Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 38
Текст из файла (страница 38)
НЕОБРАТИМОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Рассмотрим сначала течения идеальной несжимаемой нетеплопроводной жидкости. Такие течения описываются системой уравнений Йч 1 — = Р— — дгас1 р Л р > с11чч= О. (2 1) Массовые силы Р = Р (х, у, г) известны. Пусть ч=ч(х, у, г, 1), р=р(х, у, г, 1) (2.2) — решения системы (2.1). Введем новые функции ч'= — ч(х, у, г, — 1), р'= р(х, у, г, — 1).
(2,3) Очевидно, что если функции (2.2) — решения системы уравнений (2.1), то функции (2.3) также будут решениями этой системы Йч Йч уравнений. Действительно, †„ = †„ и пгас1 р' = с гас1 р. Это свойство называется обратимостью течений идеальной жидкости, или иначе инвариаитностью по отношению к обращению времени. Таким образом, если дв~икенпе идеальной несжимаемой жидкости возможно в одном направлешш, то оио возможно с темп же скоростями и давлением в противоположном направлении. Докажем теперь, что движения вязкой нсидкости в общем случае необратимы.
Действительно, если ч, р — решения системы уравнений (1.1) и (1.2), а функции ч', р' определены, с~ч Йч как и ранее, по формулам (2.3), то в силу того, что —, с1с ргас1 р' = Ргас1 р, Лч' = — Лч, для функций ч', р' получим си- стему уравнений, которая ие будет совпадать с исходной системой уравнений (1.1) и 11.2). Таким образом, функции ч', р' ие являются решениями уравнений Навье — Стокса.
Обратимость течения будет иметь место только тогда, когда Лч = О, т. е. ч— гармоническая функция. Но практически для всех граничных задач Лч 4= О. 5 3. ЗАВИХРЕННОСТЬ ТЕЧЕНИИ' ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОИ ЖИДКОСТИ Будем исходить из системы уравнений для вязкой несжимаемой жидкости (1.1), 11.2). Покажем, что любое решение задачи о потенциальном движсшш идеальной жидкости является точным решением системы уравнений (1.1), (1.2). Действительно, если движение вязкой жидкости безвихревое, то (3,1) ч = Ргас1 ср. В силу уравнения неразрывности Й~ ч = О имеем Лр= о.
(3. 2) Отсюда следует, что Лч = Л и'гас1 ср = дтас1 Лср = О. (З.З) п„~з = — — — О, дт а с1 ср ~ = ч . д~р При этом касательная составляющая скорости и, на поверхности тела будет отлична от нуля, т. е. о ~~ = — Ф О. д(~7 дт Это означает, что потенциальный поток в случае вязкой жидкости не удовлетворяет в точках соприкосновения с твердой степкой условию прилипания ч ~з = О, т.
е. класс потенциальных течений не может быть использован для решения задач об обтекании тел вязкой несжимаемой жидкостью. Течения вязкой 247 Но при наличии (З.З) уравнения Навье — Стокса (1.1) совпадают с уравнениями Эйлера (2.1), т. е. решения уравнений Эйлера при предположении 13.1) являются и решениями уравнений Навье — Стокса.
Рассмотрим задачу об обтекании неподвижного тела установившимся потоком вязкой жидкости. Решение такой задачи должно удовлетворять уравнениям 11.1), (1.2) и граничным условиям (1.6) . Нельзя ли найти решение этой задачи в классе потенциальных 1безвихревых) течений? Такое решение (если оно существует) должно удовлетворять уравнению (3.2) и граничным условиям 11.6). Но, как было показано ранее, решение уравнения (3.2) определяется с точность|о до циркуляции при следующих условиях; жидкости д стп в этом случае вихревые. Это в о отличие движени жидкости.
я вязкои жидкости о евые. то второе принципиальное г движения идеальной з 4. ДИССИПАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКОИ' Ои' энеРГии В ВязкОи' жидкОсти Выделим некоторый объ ченныи поверхностью 5. Н ем жидкости т с массон М, огранпствовать объемные и п а этот объем * (массу) будут дейработу объемных сил 1 поверхностные силы.
Обо бозначпм через ЛА сил, через ЛА5 — пабот по 1 й Вычислим работу объемных сил ЛА,. щейся в элементе объем силы ри п ремещ нни б о ъема т, приложена сила Р о ъема дт на дг = чй равна 6А, = й р (Р ч) дт. Работа за время Ж сил, ппиложенных в объеме т, р женных ко всей массе жидкости ЛА,=Ж~~~р(Р ч)Шт (4.1) Вычислим або р боту поверхностных сил.
