86305 (575051), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

где s² – несмещенная оценка генеральной дисперсии;

2.4 Оценка среднего квадратического отклонения

(2.4)

2.5 Определение моды

Модой называют варианту с наибольшей частотой повторений.

Из таблицы 2 находим, что наибольшую частоту n=3 имеют варианты x = -731, x = -703, x = -701, x = -700, x = -697, x = -689, x = -686, x = -681, x = -667.

2.6 Определение медианы

Если количество вариант число четное, то медиана вычисляется по формуле:

М_В=(x_k+x_k+1)/2 (2.5.)

где x_k – пятидесятый член вариационного ряда;

x_k+1 – пятьдесят первый член вариационного ряда;

n – Количество вариант и n=2*k

М_В=(x_k+x_k+1)/2=(-689–689)/2= -689

2.7 Расчет коэффициента вариации

Расчет коэффициента вариации проведем по формуле:

(2.6)

Вывод:

Размах варьирования является простейшей характеристикой рассеяния вариационного ряда.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводные характеристики – генеральную дисперсию и средним квадратическим отклонением.

Коэффициент вариации служит для сравнения величин рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов: тот из рядов имеет большее рассеяние, у которого коэффициент больше (эта величина безразмерная поэтому он пригоден для сравнения вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность.

В целом числовые характеристики служат для сравнения рассеяния вариационных рядов в сравнении с аналогичными числовыми характеристиками других вариационных рядов.

3. Построение полигона и гистограммы относительных частот

Для построения гистограммы и полигона относительных частот поделим вариационный ряд (табл. 1) на частичные интервалы. Результаты занесем в таблицу 3.

Таблица 3

Номер интервала I	Частичный интервал xi–xx+1		Сумма относительных частот wi	Плотность частот
	xi	xx+1
1	-805	-780,6	0,01	0,00041
2	-780,6	-756,2	0,02	0,00082
3	-756,2	-731,8	0,03	0,00123
4	-731,8	-707,4	0,12	0,00492
5	-707,4	-683	0,4	0,01639
6	-683	-658,6	0,24	0,00984
7	-658,6	-634,2	0,08	0,00328
8	-634,2	-609,8	0,05	0,00205
9	-609,8	-585,4	0,03	0,00123
10	-585,4	-561	0,02	0,00082

По таб. 3 строим гистограмму относительных частот (рис. 1).

Полигон получаем соединением вершин столбцов гистограммы. (рис. 1) Полигон получаем соединением вершин столбцов гистограммы.

Рис 1.

Вывод: Полигон и гистограмму – графики статистического распределения строят для наглядности относительных частот в выборке.

4. Построение эмпирической функции распределения

Эмпирическая функция распределения выборки находится по формуле:

(4.1)

где n_x – число вариант меньших х;

n – объем выборки.

По формуле (4.1) построим эмпирическую функцию распределения.

Для более точного и правильного построения возьмем середины интервалов:

F(x)	Интервал
0		X<	-792,8
0,01	-792,8		-768,4
0,02	-768,4		-744
0,03	-744		-719,6
0,05	-719,6		-695,2
0,08	-695,2		-670,8
0,12	-670,8		-646,4
0,19	-646,4		-622
0,27	-622		-597,6
0,41	-597,6		-573,2
0,67	-573,2		-548,8
1		x>	-548,8

Вывод:

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности

5. Статистическая проверка гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона или Колмагорова

Проверку проводим с помощью критерия Пирсона.

В этом задании, с помощью критерии Пирсона проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, с этой целью будем сравнивать эмпирические и теоретические частоты.

– Среднее арифметическое значение

– Количество вариантов

– Шаг интервалов

– Оценка среднеквадратического отклонения.

Вычислим данные по таблице:

I		ni	Xi		X (i+1)		Zi		Z (I+1)
1		1	-805		-780,6				-2,7340	-0,5	-0,469	3,1	1,4226	0,3226
2		1	-780,6		-756,2		-2,7340		-2,1140	-0,469	-0,408	6,1	4,2639	0,1639
3		4	-756,2		-731,8		-2,1140		-1,4941	-0,408	-0,285	12,3	5,6008	1,3008
4		7	-731,8		-707,4		-1,4941		-0,8741	-0,285	-0,099	18,6	7,2344	2,6344
5		26	-707,4		-683		-0,8741		-0,2542	-0,099	0,1141	21,31	1,0322	31,7222
6		33	-683		-658,6		-0,2542		0,3658	0,1141	0,2939	17,98	12,5473	60,5673
7		14	-658,6		-634,2		0,3658		0,9857	0,2939	0,4131	11,92	0,3630	16,4430
8		8	-634,2		-609,8		0,9857		1,6057	0,4131	0,4713	5,82	0,8166	10,9966
9		3	-609,8		-585,4		1,6057		2,2256	0,4713	0,4927	2,14	0,3456	4,2056
10		3	-585,4		-561		2,2256			0,4927	0,5	0,73	7,0588	12,3288
СУММА		100										100	40,6851	140,6851

X²_набл=40,685

Контроль: 140,685–100=40,685

Исходя из требований, чтобы вероятность попадания критерия в критическую область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости .

Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы – неравенством .

Уровень значимости = 0,05;

По таблице критических точек распределения χ² (приложение 3), по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы K=10–3=7 находим критическую точку правосторонней критической области χ²кр (0,05; 7) = 14,1.

Вывод: Так как X²_набл> X²_кр, то нулевую гипотезу отвергают, значит гипотезу о нормальном распределении отвергают.

6. Расчет асимметрии и эксцесса

Асимметрия – отношение центрального момента 3-го порядка к кубу среднего квадратического отклонения.

, где

Эксцесс – характеристика «крутости» рассматриваемой случайной величины.

, где

Значение Х_В, вычисляем по формулам:

,

где С – Ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту).

,

где h – шаг (разность между двумя соседними вариантами);

(условный момент второго порядка);

(условный момент первого порядка);

(условная варианта).

Расчеты занесем в таблицу 7:

Xi	Ni	Ui	XB	M1	M2		m3	m4	AS	EK
-805	1	-2,73	-684,67	0,30	1,06	23,97	3433,28	4193007,72	0,25	12,71
-780,6	1	-2,11
-756,2	4	-1,49
-731,8	7	-0,87
-707,4	26	-0,25
-683	33	0,37
-658,6	14	0,99
-634,2	8	1,61
-609,8	3	2,23
-585,4	3	2,85

Вывод:

Т.к. асимметрия положительна то ‘длинная часть’ кривой распределения расположена справа от математического ожидания или мода.

Т.к. Эксцесс больше нуля, то кривая распределения имеет более высокую и ‘острую’ вершину, чем нормальная кривая.

7. Построение доверительного интервала для математического ожидания и среднего квадратического отклонения

Доверительный интервал для математического ожидания (с вероятностью ) находят как:

(7.1)

где n – объем выборки;

t – случайная величина имеющее распределение Стьюдента находим по приложению 1.

s – исправленное среднее квадратическое отклонение;

– выборочное среднее;

Найдем интервал:

по приложению 1 находим t = 1.984 при = 0.95 и n = 100;

=-684,67; s = 38,19;

Получаем

-692,25

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения

(с надежностью ) находят как:

при q<1 (7.2)

при q>1 (7.3)

где q находят по приложению 2, по заданным n и ;

Исходя из приложения 2, n = 100 и = 0.95 находим q=0.143;

Поэтому интервал находим по формуле (7.2):

38.19(1-0.143) 38.19(1+0.143) 35,58(1+0.143)

32.73 43.65

Вывод:

Итак, с надежностью 0,95 неизвестное математическое ожидание ‘а’ находится в доверительном интервале -692,25’ находиться в доверительном интервале 32.73 43.65.

Вывод

Для представления генеральной совокупности я исследовала выборку, которая имеет объём 100 элементов.

Я нашла:

размах варьирования R=244;

среднеарифметическое значение статистического ряда =-684,67;

несмещенную оценку генеральной дисперсии s²=1458,99;

среднее квадратическое отклонение s=38,19;

медиану М_В=-689 и коэффициент вариации V= 5,58%.

С надежностью 0.95 оценил математическое ожидание в интервале

-692,25 а -677,09

и среднее квадратическое отклонение в интервале

32,73 43,65

Выборка имеет варианты x = -731, x = -703, x = -701, x = -700, x = -697, x = -689, x = -686, x = -681, x = -667, которые встречаются 3 раза.

На рис. 1 построила гистограмму и полигон относительных частот. По рис. 1 можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

После проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона при =0.05, я отвергла ее. Из этого следует, что расхождения между практическими и теоретическими частотами значимо.

Асимметрия a_s=0,25. Из этого следует, что правое крыло функции более вытянуто относительно ее моды.

Эксцесс e_k=12,71. Из-за того, что у эксцесса положительный знак, эмпирическая функция распределения острее по сравнению с теоретическим распределением.

Список литературы

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2001.

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.

М.: Высшая школа, 2001.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)