Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

На концах стержня в точках x_-1 и x₆ удерживается нулевая температура.

Применяя конечно-разностное представление производных по пространственной переменной x, свести уравнение в частных производных к системе дифференциальных уравнений в обыкновенных производных относительно температуры T.

Р ешение.

Получаем систему диф. уравнений:

Учитывая начальные условия, получим систему уравнений:

Задача 17.

Используя метод Ньютона-Рафсона, найти с относительной погрешностью в одну миллионную нуль многочлена Чебышева T_i(x), полученного в задаче 14. В качестве начального приближения к корню взять

В качестве x_i берутся |y_i| из таблицы исходных данных.

Решение.

Из задачи 14 возьмем полином Чебышева T₄ = 8x⁴ - 8x² + 1. В качестве начального приближения к корню возьмем x_нач, вычисленное по формуле

Т.к. 8x⁴ - 8x² + 1 = 0, то можем сказать, что f(x_нач + α) = 0

Воспользуемся DERIVE для нахождения корня с необходимой точностью:

получим такие значения: 0.38234, 0.382689, 0.382683, 0.382683, 0.382683.

На третьей итерации получаются значения корня с нужной точностью.

Задача 19

Скорость изменения переменной x(t) во времени равна функции от этой переменной f(x). Найти аналитическое выражение последней от времени, начиная с t = 0, если в начальный момент x(0) = 0. В качестве f(x) взять степенной многочлен P₂(x), полученный в задаче 8. Протабулировать полученное решение с шагом h = 0.1 в интервале [0, 0.5].

Решение

P₂(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x² = f(x)

Исходя из начальных условий, т.к. dx/dt = f(x), имеем

Т.к. x = F(t), то:

Протабулируем x(t) на интервале [0; 0.5] c шагом h = 0.1:

t = 0 x = 0

t = 0.1 x = -0.0622648

t = 0.2 x = -0.137833

t = 0.3 x = -0.230872

t = 0.4 x = -0.347464

t = 0.5 x = -0.496850

Задача 20

Методом Эйлера в интервале [0, 0.5] с шагом h = 0.1 получить решение нелинейного дифференциального уравнения:

dx/dt = a + bx + cx²,

x(0) = 0

Коэффициенты a, b, c взять из P₂(x), полученного в задаче 8.

Решение

y = P₂(x)

P₂(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x²

Общая формула для решения

x = x₀ + h·P₂(x₀, t₀)

x₁ = 0 + 0.5· (-0.0710314) = -0.0355156

x₂ = -0.0355156 + 0.5·(-0.0710314 + 0.989486 (-0.0355156)¹ –

-0.624589· (-0.0355156²) = -0.053854

x₃ = -0.053854 + 0.5· (-0.0710314 + 0.989486 (-0.053854)¹ –

- 0.624589 (-0.053854)²) = -0.0636315

x₄ = -0.0636315 + 0.5· (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0636315)¹ –

-0.624589 (-0.0636315)²) = -0.0689304

x₅ = -0.0689304 + 0.5 (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0689304)¹ –

-0. 0.624589 (-0.0689304)²) =--0.071827

Задача 23

Проверить заданную систему из трех векторов на линейную зависимость. При обнаружении линейной зависимости поменять местами первые компоненты векторов x1,x2 и выполнить повторную проверку. Из исходных данных векторы формируются так:

x₁ = (y₀,y₁,y₂); x₂=(y₃,y₄,y₅); x₃=(h,x₀,0).

На базе линейно независимой системы векторов x₁, x₂, x₃ методом Грама-Шмидта построить ортонормированную систему трех векторов:

y₁ = (y₁₁,y₂₁,y₃₁); y₂=(y₁₂,y₂₂,y₃₂); y₃=(y₁₃,y₂₃,y₃₃).

На основе полученной системы векторов сформировать квадратную матрицу T = (y₁,y₂, y₃). Вычислить det(T) и получить матрицы — обратную T^-1 и транспонированную T’. Найти произведение T^-1 · T, T · T’. Сделать выводы о свойствах матрицы T.

Решение

Исходные векторы x₁ = (-0.02,0.604,0.292); x₂=(-0.512,-1.284,-2.04);

x₃=(0.5,0.3,0).

Составим матрицу и проверим ее на линейную зависимость:

det (A·A^T) = 0.23591 > 0, значит система линейно независима.

Найдем векторы v₁, v₂, v₃

v ₁ = x₁

v₂ = x₂ + a₂₁·v₁

v₃ = x₃ + a₃₂·v₂ + a₃₁·v₁

v₁ = (-0.02, 0.604, 0.292);

v₂ = (-0.572423, 0.54078, -1.15782);

v3 = (0.471405, 0.104651, -0.184183).

Матрица T:

det(T) = -1

Ортонормированная матрица T состоит из собственных векторов. Определитель матрицы T равен 1. Если транспонировать ортогональную матрицу то она будет равна обратной. T’ = T^-1. Это значит, что если умножить T·T’ = E — получим единичную матрицу.

Задача 24

Считая числа –1, -2, -3 собственными значениями, а векторы у₁, у₂, у₃ из задачи 23 – собственными векторами некоторой матрицы А, найдите проекторы этой матрицы ( Р₁, Р₂, Р₃), саму матрицу А и ей обратную А_-1. Получить характеристическое уравнение матрицы А и подтвердить правильность всех промежуточных вычислений.

Решение

Найдем проекторы матрицы А:

Найдем обратную матрицу А^-1:

Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид:

-x³-6x²-11x-6=0;

Корни характеристического уравнения – собственные значения матрицы

x₁= -1; x₂= -2; x₃= -3

Задача 25

Решить систему алгебраических уравнений А·x = b, где А- матрица коэффициентов из задачи 24, x = (x1, x2, x3) – векторы решения, b = (3, 2, 1) – вектор правых частей. Решение получить, используя обратную матрицу, полученную из задачи 24.

Р ешение

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)