На пло малью и действует сила т,45. Работа этой ил т„. а ота этой силы на перемещении (4.2) '" В случае иесжимаемой силы ои 1, ~ «объедим~» «массоаые» ов жидкости теомииы « 248 ЛАз = Й т„° ч д5. Используя формулу Коши для т, ((3.7) гл. 111) адс~сог~, Складывая (4.!) и (4.3) и п еоб чаем и преобразуя второй интеграл, полу( дт„дту дтпл '~ 1 +у~~~[., —",„+.„ф+., —",,]н.. ~4.4~ Для любой сплошной среды сп аве ли ~р~ды справедлив закон к~ничества дви- ~М 1 дтх дту дтг сй р дх ду дг Поэтому (4.4) можно можно переписать в виде лА,+ьл =-а) 111 рм йа)+ю 111оа..
(4.5) Здесь через 0 обозначе означено выражение — х'д, У'д, П реобразуем пе вое с (4.6) ооъем т не меняется' Й ~ ~ ~ р)) — „, Шт = ~ ~ ~ р ))) Ш)) Ш) = рд — д~= д ~ дт= йТ (4.1) Из (4.1) следует, что пе в то первое слагаемое в (4.5 п Т разом, нергни Т за время Ж. Т аким об- ЛА, + ЛА~ = йТ+ сП 0 дт (4.8) 249 Равенство (4.8) показывае, еннымп к выделенной совершенная силами идет на из ) ннон массе жп ко ) Рассмотрим вт ескои энергии.
чно трим второе слагаемое в ~4.8'. '4 6' в ( . ), через п оек рные де о ма~ выражения че ез р з составляю ции и подставляя ф ~"~ ( ги нь б главе Ч!11 ~~ 2) ~е преобразования б остеи ~е б и~я ыли проделаны в р г в Очеви но дг дх дг д тогда ког р ~~~~~ нуль тол а )Ои оба ны н лю ты тензора ско ос е о ько тело. у, т. е. когда жидко сть движется как аб р стен деформации р равк а солютно твердое аким образом, п и р движении лами р оты, совершенно" и массовыми й жидкости тол идет на изменение ~ поверхностными ько часть как ~е кинетической эне и сир р (р рассеивается за еди Ж ,епии вязкой жпд единицу времени пдкости и в единице объема.
П вЂ” "гия, которая роисходнт дпсс1 п ема. и вц . ой кости = О, так как р = О. ГЛАВА Х1Х ТОЧНЪ|Е РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Система уравнений несжимаемой вязкой жидкости, полученная ранее, имеет вид с11ч ч = О, сыч 1 — = — — дгас1 р+ ъ Лч. Р Отыскание точных решений этой системы существенно труднее, чем для идеальной жидкости.
Почти все точные решения в ка- ком-то смысле получены для одномерных течений. ф 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ ОТЫСКАНИИ ОДНОМЕРНЫХ ТЕЧЕНИИ' ВЯЗКОИ' ЖИДКОСТИ (1.1) Выпишем систему уравнений вязкой жидкости, учитывая (1.1): — =О, дух дх (1.2) др др — =О, — =О. дд ' дг дух дух — +о д~ " дх (1.3) (1.4) Из (1.2) следует, что их не зависит от х, из (1.4) — что р не зависит от у и г, т. е. и„= о„(у, г, ~), (1.5) р = р(х, 1). (1.6) Учитывая (1.5), перепишем уравнение (1.3) следующим образом: д~х / д'Ох д'с~х ~ ! др — — + ~ ду~ д.2)= р д. (1.7) Левая часть (1.7) не зависит от х, следовательно, — может задр дх висеть только от времени: 1'(1) р !'(1) х+ !' (1) (1.8) 250 Будем считать течение одномерным, если скорости параллельны некоторому направлению в пространстве; при этом в точках плоскости, перпендикулярной этому направлению, гидро- динамические величины могут принимать различные значения.
