равняется 1/. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Конечная цель использования с параллельно включенных обслуживающих приборов заключается в повышении (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно с клиентов. Таким образом, если n=c, то интенсивность входного (выходного) потока равняетсяс. С другой стороны, если n

Таким образом, для анализа модели (M/M/c) требуется построить обобщенную одноканальную модель, в которой как интенсивность входного потока, так и скорость обслуживания зависели бы от n, так что вместо безиндексных параметров и нужно было бы использовать величины n и n. Нужно вывести формулу для вычисления стационарных значений значений р n. Полагая n =, а n =n при n

Для краткого обозначения систем массового обслуживания и выбора математических методов операционных характеристик эффективности применяются трех- и четырехкодовые шифры. Трехкодовой шифр имеет вид (λ/μ/n). Первый элемент указывает на тип распределения входящего потока требований, второй – на время обслуживания, третий – на число каналов обслуживания. В четырехкодовом шифре четвертый элемент обозначает характер очереди. Например, код (λ/μ/n/m) отражает, что в очереди может быть не более m требований.

На практике чаще всего приходится иметь дело с входящими потоками требований, для которых моменты наступления событий и промежутки времени между ними случайны. В таком случае поток требований может описываться произвольной функцией распределения случайной величины.

Наиболее просто описываются системы с простейшим потоком требований, то есть удовлетворяющим свойствам стационарности, ординарности и отсутствия последствий. Свойством стационарности обладает поток, у которого вероятность поступления зависит только от длины промежутка. Это значит, что параметры закона распределения потока требований не изменяются со временем. Потом обладает свойством ординарности, если вероятность поступления на малом участие ∆t двух или более требований очень мала по сравнению с вероятностью поступления одного требования. Другими словами, если Р>1(∆t) – вероятность поступления в течение промежутка времени ∆t более одного требования, то Р>1(∆t)=О(∆t), где О(∆t) – очень малая величина по сравнению с ∆t. В результате требования приходят по одному.

Отсутствие последствия состоит в том, что число требований, поступивших в систему после некоторого промежутка времени, не зависит от того, сколько их пришло до этого момента. Доказано, что поток требований можно считать простейшим, если он получен суммированием достаточно большого числа не зависящих друг от друга потоков, влияние каждого из которых на сумму равномерно малое, и что простейшим их поток описывается пуассоновским законом распределения:

Рк(t)=λtk/k!*l-λt, где

Рk(t) - вероятность того, что за произвольно выбранный период времени t поступит k требований;

l – математическое ожидание случайной величины;

λ – плотность входящего потока, то есть среднее число требований в единицу времени.

Важным показателем процесса обслуживания считается время, под которым понимается интервал между момент поступления требования в канал и моментом его выхода из канала. Время может изменяться, что объясняется неполной идентичностью приходящих требований, состоянием требований, состоянием и возможностью обслуживающих устройств. Время обслуживания в большинстве систем следует рассматривать как случайную величину. В экономических процессах оно, чаще всего, распределено по показательному закону:

f(t)=μ*l-μt, где

μ- среднее число требований, обслуженных в единицу времени.

Тогда средняя продолжительность обслуживания будет равна:

tобсл.=∫∞0t*f(t)dt=∫∞0t* μ* l-μtdt=1/μ,

таким образом, задав систему массового обслуживания с помощью трех (λ/μ/n) или четырех (λ/μ/n/m) шифров, можно установить основные операционные показатели, характеризующие эффективность работы той или иной системы. В частности, среднее число простаивающих каналов, коэффициент загрузки каналов, средний процент обслуживаемых заявок, среднее время ожидания в очереди, среднее время пребывания заявки в системе обслуживания, среднюю длину очереди, средний доход в единицу времени и т.д.

2.2 Принятие решений с использованием моделей массового обслуживания

Трудности использования стандартных моделей, разработанных в теории массового обслуживания, можно преодолеть одним из следующих способов. Во-первых, можно модифицировать структурно-функциональные характеристики обслуживающей системы так, чтобы чисто логическим путем достичь желательных операционных показателей этой системы и одновременно сделать рассматриваемую систему массового обслуживания поддающейся анализу одной из стандартных математических моделей. Во-вторых, можно признать справедливым некоторые упрощающие предположения относительно реальной обслуживающей системы и, следовательно, возможно представить ее с помощью математической модели без риска получить существенные ошибки в численных оценках операционных характеристик исследуемой системы. Второй из указанных способов представляет собой более перспективным, поскольку за счет его реализации увеличивается круг задач, решение которых может быть обеспеченно путем использования разработанных в теории массового обслживания математических моделей и методов.

Выбор того или иного метода для исследования функциональных характеристик обслуживающей системы независимо от того, является ли он аналитическим или же относится к категории имитационных, в каждом конкретном случае определяется законом распределения моментов поступления требований и продолжительностей обслуживания.

Стоимостные модели массового обслуживания направлены на определение такого уровня функционирования обслуживающей системы, при котором достигается "компромисс" между следующими двумя экономическими показателями:

а) прибылью, получаемой за счет предоставления услуг;

б) потерями прибыли, обусловленными задержками в предоставлении услуг.

