86051 (574988), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

,

так как в третьей урне все шары – белые.

Вероятность вытащить чёрный шар из наугад выбранной урны равна сумме этих вероятностей:

Ответ: 1) , 2) .

Задача 14

В одной из трёх урн 6 белых и 11 – черных шаров, во второй – 5 белых и 2 – черных, в третьей 7 белых шаров. Наугад выбирают из трёх урн и из неё снова наугад выбирают один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что: 1) шар вынут из первой урны, 2) шар вынут из второй урны, 3) шар вынут из третьей урны ?

Решение

Для решения данной задачи применим формулу Бейеса, суть которой в следующем: если до опыта вероятности гипотез Н₁, Н₂, … Н_n были равны Р(Н₁), Р(Н₂), …, Р(Н_n), а в результате произошло событие А, то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются по формуле:

Где Р(Н_i) – вероятность гипотезы Н_i, Р(А|Н_i) – условная вероятность события А при этой гипотезе.

Обозначим гипотезы:

Н₁ – выбор первой урны, Н₂ – выбор второй урны, Н₃ – выбор третьей урны.

До начала действий все эти гипотезы равновероятны:

.

После выбора оказалось, что вытащен белый шар. Найдем условные вероятности:

;

;

.

1) По формуле Бейеса апостериорная (после опыта) вероятность того, что шар был вынут из первой урны, равна:

.

2) Аналогично, вероятность того, что шар был вынут из второй урны, равна:

.

3) Аналогично, вероятность того, что шар был вынут из третьей урны, равна:

.

Ответ:

1) ,

2) ,

3) .

Задача 15

Из 24 студентов, которые пришли на экзамен по математике, 6 подготовлены отлично, 11 – хорошо, 5 – посредственно, 2 – плохо. В экзаменационных билетах 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5 вопросов. Вызванный наугад студент ответил на все три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: 1) отлично, 2) плохо.

Решение

Для решения данной задачи применим формулу Бейеса:

Где Р(Н_i) – вероятность гипотезы Н_i,

Р(А|Н_i) – условная вероятность события А при этой гипотезе.

Обозначим гипотезы:

Н₁ – студент подготовлен отлично, Н₂ – студент подготовлен хорошо,

Н₃ – студент подготовлен посредственно, Н₄ – студент подготовлен плохо.

До начала экзамена априорные вероятности этих гипотез:

, , ,

.

После экзаменационной проверки одного из студентов оказалось, что он ответил на все три вопроса. Найдем условные вероятности, то есть вероятности ответить на все три вопроса студентом из каждой группы успеваемости:

, ,

, .

1) По формуле Бейеса апостериорная (после экзамена) вероятность того, что вызванный студент был подготовлен отлично, равна:

.

2) Аналогично, вероятность того, что вызванный студент был подготовлен плохо, равна:

.

Ответ:

1) Вероятность того, что вызванный студент был подготовлен отлично:

,

2) Вероятность того, что вызванный студент был подготовлен плохо:

,

Задача 16

Монета подбрасывается 11 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: 1) 2 раза, 2) не более 2-х раз, 3) не менее одного и не более 2-х раз.

Решение

Если опыт проводится n раз, а событие при этом каждый раз появляется с вероятностью р (и, соответственно, не появляется с вероятностью 1– р = q ), то вероятность появления этого события m раз оценивается с помощью формулы биномиального распределения:

,

Где

- число сочетаний из n элементов по m.

1) В данном случае р = 0,5 (вероятность выпадения герба),

q = 1 – р =0,5 (вероятность выпадения решки),

n = 11, m = 2.

Отсюда, вероятность выпадения герба 2 раза:

2) в данном случае событие (герб) может появится 0 раз, 1 раз или 2 раза, значит искомая вероятность:

3) в этом случае событие (герб) может появится 1 раз или 2 раза, значит искомая вероятность:

Ответ:

Вероятность того, что герб выпадет:

1) ровно 2 раза равна

,

2) не более 2-х раз:

,

3) не менее одного и не более 2-х раз:

.

Задача 17

По каналу связи передаётся 11 сообщений, каждое из которых независимо от других с вероятностью р = 0,2 искажается помехами. Найти вероятность того, что: 1) из 11 сообщений ровно 2 будет искажено помехами,

2) все сообщения будут приняты без искажений, 3) не менее двух сообщений будет искажено.

Решение

1) здесь р = 0,2 (вероятность искажения),

q = 1 – р =0,8 (вероятность неискажения),

n = 11, m = 2.

Отсюда,

.

2) Вероятность принятия всех 11 сообщений без искажения равна произведению всех вероятностей принятия каждого из них без искажения:

.

3) Искажение не менее двух сообщений означает, что искажены могут быть два или одно или ни одного сообщения:

Ответ:

Вероятность того, что:

1) из 11 сообщений будет искажено ровно 2 равна ,

2) не будет искажено ни одного сообщения: ,

3) не менее 2-х: .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)