Выберем направление движения за направление оси х. Тогда Таким образом, в одномерном движении давление является линейной функцией х. Функции ~(1) и ~,(1) могут быть найдены, если в двух сечениях х1 и х2 задано давление р, а именно р (х„1) = У, (~), р (х,, 1) = У ~ (~), Тогда др Я2(~) — У~(0 ~~р дх х2 — х! Лх (1.9) При заданном перепаде давлений скорость отыскивается из у р а внения (1.7): (1.10) Уравнение (1.10) по вплу совпадает с хорошо изученным уравненпсм тсплопроводностп. Неоднородное уравнение (1.10) может быть сведено к однородному заменой о„= б„— — ~ ~ ~Р) Ю. 1 О !с„= и' (У). (1.1 1) Здесь и„(~) — скорость точек контура. Начальные условия имеют И!Л о„~,, =У (!у, г).
(1. 12) Задача упрощается, если течение установившееся. В этом случае перепад давлений постоянен, и уравнение (1.10) сводится к уравнешпо Пуассона Начальные условия отпадают, а граничные условия не зависят от времени: о„~~ — — и,. (1.14) В самом общем случае скорость о, ~с может зависеть от точек контура о,. ~, = — о„(~, Л4). Особый случай одномерного течения представляет безнапорное движение жидкости, когда — = О, р = сопз1.
При этом др вместо (1.10) имеем уравнение (1.15) 251 Для отыскания решения уравнения (1.10) должны быть заданы начальные и граничные условия. Одномерные движения могут осуществляться прп течении жидкости в цилиндрических трубах (или вне цх). Поэтому граничные условия записываются на контурах 4, получаемых сечением цилиндра плоскостью х = сопэ1: Если движение установившееся, то скорость находится как ре- шение уравнения Лапласа д'ах + д'ах ду2 дг2 (1.16) удовлетворяющее граничным условиям (1.14) . Заметим, что задача (1.16), (1.14) (и„постоянны на контурах 1,) эквивалентна задаче об отыскании функции тока ~1) в плоских течениях идеальной несжимаемой жидкости д2 1 д221) Отсюда следует, в частности, что для решения задачи (1.16), (1.14) можно использовать метод конформных отображений. Нетрудно показать, что сила )„действующая на контур 1, в вязкой жидкости, выражается через циркуляцию Г соответствующего течения идеальной жидкости.
Действительно, р„= $ х„, ШЯ= р $ — * ШЯ= р $ — 1) е)Я= рр. $2. ПРИМЕРЫ ОДНОМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Будем рассматривать безнапорпое одномерное течение вязкой жидкости. В этом случае скорость и удовлетворяет уравнению (1.15). Предположим, что жидкость заполняет все пространство и что и зависит только от г и 1. Тогда скорость и (г, 1) должна быть найдена как решение уравнения дс'х д2ах д~ дг р' 2 1 ( (~ — а)' Легко проверить, что функция ехр ~ — прп 2 ~/лИ ~ 4И любом а удовлетворяет уравнению (2.1). Это фундаментальное решение одномерного уравнения теплопроводности.
Так как (2.1) — линейное однородное уравнение, то и сумма решений также будет решением этого уравнения. Общее решение уравнения (2.1) определяется формулой а,)г, !) = ~ ехр( — ) Р Ра) Ша. )22) (2.3) а — г Введем в (2.2) новую переменную ~= . Тогда равенство 2 1(М (2.2) приобретет следующий вид: а„Рг, ~) = ~ е-РГ(г+ 2е рхй) Ш~, В частности (если Р непрерывна и ограничена), при /=0 будем иметь 1 еО едГе, 0)= =г)е) ~ е-га~=р)е). Следовательно, задавая в начальный момент распределение скорости о„~1 о = о „(г, 0) =- Г (г), (2.4) Оо г>0 о„(г, 0) =Р(г) = ~о з <О. (2.5) Такое распределение скоростей соответствует вихревому слою. Решение (2.3) позволяет проследить сглаживание разрыва скоростей (рассеивание вихревого слоя).
Действительно, подставляя (2.5) в (2.3), получим з ~о ~ 2 ~/~~ ~~ ~~ + ~о ~ ~е 2 ~М =2 — ' 1 ' ~"' е ~'д~= ооФ ( 1, (2.6) $ где ФК) == ~ е г'Шд. 2 ~/л Из формулы (2.6) видно, что при 1 ~ 0 распределение скоростей непрерывно, т. е. разрыв, который имел место при 1 = О, постепенно сглаживается. При 1-~- оо и при любом з ~ 0 ско- 2 г рость о„(г, 1)-~- О, причем о„- оо = . Последняя фор- ~/л 2 ~/М мула определяет скорость затухания разрыва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
