85756 (574907), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Д ля того, чтобы перейти от функции к функции воспользуемся формулой:

П олучим выражения для ∆²y₀:

∆⁵y₀ = -y₀ + 5y₁ – 10y₂ + 10y₃ – 5y₄ + y₅

∆⁴y₀ = y₀ - 4y₁ + 6y₂ - 4y₃ + y₄

∆³y₀ = -y₀ + 3y₁ – 3y₂ + y₃

∆²y₀ = y₀ - 2y₁ + y₂

Подставим эти значения в функцию:

Сравним это значение с вычисленным значением производной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x):

при x₃ = 1.8

Значения производной равны, следовательно, вычисления сделаны верно.

Задача 8

Методом наименьших квадратов для таблично заданной g(x) получить аппроксимирующие степенные полиномы нулевой, первой, второй и третьей степеней (P_i(x), i = 0, 1, 2, 3) и изобразить их на одном графике.

Решение.

Составим таблицу степеней x и xy

i	x	y	x2	x3	x4	x5	x6	xy	x2y	x3y
1	0.3	-0.02	0.09	0.027	0.0081	0.00243	0.000728999	-0.006	-0.0018	-0.00054
1	0.8	0.604	0.64	0.512	0.4096	0.32768	0.262144	0.4832	0.38656	0.309247
1	1.3	0.292	1.69	2.197	2.8561	3.71293	4.8268	0.3796	0.493479	0.641523
1	1.8	-0.512	3.24	5.832	10.4976	18.8956	34.0122	-0.9216	-1.65888	-2.98598
1	2.3	-1.284	5.29	12.167	27.9840	64.3634	148.035	-2.9532	-6.79236	-15.6224
1	2.8	-2.04	7.84	21.952	61.4656	172.103	481.89	-5.712	-15.9936	-44.782
6	9.3	-2.96	18.79	42.687	103.22	259.405	669.026	-8.73	-23.5666	-62.4401

Составим системы уравнений:

Откуда a₀ = -0.93621; a₁ = 3.89576; a₂ = -2.8954; a₃ = 0.488001

А ппроксимирующий степенной полином 3-й степени имеет вид:

P₃(x) = -0.93621 + 3.89576x – 2.8954x² + 0.488001x³

Откуда a₀ = -0.0710314; a₁ = 0.989486; a₂ = -0.624589;

Аппроксимирующий степенной полином 2-й степени имеет вид:

P₂(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x²

Откуда a₀ = 0.974118; a₁ = -0.946742;

Аппроксимирующий степенной полином 1-й степени имеет вид:

P₁(x) = 0.974118 – 0.946742x

6a₀ = -2.96

Откуда a₀ = -0.493333;

Аппроксимирующий степенной полином 0-й степени имеет вид:

P₀(x) = -0.0493333

И зобразим полученные полиномы на графике:

Задача 9

Для аппроксимирующего полинома третьей степени P₃(x) получить аналитические выражения ΔⁿP₃(x), n = 0, 1, 2, 3, 4 и все конечно-разностные разностные кривые изобразить на одном графике.

Решение

Обозначим на графике все конечно-разностные кривые:

ΔP₃(x)

Δ²P₃(x)

P₃(x)

Δ³P₃(x)

Δ⁴P₃(x)

Задача 10

Вывести квадратурные формулы для вычисления определенных интегралов с пределами [0, 1] и [-1, 1] от подынтегральных функций f(t), принадлежащих классу степенных многочленов степеней 0, 1, 2, 3. Вывод проделать для трех случаев использование в квадратурных формулах численных значений подынтегральных функций:

в ) заданы значения функции в точках, обеспечивающих получение формул наивысшей алгебраической степени точности.

Решение

Значение определенного интеграла найдем, исходя из формулы:

где w₁, w₂ — некоторые коэффициенты

t ₁, t₂ — точки, плавающие внутри интервала интегрирования.

С оставим систему уравнений

w(t) = (t-t₁)(t-t₂) = C₀ + C₁t + C₂t² = 0

C₂ = 1

Домножив уравнения на соответствующие коэффициенты получим:

2C₀ + 2/3 = w₁ (C₀ + C₁t₁ + t₁²) + w₂ (C₀ + C₁t₁ + t₂²)

2C₀+ 2/3 = 0

C₀ = -1/3

П одставляя полученные значения в первую систему, получим:

Квадратурная формула:

Задача 11

С помощью квадратурных формул, полученных в задаче 10, вычислить определенный интеграл от степенного представления интерполяционного многочлена Лагранжа (Ньютона), полученного в задаче № 6 в пределах от x₀ до x₀ +3h, и сравнить его с аналитически вычисленным значением определенного интеграла по первообразным многочлена.

