2sem_7 (552400), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

+ K i + ... ,(6.25)5где K i =pi2 mVi 2=- кинетическая энергия молекулы.2m2Каждую частицу можно рассматривать как квазинезависимую подсистему, поэтому фазовый объем системыраспадается на произведение множителей, каждый из которых определяет фазовый объем для отдельноймолекулы:dΓ p = dΓ p1 ⋅ dΓ p2 ⋅ ... ⋅ dΓ pi ⋅ ... ,(6.26)а вероятность нахождения системы в состоянии с энергией K равна ∑ KidPK = a exp − iTdΓ p .Поскольку все частицы одинаковы, то искомую вероятность можно записать в виде произведения:∑ KidPK = aeiTN K1NdΓ p = a e T dΓ p1  = (dK 1 ) ,(6.27)где величина dPK1 – пропорциональна распределению вероятностей по абсолютным значениям скоростей длякаждой отдельной молекулы, где mV 2dPK1 = A exp − 2TdΓ p1 , A N = a .(6.28)Элемент объема dΓ p1 , можно представить в виде:dΓ p1 = dp x dp y dp z или dΓ p1 = dV x dV y dV z .Итак, функция распределения по кинетическим энергиям для одной молекулы имеет вид: mV 2ρ (K 1 ) = A exp − 2T .(2.5)Вероятность молекуле иметь кинетическую энергию в интервале от K до K + dK , обладая при этомопределенными проекциями импульсов ( p x ÷ p x + dp x , p y ÷ p y + dp y , p z ÷ p z + dp z ), равнаdp x dp y dp z .(2.6)Вероятность молекуле иметь кинетическую энергию в интервале от K до K + dK , обладая при этомопределенными проекциями скоростей ( V x ÷ V x + dV x,V y ÷ V y + dV y,V z ÷ V z + dV z ), равна mV 2dPp x , p y , p z = A exp − 2T mV 2dPVx ,V y ,Vz = A exp − 2TdV x dV y dV z .(2.7)Фазовый объем, соответствующий кинетической энергии, лежащей в диапазоне от K до K + dK при всехвозможных импульсах или скоростях, определяется объемом шарового слоя в пространстве импульсов илискоростей, соответственноdΓK = 4πp 2 dp или dΓK = 4πV 2 dV .(2.8)Тогда вероятность того, что молекула будет иметь кинетическую энергию от K до K + dK при всехвозможных значениях импульсов, равна mV 2dPK1 = A exp − 2T4πp 2 dp .(2.9)Иногда бывает удобнее определить ту же вероятность, записав её через возможные значения скоростей: mV 2dPK1 = A exp − 2T4πV 2 dV .(2.10)Отметим, что температура T во всех приведенных выражениях определяется по энергетической шкале исвязана с термодинамической температурой Tk как T = kTk .Постоянную A найдем из условия нормировки, взяв интеграл по всем возможным скоростям молекул,лежащим в пределах от 0 до ∞ :6∞ mV 2dP4πAexp=∫ K∫0  − 2T 2V dV = 1 .(2.11)Для вычислений используем известный табличный интеграл - интеграл Пуассона:∞πβ1∫ exp(− βx )dx = 220.m= β и V = x , находим2T∞∞∞d − βx 2d  − βx 2 d− βx 2 2=−=−exdxedxe dx  = −∫0∫0 dβ∫dβ  0dβ(2.12)Тогда, положив в (2.11)()1 π  1 ππ 2 β  = 4 β 3 = 4β 3 2 ,или∞ mV 24πA∫ exp − 2T0 2π 2πT V dV = 4πA= A32 m  m4 2T 32= 1.Отсюда m A= 2πT 32.(2.13)Окончательно получаемdPV ÷V + dV m = 2πT  mdPV ÷V + dV =  2πkTk32⋅e−mV 22T32⋅e−⋅ 4πV 2 dVmV 22 kTk,(2.14)⋅ 4πV 2 dVПолученное выражение (2.14) – распределение Максвелла по скоростям – определяет вероятность того, чтоскорость молекулы лежит в диапазоне значений от V до V + dV , или в шаровом слое фазового пространстваскоростей от V до V + dV .По поводу этого распределения Больцман писал: «Устанавливающееся само собой наиболее вероятноераспределение, которое мы называем распределением Максвелла по скоростям (ибо он первый нашел для негоматематическое выражение в специальном случае), не соответствует какому-то особому состоянию,противопоставляемому бесконечно бо/льшему набору других состояний, соответствующих немаксвелловскимраспределениям.

