159683 (581329), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Дедуктивная полнота логики предикатов ещё более укрепила убеждение Гильберта, что вся классическая математика в конечном счете выразима в первопорядковой логике. К этому времени были уже выявлены два важнейших теоретико-модельных свойства теорий в первопорядковом языке:
Теорема Лёвенгейма-Скулема. Если Т имеет бесконечную модель, то Т имеет модель любой бесконечной мощности t , большей или равной мощности теории Т.
Теорема компактности. Пусть Т - произвольное множество аксиом логики. Если для каждого конечного подмножества Т0 множества Т существует модель для всех аксиом из Т0, то существует модель для всех аксиом из Т.
Обе эти теоремы используются для доказательства неаксиоматизируемости теорий.
Вышеприведенный тезис Гильберта разделялся и разделяется многими логиками, отдающими предпочтение классической логике предикатов перед всеми другими логическими системами. К тому же в 1969 г. была выявлена уникальность первопорядковой логики, заключающейся в том, что классическая логика предикатов является наиболее сильной логикой, обладющей свойством Лёвенгейма-Скулема и свойством компактности.
Теорема Линдстрёма даёт определение первопорядковой логики в терминах её глобальных свойств. Интересно, что первоначально результат Линдстрёма не привлёк к себе особого внимания, о чём говорит издание в 1973 г. знаменитой книги Г. Кейслера и Ч. Ч. Чэна, где эта теорема вообще не обсуждается. Только в третьем издании уже в предисловии говорится, что этот результат является отправной точкой для развития абстрактной теории моделей и вводится новый раздел, где дается определение “абстрактной логики” как пары классов, где l есть класс предложений и л l есть отношение выполнимости, удовлетворяющее определенным условиям. Наиболее известным примером абстрактной логики как раз и является обычная первопорядковая логика, которая обозначается посредством lw ,w .
Абстрактная теория моделей претендует на обозрение всего спектра логик, связей между ними и их сравнение. С начала 70-х годов эта теория бурно развивается, а Дж. Барвайс назвал результат Линдстрёма “одним из первых и до сих пор наиболее поразительных результатов в абстрактной теории моделей”.
Имеется много интересных логик, которые богаче первопорядковой логики, такие, как слабая логика второго порядка, которая пытается построить понятие конечного в логике некоторым естественным образом; логики с формулами бесконечной длины; логики с различными экстра-кванторами типа “существует конечно много”, “существует бесконечно много”, “большинство” и т. д.; логики высших порядков. Однако не имеет значения, как мы будем расширять первопорядковую логику - в любом случае теряется или свойство компактности, или свойство Лёвенгейма-Скулема, или оба вместе. Уже второпорядковая логика, допускающая квантификацию по подмножествам, отношениям и функциям, кроме указанных свойств теряет также свойство полноты, и на самом деле является не столько логикой, сколько теорией множеств. Отсюда вся теоретико-множественная проблематика может быть сформулирована во второпорядковых терминах. Это является основным возражением против второпорядковой логики в недавно вышедшей монографии, посвященной расширениям первопорядковой логики, и поэтому автор отдает предпочтение многосортной первопорядковой логике, которая является переинтерпретацией второпорядковой логики или даже логики высших порядков в первопорядковую с различными видами объектов. Редукция к первопорядковой логике настолько сильна, что мы приходим к рекурсивно-аксиоматизируемому множеству истин. Еще ранее А. Мальцев, Хао Ван и С. Феферман, среди прочих, подчеркивали удобство работы с такой логикой, хотя, заметим, она только внешне выглядит более богатой. Хорошее введение можно найти у Фефермана.
Первой работой, поставившей вопрос о введении новых кванторов, является статья А. Мостовского, где на самом деле обсуждаются лингвистические операторы нового вида, представляющие “естественное обобщение логических кванторов”. Идея Мостовского заключается в том, что любое второпорядковое свойство рассматривается как логический квантор, если оно инвариантно относительно биективных преобразований (перестановок). Построение логики с обобщенными кванторами в последние десителетия привлекло к себе большое внимание лингвистов, математиков, философов, когнитологов. Некоторым итогом развития этого направления является фундаментальный труд “Модельно-теоретические логики”, где Дж. Барвайс приходит к следующему выводу: “Нет обратной дороги к точке зрения, что логика является первопорядковой”. А в монографии Г. Шер в связи с данной проблематикой ставится вопрос “Что есть логика?”, обсуждаются границы логики и делается вывод, что логика шире, чем традиционное мышление.
Появляются всё новые попытки расширения и изменения первопорядковой логики и построения искомой логической системы.
Заключение
1987 г. появилась логическая система под названием “линейная логика”, импликативный фрагмент которой представляет собой BCI-логику, т.е. логику без утончения и сокращения. Кроме обычных операций линейная логика снабжена различными другими операциями и нашла широкое применение в компьютерных науках. За удивительно короткое время образовалось новое направление.
