86186 (575016), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

b) Проверим P(1): 6⁰ + 3² + 3⁰ = 11, следовательно, P(1) - справедливое утверждение. Следует доказать, что если 6^2n-2 + 3ⁿ⁺¹ + 3^n-1 делится на 11 (P(n)), тогда и 6²ⁿ + 3ⁿ⁺² + 3ⁿ также делится на 11 (P(n + 1)). Действительно, поскольку

6²ⁿ + 3ⁿ⁺² + 3ⁿ = 6^2n-2+2 + 3ⁿ⁺¹⁺¹ + 3^n-1+1 =

= 6²·6^2n-2 + 3·3ⁿ⁺¹ + 3·3^n-1 = 3·(6^2n-2 + 3ⁿ⁺¹ + 3^n-1) + 33·6^2n-2

и, как 6^2n-2 + 3ⁿ⁺¹ + 3^n-1, так и 33·6^2n-2 делятся на 11, тогда и их сумма 6²ⁿ + 3ⁿ⁺² + 3ⁿ делится на 11. Утверждение доказано.

Несобственные интегралы

Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b] и , ; кроме того

Определение: Несобственным интегралом 1рода от f(x) на (a, b] называется предел:

если этот предел существует. В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.

Пример:

Если = 1, то

Следовательно, при < 1 интеграл

Аналогично определяется несобственный интеграл, если

Определение несобственного интеграла 2 рода:

Пусть : и существует предел:

Тогда этот предел называется несобственным интегралом 2 рода, т.е.

Пример:

Если = 1, то

Следовательно, несобственный интеграл

Для исследования сходимости и расходимости несобственных интегралов применяется признак сравнения:

Пусть функция f(x) и g(x) удовлетворяют неравенству: и несобственный интеграл сходится. Тогда сходится и несобственный интеграл .

Доказательство: В силу сходимости по критерию Коши для функции , выполняется неравенство . Но тогда, ввиду неравенств: аналогично неравенство будет справедливо и для функции f(x), т.е.

Следовательно, по критерию Коши существует предел:

,

т.е. этот интеграл сходится.

Замечание1: Аналогичный признак сравнения справедлив и для несобственных интегралов 2 рода.

Замечание2: Отрицанием признака сравнения будет следующее утверждение: если несобственный интеграл расходится, то расходится и несобственный интеграл

.

Эйлеровы интегралы () и (, ).

Определим функцию () равенством:

.

Покажем, что интеграл сходится при > 0. Представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов:

и докажем сходимость каждого из этих интегралов при > 0.

Обозначим

и .

Если x(0, 1], то: . Так как интеграл , как это было доказано выше сходится при 1 - 0, то по признаку сравнения интеграл сходится при >0. Если x[1, + ) , то для некоторой константы c>0 выполняется неравенство: .

Заметим, что

,

т.е. этот интеграл сходится при любых R. Следовательно, функция Эйлера () = ₁() + ₂() определена для всех >0.

Далее, определим функцию

(, ) =

и докажем, что эта функция определена для любых >0 и >0.

Обозначим:

и .

Если x(0, 1/2], то . Интеграл сходится по признаку сравнения 1 - 0 и при любых значениях . Заметим, что, если в интеграле ₂(, ) сделать замену t = 1 – x, то мы ₁(, ), который, как мы выяснили, сходится при >0 и при любых .

Следовательно, функция Эйлера (, ) = ₁(, ) + ₂(, ) определена для любых >0 и >0. Отметим (без доказательства) следующие свойства интегралов Эйлера:

1. (1) = 1

2. ( + 1) = (), >0

3. (n + 1) = n!, nN

4. ()(1 - ) = , 0<<1

5. (1/2) =

6. (, ) =

Пример:

Вычислить интеграл вероятности

.

В силу чётности функции интеграл вероятности можно представить в виде:

.

Сделав в этом интеграле замену t = x² , получим следующий интеграл:

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)