Скорее, напротив, для подавляющего числа возможных состояний характерно распределениеМаксвелла, и число возможных распределений скоростей, существенно отличающихся от максвелловского,исчезающе мало».2.2. Свойства распределения Максвелла.dP(V ), имеет максимум при некоторойdV2скорости молекулы. Действительно, фазовый объем растет пропорционально V , а экспоненциальный1). Вероятность, или лучше плотность вероятностиρ (V ) =множитель быстро убывает с увеличением скорости молекулы.Построим график функцииρ (V )ρ (V ) и найдем значениескорости V = Vвер , при которой плотность вероятностираспределения по скоростям имеет максимум.ρ (V ) ~ V e2Vвер V V + dVV−mV 22T.′mV 2mV 2mV 2−dρ  2 − 2T m 3 − 2T2T~ V e= 2Ve− V e= 0;dV T2kTkm2T2 = V 2 ; Vвер ==.(2.15)Tmm7ρ (V )T1Наиболее вероятная скорость растет сT1 < T2 < T3T2температурой: Vвер ~T , а вероятность того, чтомолекула имеет скорость в окрестности Vвер ,T3уменьшается.VVверЕсли площадь под кривой нормирована на единицу, то площадь заштрихованной области (см.

предыдущийрис.) равна вероятности dP (V ) того, что скорость молекулы лежит в пределах от V до V + dV . В томслучае, когда нас интересует конечный интервал скоростей от V1 до V2 , то32V2− m ρ (V ) =  e 2πT ∆PV1 ÷V2 = ∫ ρ (V )dV ,V1mV 22T4πV 2 .(2.16)2.3. Характерные средние скорости.1).Средняя скорость. По определению∞ m V = ∫ Vρ (V )dV = 4π  2πT 03/ 2 ∞ mV 23 −Vexp∫0 2TdV .mV 2T= y , VdV = dy даетЗамена переменных:m2T m V = 4π  2πT ∫32∞∞2TT−y T−y∫0 m y ⋅ e ⋅ m dy = 4 2πm ∫0 e ydy .∫Далее интегрируем по частям ( udv = vu − vdu ; u = y, du = dy , v = −e∫e−y∞−y, dv = e − y dy ):∞ydy = − ye − y + ∫ e − y dy = − e − y = 1 ,0008kTk8TT==.V =42πmπmπm8kTk.V =πm(2.17)2).

Средняя квадратичная скорость.По определению:∞V2 m = ∫ V ρ (V )dV = 4π 2πT03/ 2 ∞2∫V4e−mV 22TdV .0Вспомним, что∞∫x0Здесьβ=4e− βx 2∞d2d2 1 ππ d −3 / 2 3− βx 2dx =dxe==−β=π β −5 / 2 .2 ∫24 dβ8dβ 0dβ 2 βmm. Откуда=2T 2kTkV2И средняя квадратичная скорость равна m = 4π  2π T 3/ 23 2T π 8 m5/ 2=3T.m8Vср. кв.

=V2 =3kTk3T=.mm(2.18)Используя (2.18), можно получить среднюю кинетическую энергию молекулы:K =ρ (V )m 233V = T = kTk .222(2.19)Приведенный рисунок иллюстрирует расположениехарактерных скоростей Vвер. ; V ; Vср. кв . под кривойVвер V Vср. кв.Vфункции распределенияρ (V ) .Рассмотрим подсистему, содержащую N одинаковых невзаимодействующих частиц. Обозначим черезP(K ) вероятность того, что такая подсистема обладает энергией в интервале от K до K + dK . ТогдаN m  3 / 2 − K1 ⋅ e T dΓK  ,dP(K ) =  2π T (2.20)гдеK = K 1 + K 2 + ... + ...

= NK 1 = NmV 2,2а dΓK – фазовый объем подсистемы, состоящей из одной молекулы, равный в пространстве скоростейdΓK = 4πV 2 dV .Тогда вероятность обнаружить молекулу со скоростями от V до V + dV в ансамбле из N частиц в силунезависимости каждой из частиц равнаN m  3 2 − mV2dP(V ) =  e 2T 4πV dV  . 2πT dP(V )Плотность вероятности ρ N (V ) =распределенияρ N (V )(dV )Nпо скоростям в подсистеме из N молекул приведена на2рисунке. Для подсистемы, состоящей из одной молекулы,максимум функции распределения довольно широк. Этоотражает большой разброс в абсолютных значениях скоростеймолекулы.