Логика без утончения, сокращения и перестановки (комбинатор C) есть ассоциативное исчисление Ламбека для грамматических категорий или синтаксических типов. Логики проявили огромный лингвистический интерес к этой работе. Хотя первоначально исчисление Ламбека не было представлено как новая логика, но получила развитие в чисто логических работах, итогом чего явились полные (full) секвенциальные и гильбертовские исчисления без указанных выше трех структурных правил (или аксиом). Строится по существу интуиционистское исчисление без структурных правил, которое автор рассматривает как наиболее фундаментальное из всех субструктурных логик и играющее важную роль в теоретических приложениях компьютерной науки. На самом деле построение подобных логик можно считать результатом развития направления, названного “субструктурные логики”, где исчисления получаются за счёт элиминации, ограничения и комбинирования различных структурных правил.
Практическая часть
Провести логический анализ высказываний. Построить их формулы
1. Все люди, страдающие от подагры, лихорадки или болезни глаз - больны; но не все больные люди страдают от подагры, лихорадки и болезни глаз. Точно также все плотники, башмачники, скульпторы - ремесленники; но не все ремесленники суть плотники, башмачники, скульпторы. Подобным образом и все сумасшедшие неразумны, но не все неразумные люди - сумасшедшие.
Все люди, страдающие от подагры, лихорадки или болезни глаз - больны; - общеутвердительное высказывание «все S есть Р»
но не все больные люди страдают от подагры, лихорадки и болезни глаз. частноотрицательное высказывание: «некоторые S не есть Р».
Точно также все плотники, башмачники, скульпторы - ремесленники; общеутвердительное высказывание «все S есть Р».
но не все ремесленники суть плотники, башмачники, скульпторы. - общеутвердительное высказывание «все S есть Р» общеутвердительное высказывание «все S есть Р».
Подобным образом и все сумасшедшие неразумны, -общеутвердительное высказывание «все S есть Р»
но не все неразумные люди - сумасшедшие. - общеутвердительное высказывание «все S есть Р»
2. Желающие обогащаться впадают в искушение и в сеть и во многие безрассудные и вредные похоти, которые погружают людей в бедствие и пагубу. Либо корень всех зол есть сребролюбие, которому, предавшись, некоторые уклонились от веры и самих себя подвергли многим скорбям.
Превращение является непосредственным выводом, в котором заключение получается путем изменения качества посылки. Если посылка – утвердительное суждение, то в результате превращения оно становится отрицательным суждением. Отрицательное суждение, наоборот, превращается в утвердительное.
Все А есть В.
Ни одно А не есть не -В.
3. Роскошь в одно и то же время и вредна для общества, и полезна; ею пользуются, или же в ущерб другим людям, с которыми это лицо стоит в каких-нибудь отношениях, обязывающих его оказывать другим помощь и поддержку; но с другой стороны, роскошь ведет к трате денег, и потому она полезна для общества.
Нестрогая дизъюнкция — такое разделительное суждение, в котором входящие в него суждения связаны логическим союзом «или», имеющим неисключительное значение /«или А, или В, или то и другое вместе»/. Здесь истинность одного высказывания не отрицает истинности другого.
4. Мы можем быть счастливы только или отрешившись от страстей; или борясь с ними. - Разделительное /дизъюнктивное/ суждение - суждение, в котором выражается знание того, что данному предмету присущ /не присущ/ только один признак из числа указываемых в суждении.
Если мы отрешаемся от них, то это состояние несчастное, так как оно унижает человека, и мы никогда не можем быть им довольны.
Если мы боремся с ними, то это тоже положение несчастное, т.к. нет ничего тяжелее той внутренней борьбы, которую нам постоянно приходится вести с самим собой.
Следовательно, мы никогда не можем быть счастливы.
В том случае, когда исходные суждения объединяются в сложное логическим союзом «если...то», мы имеем дело с условным суждением. Условным суждением называется суждение, в котором отображается зависимость явления от определенных условий и в котором основание и следствие соединяются посредством логического союза «если... то». Логическую операцию связи основания и следствия с помощью союза «если...то» называют импликацией: «Если А, то В».
Список литературы
1. Бузук Г.Л., Ивин А.А., Панов М.И. Наука убеждать: логика и риторика в вопросах и ответах. М.: Высшая школа, 1992.
2. Гжегорчик А. Популярная логика. М.: ИНФРА-М, 1999.
3. Зегет В. Элементарная логика. М.: Мир, 1985.
4. Гетманова А.Д. Учебник по логике. М.: ЭКМОС, 1994.
5. Ивин А.А. По законам логики. М.: Мир, 1983.
6. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика. Учебник. М.: Политиздат, 1987.
7. Краткий словарь по логике. М.: Дело, Вита-Пресс, 1991.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