Решение

Используем степенное представление интерполяционного многочлена Лагранжа из задачи 6

Для перехода к интегралу с канонической формой используем линейное преобразование: x = α + βt.

Составим систему уравнений:

Подставив x = 1.05 + 0.75t, получим многочлен Лагранжа от переменной t:

L (t) = 0.24975t³ - 0.80325t² - 0.49575t + 0.537253

Учитывая, что dx = βdt, получим:

Применим квадратурную формулу, полученную в задаче №10

Д ля сравнения вычислим аналитически значение интеграла:

Так как результаты совпали, значит, вычисления произведены верно.

Задача 12

Оценить погрешность определенного интеграла от функции sin(x) в пределах [0,2/3π] по квадратурной формуле наивысшей алгебраической степени точности, полученной в задаче № 10в, по сравнению с аналитически точным. Проделать то же самое над усеченным степенным рядом, представляющим sin(x), в который x входит со степенью не выше третьей.

Решение

П ерейдем от пределов [0,2/3 π] к пределу [-1,1]: для этого воспользуемся линейным преобразованием x= α + βt . Составить систему

Учитывая, что dx = βdt, получим:

Применим квадратурную формулу:

Вычислим аналитически:

Найдем погрешность вычисления:

Проделаем те же операции над усеченным степенным рядом, представляющем sin(x):

Перейдем от пределов [0; 2π/3] к пределам [-1; 1], для этого используем линейное преобразование x = α +βt. Составим систему уравнений:

Учитывая, что dx = βdt, получим

П рименим квадратурную формулу, получим

Н айдем погрешность вычисления

Задача 14

Степенными полиномами Чебышева T_i относительно переменной x (|x| < 1) являются решениями линейного разностного уравнения второго порядка:

T_i+2 - 2x T_i+1 + T_i = 0,

с начальными условиями T₀ = 1 и T₁ = x.

Найти аналитическое выражение и вычислить значения полинома Чебышева i-й степени, если и i = 4. Проверить вычисления непосредственно по заданной рекуррентной формуле. Найти положение нулей и экстремумов у многочленов Чебышева в общем виде и для заданных выше x и i. Оценить модуль максимально возможного значения полинома в точках экстремумов.

Р ешение.

Исходя из того, что

x_i = |y_i| надо найти T₄ т.е. для i = 4

Из T_i+2 - 2xT_i+1 + T_i = 0 следует, что

T₂ = 2xT₁ - T₀

T₃ = 2xT₂ - T₁ = 2x(2xT₁ - T₀) - T₁

T₄ = 2xT₃ - T₂ = 2x(2x(2xT₁ - T₀) - T₁) - 2xT₁ + T₀ = 8x³T₁ - 4x²T₀ - 4xT₁ + T₀

Подставим значение T₀ = 1 и T₁ = x

T₄ = 8x⁴ - 4x² - 4x² + 1 = 8x⁴ - 8x² + 1

Найдем значения x:

T₄ = 0.99980

Проверим по заданной рекуррентной формуле:

T₂ = 2·0.00490·0.00490 - 1 = -0.9999

T₃ = 2·0.00490·(-0.9999) - 0.00490 = -0.01469

T₄ = 2·0.00490·(-0.01469) + 0.9999 = 0.99980

Нули функции находятся, как решения биквадратного уравнения:

8x⁴ - 8x² + 1 = 0, где

x₁ = 0.9238795

x₂ = -0.9238795

x₃ = 0.3826834

x₄ = -0.3826834

Чтобы найти экстремумы найдем

Задача 16

Выравнивание по всей длине с течением времени температуры T(x, t) на тонком однородном хорошо теплоизолированном стержне описывается дифференциальным уравнением в частных производных с начальным распределением температуры (в градусах Цельсия) по длине стержня в 6 равномерно расположенных с шагом h точках.

T(x₀, 0) = T₀, T(x₁, 0) = T₁, …, T(x₅, 0) = T₅; (T_i = 100·y_i ˚C).

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)