86160 (575008), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

в) Пусть событий Е - одно бракованное и одно доброкачественное. Здесь необходимо рассмотреть два события: Событие - из первой партии вынули доброкачественное изделия, а из второй – бракованное; Событие - из первой партии вынули бракованное изделие, а из второй – доброкачественное.

Тогда:

Е = +

или Р(Е) = Р( ) + Р( )

Вероятность события Е находим, используя теорему сложения и умножения:

Р(Е) = р₁ · q₂ + q₁ · р₂ = 0,39 · 0,22 + 0,61 · 0,78 = 0,5616

Ответ: а) 0,6958; б) 0,1342; в) 0,5616.

6. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле: первым стрелком равна P₁ = 0,39, а вторым стрелком - P₂ = 0,45. Первый стрелок сделал n₁ = 3 выстрелов, а второй стрелок – n₂ = 2 выстрелов. Определить Вероятность того, что цель не поражена.

Решение.

Пусть событие А - цель не поражена. Чтобы цель была не поражена, необходимо, чтобы первый стрелок, сделав 3 выстрела, ни разу не попал, и, чтобы второй стрелок, сделав 2 выстрела, тоже ни разу не попал.

Рассмотрим гипотезы:

Событие А₁ – первый стрелок промахнулся 3 раза.

Событие А₂ - второй стрелок промахнулся 2 раза.

Вероятность того, что первый стрелок промахнется при одном выстреле равна:

q₁ = 1 - p₁ = 1- 0,39 = 0,61,

а вероятность того, что второй стрелок промахнется при одном выстреле равна: q₂ = 1 - p₂ = 1- 0,45=0,55.

Тогда вероятность событий А₁ и А₂ находим по формуле Бернулли:

Тогда:

Тогда искомая вероятность события А, используя теорему умножения, равна:

Р(А) = Р(А₁)×Р(А₂) = 0,227 · 0,3025 = 0,0687.

Ответ: 0,0687.

7. Из ламп n_i принадлежат i^-й партии (i = 1, 2, 3) бракованные лампы в первой партии составляют 6%, во второй – 5%, а в третьей – 4%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа - бракованная.

Дано: n₁ = 620, n₂ = 190.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают одну лампу.

Пусть событие А - выбранная лампа – бракованная. Рассмотрим гипотезы:

Событие Н₁ – выбранная лампа принадлежит 1^-й партии,

Событие Н₂ – выбранная лампа принадлежит 2^-й партии,

Событие Н₃ – выбранная лампа принадлежит 3^-й партии.

Вероятность события А находим по формуле полной вероятности:

Определяем вероятности гипотез Н₁, Н₂, Н₃ с помощью классического определения вероятности:

,

Для события Н₁ имеем: m₁ = 620 (количество ламп в первой партии), n =1000 (общее количество ламп); тогда вероятность события Н₁ равна:

Аналогично находим вероятности гипотез Н₂ и Н₃.

Для события Н₂ имеем: m₂ = 190, n =1000.

Для события Н₃ имеем: m₃ = 1000 - m₁ – m₂ = 1000 – 620 –190 = 190, n =1000.

Контроль:

Находим условные вероятности события А при условии, что события Н₁, Н₂, Н₃ соответственно наступили, то есть вероятности , и , по формуле:

где: k_i – число процентов бракованных ламп в i^-й партии. Тогда

Подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:

=

= 0,62 · 0,06 + 0,19 · 0,05 + 0,19 · 0,04 = 0,0543.

Ответ: Р(А) = 0,0543.

8. В первой урне N₁ белых и M₁ чёрных шаров, во второй N₂ белых и M₂ чёрных шаров. Из первой урны во вторую переложили К шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.

Дано: N₁ = 20, M₁ = 1, N₂ = 40, M₂ = 7, К = 15.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из второй урны шар после перекладывания из первой урны во вторую 15 шаров.

Пусть событие А - выбранный шар – белый.

Рассмотрим гипотезы:

Событие Н₁ – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 15 белых и ни одного чёрного;

Событие Н₂ – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 14 белых и 1 чёрный; Так как события Н₁, Н₂ образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности:

Определяем вероятности гипотез Н₁, Н₂ с помощью классического определения вероятности:

,

где: m_i – число исходов, благоприятствующих появлению события H_i, n – общее число равновозможных исходов испытания.

