Влияние положения полюсов и нулей на z-плоскости на частотные характеристики цифрового фильтра (557467)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫЛабораторная работа № 7КВлияние положения полюсов и нулей на z-плоскости начастотные характеристики цифрового фильтра (ЦФ)Голованов В.В.2003 г.2Цель работы: Исследовать, как формируются всплески и провалы АЧХ ЦФ взависимости от расположения нулей и полюсов на z-плоскости. Найтиоптимальное расположение полюсов и нулей при минимуме порядкафильтра, чтобы удовлетворить предъявленным требованиям к АЧХ.Синтезировать фильтры со стандартными характеристиками (Баттерворта,Чебышёва, эллиптический) для тех же исходных требований к АЧХ исопоставитьполученныерезультаты.Работаосуществляетсясиспользованием программного пакета MATLAB.Варианты заданийВариант1234567891011121314ЧастотадискретизацииFs, кГцГраницаполосыпропусканияГраницаполосызадерживанияЗатухание вполосепропусканияFpass, кГцFstop, кГцRp, дБЗатухание вполосезадерживанияRs, дБ10205504010201020550401020130.554211.5518731.81.5518731.8130.5542121211.511.5121211.5130254030354025302535402535303ВариантЧастотадискретизацииFs, кГц151617181920212223242526272810205504010201020550401020Границы полосыпропусканияГраницы полосызадерживанияЗатухание вполосепропусканияFp1, кГцFp2, кГцFs1, кГцFs2, кГцRp, дБЗатухание вполосезадерживанияRs, дБ130.6151025.50.51.50.31281.541.540.9171436.5381.82217.5490.51.50.31281.54130.6151025.5381.82217.5491.540.9171436.511.5211.521211.5211.523035402530354030354025303540Краткие теоретические сведенияПередаточную функцию цифрового фильтра (ЦФ) можно записать,зная нули и полюсы zk и pk :K(z) =K0(z – z1)(z – z2)…(z – zk)…(z – zM)(z – p1)(z – p2)…(z – pk)…(z – pN),где K0 – некоторый коэффициент (его можно положить равнымединице), max(M,N) – порядок ЦФ.При переходе к выражению для комплексной частотнойхарактеристики делают замену z=exp(j2πf/Fs)=exp(jθ), где f – текущаячастота (в Гц), Fs – частота дискретизации (в Гц), θ - угловой параметр,соответствующий нормированной частоте (при этом θ=π соответствуетчастоте f=Fs/2).
Комплексная частотная характеристика в зависимости отуглового параметра θ приобретает вид:K0(exp(jθ) – z1)… (exp(jθ) – zk)… (exp(jθ) – zM)K(θ) =(exp(jθ) – p1)… (exp(jθ) – pk)… (exp(jθ) – pN).4Каждую скобку вида (exp(jθ) – zk) или (exp(jθ) – pk) можнорассматривать как вектор, направленный из нуля или полюса в текущуюточку на единичной окружности, имеющую угловую координату θ (см.рис.1).Im z1pkzkθ-1Re z1-1Рис.1При изменении углового параметра θ векторы также изменяются,отслеживая положение текущей точки. Изменение модуля вектора даёт вкладданного нуля или полюса в АЧХ ЦФ, а изменение угла между вектором идействительной осью z-плоскости – вклад в ФЧХ ЦФ. Вследствие того чтофункция exp(jθ) изменяется периодически и изображающая точка, задающаятекущую частоту, скользит по окружности единичного радиуса, возвращаясьв прежние положения, частотные характеристики ЦФ носят периодическийхарактер, повторяясь с интервалом ∆θ=2π или ∆f=Fs.
Для формированияАЧХ нужного вида следует разметить верхнюю полуокружность единичногорадиуса на z-плоскости, обозначив полосы пропускания и задерживания. Дляэтого граничные частоты следует пересчитать в угловые параметры:θгр=2πfгр/Fs. Полюса нужно располагать в полосе пропускания внутриединичной окружности (для устойчивости фильтра требуется выполнениеусловия |pk| < 1 для любого k). Чем ближе полюс к окружности, тем болеерезкий и узкий всплеск АЧХ получится вблизи значения θ, равного угловомуположению полюса arg(pk) (здесь вектор, проведённый от полюса кокружности, самый короткий, а модуль этого вектора стоит в знаменателевыражения для АЧХ).
Нули размещают в полосе задерживания. Чем ближенуль к единичной окружности, тем глубже провал АЧХ при значении θ,равном угловому положению нуля arg(zk). На рис.2 приведена диаграммаполюсов и нулей ФНЧ с разметкой полос пропускания и задерживания в видедуг единичной окружности и соответствующая этой диаграмме АЧХ5фильтра. Каждому комплексному полюсу или нулю соответствуеткомплексно-сопряжённый, расположенный в нижней полуплоскости.Im zK(θ)Переходная областьПолосазадерживанияПолосапропусканияθзθп1Re z0θp θп θз θzπРис.