Рассмотрим одноканальную модель массового обслуживания со средней частотой поступления требований, равной , и со средней скоростью обслуживания, равной . Предполагается. Что скорость обслуживания поддается регулированию; требуется определить ее оптимальное значение на основе надлежащим образом построенной стоимостной модели. Введем следующие обозначения:

С1 - выражения в стоимостной форме выигрыш за счет увеличения на единицу значения в течение единичного интервала времени;

С2 - "цена" ожидания (т.е. обусловленные вынужденным ожиданием экономические потери) в единицу времени и в расчете на одно требование;

ТС() - стоимостный показатель, определяемый формулой:

ТС ()=С1+ С2LS.

Рассмотрим мультиканальную модель. Стоимостная модель массового обслуживания в данном случае должна быть ориентирована на определение оптимального числа обслуживающих приборов, которое мы обозначили выше через с. предполагается, что значения и фиксированы. Интегральная стоимость показателей задается формулой

где

С1 - отнесены к единице времени затраты на обеспечение функционирования одного дополнительного обслуживающего прибора;

LS(с)- среднее число находящихся в обслуживающей системе требований.

К моделям, в которых осуществляется учет предпочтительного уровня обслуживания, переходят из-за трудностей получения числовых значений стоимостных показателей (параметров) процесса массового обслуживания; при этом весь анализ производится на основе более примитивных оценок операционных характеристик, исследуемых систем массового обслуживания. При использовании таких моделей в ходе поиска оптимальных значений основных параметров проектируемой системы обращаются непосредственно к ее операционным характеристикам. При этом оптимальность связывают с возможностью обслуживающей системы удовлетворить некоторый желательный с точки зрения, принимающего решение, уровень активности системы. Эти желательные уровни определяются путем оценок верхних предельных значений тех конкурирующих экономических показателей, между которыми лицо, принимающее управляющее решение, хочет установить баланс.

2.3 Применение теории массового обслуживания

Теория массового обслуживания – прикладная область теории случайных процессов. Теория рассматривает вероятностные модели реальных систем обслуживания. Она используется для минимизации издержек в сфере обслуживания, в производстве, в торговле. При этом учитываются факторы: ритм изменения числа клиентов или заявок, вероятностные соображения, например, каковы шансы столкнуться с необычно большим наплывом покупателей, способ определения издержек ожидания и улучшения обслуживания. Предметом ее исследования являются вероятностные модели реальных систем обслуживания, где в случайные моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства выполнения заявок. Теория массового обслуживания исследует математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания, качества функционирования систем, где случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их исполнение.

Данная теория позволяет изучать системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера. Случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их обслуживание. Целью методов теории является отыскание разумной организации обслуживания, обеспечивающей заданное его качество, определение оптимальных (с точки зрения принятого критерия) норм дежурного обслуживания, надобность в котором возникает непланомерно, нерегулярно.

С использованием метода математического моделирования можно определить, например, оптимальное количество автоматически действующих машин, которое может обслуживаться одним рабочим или бригадой рабочих и т.п.

Типичным примером объектов теории массового обслуживания могут служить автоматические телефонные станции - АТС. На АТС случайным образом поступают “требования” - вызовы абонентов, а “обслуживание” состоит в соединении абонентов с другими абонентами, поддержание связи во время разговора и т.д. Задачи теории, сформулированные математически, обычно сводятся к изучению специального типа случайных процессов.

Исходя их данных вероятностных характеристик поступающего потока вызовов и продолжительности обслуживания и учитывая схему системы обслуживания, теория определяет соответствующие характеристики качества обслуживания (вероятность отказа, среднее время ожидания начала обслуживания т.п.).

Применение системы массового обслуживания применяется в задачах, когда в массовом порядке поступают заявки на обслуживание с последующим их удовлетворением. На практике это могут быть поступление сырья, материалов, полуфабрикатов, изделий на склад и их выдача со склада; обработка широкой номенклатуры деталей на одном и том же технологическом оборудовании; организация наладки и ремонта оборудования; транспортные операции; планирование резервных и страховых запасов ресурсов; определение оптимальной численности отделов и служб предприятия; обработка плановой и отчетной документации.

Список использованной литературы

1. Баканов, М.И., Теория экономического анализа/ М.И. Баканов, А.Д. Шеремет-М.: Финансы и статистика, 2005.- 416с.

2. Басовский, Л.Е., Теория экономического анализа/Л.Е. Басовский - М.: Инфра-М, 2007.- 222с.

3. Гиляровская, Л.Т., Экономический анализ/ Л.Т. Гиляровская - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.-615с.

4. Зенкина, И.В., Теория экономического анализа: учеб. пособ./И.В. Зенкина - М.: Дашков и Ко, 2008.-208с.

5. Любушкин, Н.П., Теория экономического анализа/Н.П. Любушкин - М.: Юристъ, 2002.-479 с.

6. Монахов, А.В., Математические методы анализа экономики/А.В. Монахов - СПб.: Питер, 2002. - 176с.

7. Шеремет, А.Д., Теория экономического анализа/А.Д. Шеремет - М.: Инфра-М, 2008.-367с.

1 Шеремет А.Д., Теория экономического анализа/А.Д. Шеремет - М.: Инфра-М, 2008. С.284

1 Баканов, М.И., Теория экономического анализа/М.И. Баканов, А.Д. Шеремет - М.: Финансы и статистика, 2005. С.389

1 Баканов, М.И., Теория экономического анализа/М.И. Баканов, А.Д. Шеремет - М.: Финансы и статистика, 2005. С.401

1 Баканов, М.И., Теория экономического анализа/М.И. Баканов, А.Д. Шеремет - М.: Финансы и статистика, 2005. С.175

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)