В первой урне находится (N₁ + M₁) = 20+1 =21 шар, тогда общее число равновозможных исходов испытания равняется числу способов, которыми можно вынуть 15 шаров из 21, то есть

n =

Находим вероятность гипотезы Н₁. 15 белых шаров из 20 можно выбрать способами, а 0 чёрных из 1 - способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н₁, используя теорему умножения, будет равно:

m = × =

Отсюда, вероятность события Н₁ равна:

Аналогично находим вероятности гипотез Н₂.

Для события Н₂ имеем:

m₂= × =

Отсюда, вероятность события Н₂ равна:

Контроль:

Находим условные вероятности события А при условии, что события Н₁, Н₂ соответственно наступили, то есть вероятности , с помощью классического определения вероятности:

,

где: m_i – число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, что событие Н_i соответственно наступило; n – общее число равновозможных исходов испытания.

При наступлении события Н₁ во второй урне станет (40+15)=55 белых и 7 чёрных шаров, всего в урне 62 шара, тогда для события A | Н₁ имеем:

m₁ = 55, a n = 62, отсюда

При наступлении события Н₂ во второй урне станет (40+14)=54 белых и (7+1)=8 чёрных шаров, всего в урне 62 шаров, тогда для события A | Н₂ имеем:

m₂ = 54, a n = 62, отсюда

Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:

=0,2857×0,8871 + 0,7143×0,871 = 0,8756

Ответ: Р(А) = 0,8756.

9. В альбоме k чистых и l гашеных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые, и гашенные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются n марок. Определить вероятность того, что все n марки - чистые.

Дано: k = 7, l = 5, m = 2, n = 2.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из альбома после гашения 2 марки.

Пусть событие А - все 2 марки - чистые.

Рассмотрим гипотезы:

Событие Н₁ – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 2 чистые и ни одной гашеной марки;

Событие Н₂ – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 1 чистую и 1 гашеную марки;

Событие Н₃ – из альбома извлекли и подвергли спецгашению ни одной чистой и 2 гашеные марки.

Так как события Н₁, Н₂, Н₃ образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности:

Определяем вероятности гипотез Н₁, Н₂, Н₃ с помощью классического определения вероятности:

,

где: m_i – число исходов, благоприятствующих появлению события H_i, n – общее число равновозможных исходов испытания.

Из альбома можно вынуть 2 марки из (k + l) = (7 + 5) = 12 марок - способами, тогда общее число равновозможных исходов испытания равно:

n =

Находим вероятность гипотезы Н₁ 2 чистые марки из 7 можно выбрать способами, а 0 гашенных из 5 - способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н₁, используя теорему умножения, будет равно:

m = × =

Отсюда, вероятность события Н₁ равна:

Аналогично находим вероятности гипотез Н₂ и Н₃:

Для события Н₂ имеем:

m₂= × =

Отсюда, вероятность события Н₂ равна:

Для события Н₃ имеем:

m₃= × =

Отсюда, вероятность события Н₃ равна:

Контроль:

Находим условные вероятности события А при условии, что события Н₁, Н₂, Н₃ соответственно наступили, то есть вероятности , и с помощью классического определения вероятности:

,

где: m_i – число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, что событие Н_i соответственно наступило; n – общее число равновозможных исходов испытания.

При наступлении события Н₁ в альбоме станет (7-2)=5 чистых и (5+2)=7 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н₁ имеем: m₁ = - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 5. n = - число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.

Отсюда

При наступлении события Н₂ в альбоме станет (7-1)=6 чистых и (5+1)=6 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н₂ имеем: m₂ = - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 6. n = - число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.

Отсюда

При наступлении события Н₃ в альбоме станет (7-0)=7 чистых и (5+0)=5 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н₃ имеем: m₃ = - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 7. n = - число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.

Отсюда

Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:

= 0,3182 · 0,1515 + 0,5303 · 0,2273 + 0,1515 · 0,3182 = 0,217.

Ответ: Р(А) = 0,217.

10. В магазин поступают однотипные изделия с 3-х заводов, причем i–й завод поставляет m_i % изделий. Среди изделий i–го завода n_i % - первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Найти вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом?

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)