2Порядок выполнения работы1. Для выданного вам варианта задания выпишите в рабочую тетрадьзначения частоты дискретизации, граничных частот полос пропускания изадерживания и требуемых затуханий в этих полосах. Изобразите графикдопусков. Определите тип фильтра (ФНЧ, ФВЧ, ППФ или ПЗФ). Рассчитайтеугловые параметры, соответствующие граничным частотам по формуле:θгр=2πfгрFs.Нанесите угловые значения на график допусков, проведя ось θ,параллельную оси частот f.2.
Изобразите в тетради диаграмму полюсов и нулей, разместивполюсы в полосе пропускания, а нули в полосе задерживания. Для началавозьмите фильтр второго порядка (два нуля и два полюса; можете в качествепервоначального варианта взять только два нуля или только два полюса).Запишите ориентировочные значения координат полюсов и нулей.3.
Загрузите MATLAB. В командном окне задайте оператор>> sptoolБудет загружена программа SPTool (Signal Processing Tool). Откроетсяокно SPTool: startup.spt. Нажмите кнопку New в середине нижней части окна(под списком Filters). Откроется окно Filter Designer.
В раскрывающемсясписке Algorithm выберите последнюю строку Pole/Zero Editor. Вграфической части окна появится z-плоскость с нанесёнными на неёθ6полюсами и нулями. Нажмите кнопку Delete All в нижней части окна.Введите значение частоты дискретизации (в Гц) в поле Sampling Frequency.Пользуясь кнопками с нанесёнными изображениями стрелок и ластика,расположенными под значением частоты дискретизации, а также перемещаямышь с нажатой левой кнопкой, разместите полюсы и нули на z-плоскости всоответствии с рисунком, сделанным вами при выполнении п.2.Редактируемые полюсы или нули отображаются на диаграмме крупнымизначками зелёного цвета.
Их координаты отображаются в разделеSpecifications. Следите за тем, остаётся ли фильтр устойчивым (строчкаSTABLE в разделе Measurements). Невыделенные полюсы и нулиотображаются мелкими значками синего цвета. В разделе Specificationsзадайте систему координат (Polar или Rectangular). Переключитесь в окноSPTool: startup.spt. Нажмите кнопку View под списком Filters. Откроется окноFilter Viewer. Укажите в разделе Plots только один график – АЧХ (Magnitude),задайте масштаб (linear или decibels).
Разместите окна Filter Viewer и FilterDesigner рядом друг с другом на экране. Перенесите в тетрадь схематичноеизображение АЧХ с указанием значений на границах полос пропускания изадерживания. Для более точного определения координат интересующих васточек графика используйте маркеры. Можно использовать способувеличения нужной части графика, применяя протаскивание мыши с нажатойлевой кнопкой (предварительно нужно нажать соответствующую кнопкупанели инструментов).Изменяйте положения полюсов и нулей, добавляйте новые полюсы инули, добиваясь обеспечения заданных требований к АЧХ. Стремитесьобойтись наименьшим количеством полюсов и нулей.Когда задача будет решена, перерисуйте полученную диаграммуполюсов и нулей в тетрадь.
Укажите координаты полюсов и нулей. Рядомсделайте схематичное изображение АЧХ, соответствующее конечнойдиаграмме на z-плоскости. Просмотрите другие характеристикисинтезированного ЦФ (ФЧХ, импульсную, переходную, характеристикугруппового времени запаздывания).4. Синтезируйте «классические» фильтры для тех же исходныхтребований, изучите их характеристики и сравните с характеристикамифильтра, синтезированного в п.3. Для этого откройте окно Filter Designerпутём нажатия кнопки New в окне SPTool: startup.spt.
Укажите класс фильтрав раскрывающемся списке Algorithm. В разделе Specifications укажите типфильтра (lowpass – ФНЧ, highpass – ФВЧ, bandpass – ППФ, bandstop – ПЗФ) изадайте требования к АЧХ. Нажмите кнопку Apply.Вернувшись в окно SPTool: startup.spt, выделите идентификаторсинтезированного фильтра в списке Filters и нажмите кнопку View.Откроется окно Filter Viewer. Просмотрите характеристики фильтра.Занесите примерный вид АЧХ и диаграммы полюсов и нулей в тетрадь, суказанием значений на границах полос пропускания и задерживания (ихможно считать из раздела Measurements или измерить, применяя маркеры).Укажите также порядок фильтра (раздел Specifications, поле Order).75.
Если у Вас осталось время, выполните задание для другого варианта,попробовав синтезировать фильтр другого типа.6. Напишите комментарии и выводы по проделанной работе..
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