Одна (1!) молекула - подсистема, которая содержитмалое число частиц, поэтому флуктуации велики.Для подсистемы из N частиц, напротив, функцияраспределения ρ N (V ) имеет резкий максимум, ширинакоторого уменьшается как1N(2.21)N молекул2 молекулы1 молекулаV.Фазовый объем dΓK одной молекулы, соответствующий интервалу кинетических энергий K ÷ K + dK ,который может быть представлен как114π4πp 2 dp = 3 4πm 3 2 2W dW = 3 2 2 K dK .3mmmТогда вероятность системе, состоящей из N частиц, иметь кинетическую энергию от K до K + dKdΓK = 4πV 2 dV = m  3 2 − K1 4πdP(K ) =  e T 322πTmNN 1  3 2 − K12 K 1 dK  =  e T 4π 2 K 1 dK  , 2πT 9ρ N (K )а соответствующая ей функция распределенияρK =dP(K ),(dK )Nкак показано на рисунке, имеет резкий максимум приK = N K1 .KK2.3.

Распределение Максвелла по проекциям скорости.При экспериментальной проверке распределения Максвелла, как правило, регистрируются молекулы,летящие в одну сторону. Поэтому возникает практический интерес к определению составляющих скоростеймолекул вдоль определенных направлений, например, вдоль оси x : V x .3.1. Распределение по проекциям скорости.Воспользуемся микрораспределением, т.е.

тем, что вероятность молекуле иметь определенную энергиюравна произведению распределения Гиббса на соответствующий фазовый объем:ρ (W ) = A ⋅ e−WTdP(W ) = A ⋅ e,−WTdΓW(3.1)2mV, как и в предыдущем параграфе, рассмотрим2фазовый объем, соответствующий элементу объема в пространстве скоростей: dΓV = dV x dV y dV z .

ТогдаПодставляя кинетическую энергию одной молекулы K =получаем распределение Максвелла, дающее вероятность того, что молекула имеет скорость, принадлежащуюV x ÷ V x + dV xдиапазону значений проекций на оси координат: V y ÷ V y + dV yV ÷ V + dVzz z m d P( K ) = 2πT3/ 2⋅e−m (Vx2 +V y2 +Vz2 )dV x dV y dV z2T(3.2)Эту вероятность можно представить в виде произведения:dP( K ) = dP(V x )dP(V y )dP(V z ) ,где каждый из сомножителей представляет собой распределение Максвелла (1859 г.) для проекций скоростимолекул.

Так, распределение Максвелла по x − ой проекции скорости: m dP(V x ) =  2π T  m ρ (V x ) =  2π T ρ (V x )1/ 2e1/ 2−emV x22T−mV x22T=dV xdP (V x ).dV x(3.3)(3.4)Это распределение симметрично относительно началакоординат и имеет максимум при проекции скоростиV x = 0 . Положительные и отрицательные значения V xимеют одинаковую вероятность, поэтому наиболеевероятная проекция и средняя проекция скорости равны0Vxнулю V x = 0.10Проиллюстрировав зависимость фазового объема от скорости, можно пояснить, почему наиболее вероятнаяпроекция скорости равна нулю.Плотность фазовых точек наибольшая в центре системы координат:ρ (W ) = ρ ( K ) = Ae−mV 22T.В распределении по абсолютным значениям скорости элементарныйфазовый объем растет с увеличением абсолютного значенияскорости:VzdΓV = 4πV 2 dV .Поэтому, как мы уже отмечали, максимум функции распределения поскоростям ρ (V ) сдвигается относительно начала координат из-за болееVy2быстрого ( ~ V ) на начальном участке роста элементарного фазовогообъема dΓV по сравнению с экспоненциальным спадом плотностиVxρ (W ) фазовых точек.Функция распределенияρ (V x ) , как следует из (3.4), не зависит отвеличины элементарного фазового объема dV x , который одинаков всюдуVxвдоль оси x .

Характеристики

Список файлов лекций