метода Волощенко (551678), страница 3
Текст из файла (страница 3)
При решении задачи экстраполяции погрешность определяется по отклонению экстраполируемого значения функции от значения, рассчитанного по аналитической Формуле в данной точке. 2.2. Методы аппроксимации Аппроксимация каноническим полиномом. Пусть имеем таблицу узловых точек аргумента хд, хз, ..., х„и соответствующих им значений Функции Г(хд), Дхз), ..., )(х„). При аппроксимации Функции д(х) полиномом Р(х) степени л з каноническом виде выражение для полинома записывается в форме Р„(х) = г + гз х + гз х + ...
+ г„х", 2 (2.3) где гд, гз, ..., г„д — постоянные коэффициенты полинома. Задача построения аппроксимирующего полиномз в данном случае сводится к однократному определению коэффициентов гд, гз, ..., г„+ д. После этого можно задавать Различные значениЯ и из выражения (2.3) (используя, например, схему Горнера) определять соответствующие им значения функции. Неизвестные коэффициенты обычно определяют методом неопределенных коэффициентов из условия Лагранжа, согласно которому в узлах интерполяции значения полинома должны совпадать со значениями функции, т.е. Рз(х)) = Йх)) * 1 с) «+ 1 . (2,4) Это условие определи систему линеиных алгебраических уравнений вида г +х г +хдгз+...+хдг„+д — -Йхд); 2 2 гд + хз г2+ хз 'з + ... + хз га+ д = (хз); (2.5) г> + Хз гз+ Х"З+ "-+ ХЗ га+ Д = «ХЗ) ° 2 относительно неизвестных коэффициентов г + гз+ ...
+ г„+ д. В матричной Форме эту систему можно записать в виде Х2 = Р, (2.6) где Х вЂ” матрица коэффициентов системы линейных уравнений; Я— вектор неизвестных; Р— вектор правой части. Из выражения (2.6) следует, что матрица Х коэффициентов системы (2.5) и вектор Р имеют вид 2 з 1 хд хд ... хд 2 л х2 х2 — х2 д(хд) йхз) (2.7) йх„) 1 х„х„... х„ 2 з очевидны. Аппроксимация полиномом Лагранжа.
Полином Лагранжа позволяет вычислять интерполируемое значение Функции непосредственно по значениям Функции в узлах интерполяции. Полипом Лагранжа имеет вид 15 Можно показать, что система уравнений (2.6) относительно г имеет единственное решение [21, если среди узлов интерполяции хд, хз, ..., х„нет совпадающих. Таким образом для построения аппроксимирующего полинома степени л в канонической форме необходимо: выбрать п + 1 узлов интерполяции; построить матрицу Х коэффициентов системы (2.6); сформировать вектор Р; найти вектор Я путем решения системы уравнений (2.6) заданным численным методом.
Алгоритмы реализации этих функций (2.8) где и — степень полинома Лагранжа; х — значение аргумента, для которого определяется интерполируемое значение функции; х, „х. — узлы интерполяции. Из (2.8) следует, что алгоритм должен содержать два вычислительных процесса: вычисление произведения и накопление суммы.
Для получения значения функции с заданной погрешностью обычно начинают с т = 2 (т — количество используемых узлов) и последовательно увеличивают количество узлов интерполяции слева и справа от заданного значэния х до тех пор,пока относительная текущая погрешность не станет меныпе заданной погрешности. Экстраполяция методом Гира. Пусть имеем таблицу значений Функции в и узлах, расположенных в общем случае на разных расстояниях друг от друга на интервале [х1, х„). Экстраполируемое значение функции в узле номер и+ 1, отстоящем от узла номер и на величину Н в методе Гира [3) определяется по Формуле и+1=Х у! [и+1-1* (2.9) 1.— 1 где т — количество узлов, учитываемых на интервале [х1, х„); т < и; [„1 ! — значения функции в узлах аппроксимации.
постоянные коэффициенты у! зависят от расстояния между узлами аппроксимации. Эти коэффициенты можно определить из системы линейных уравнений вида Хп+! Хп Хп+! Хп хпь! хп 1' Н хп ! - хп.1 Хп+! -Х Х „! — Х Погрешность экстраполяции Функции методом Гира в узле номер и+ 1 существенно зависит от количества предыдущих узлов, учитываемых в выражении (2.9). Обычно требуется найти экстраполируемое значение функции с заданной погрешностью е. Алгоритм решения задачи включает в себя итерационную процедуру, в которой, начиная с т =- 2 последовательно определяется ряд значений функции г1„1 Ц вЂ” номер итерации), увеличивая каждый раз т на единицу и сравнивая значения функции на соседних итерациях.
Процесс прекращается, когда выполнится условие Р) + 1 и+1 и+1 Р1+ 1 и+ 1 либо т станет больше и, что соответствует ситуации "Решение не может быть получено с заданной погрешностью". Аппроксимация полиномами Чебышева. При аппроксимации функции полиномами Чебышева аппроксимирующий полипом записывается в виде Р(х)=аоТ, +а Т,+...+и„Т„, (2.10) где а, и, ..., а — постоянные коэффициенты; Т1, Т1, ..., ҄— О* 1'"' и полиномы Чебышева. По сравнению с другими интерполяционными полиномами приближение функции 1(х) с помощью полиномов Чебышева обеспечивает минимальную погрешность отклонения Р(х) от !(Х).
Если в качестве узлов интерполяции выбрать нули полиномов Чебышева, то максимальная погреюпность будет минимальной и ее можно определить из соотношения шах ~[(х) — Р„(х)~ < „шах )У (х)) * (2-11) 2 (и+1)' -1ях<1 7т 16 17 где 1""+ (х) зто (и+ 1)-я производная Функции !(Х). Полиномы Чебышева определены на интервале [-1,Ц, поэтому при аппроксимации Функции заданной на другом интервале необходимо делать преобразование координат. Построение аппроксимирующего полинома по Чебышеву для.функции заданной на произвольном интервале (Р, !7)„проводится в следующем порядке. 1. Выбираем степень п полинома Р(х) (например по заданной погрешности из соотношения (2.11)).
2. Для ( =О, 1, ..., п на интервале [ — 1, Ц вычисляем набор оптимальных значений аргумента в узлах интерполяции х. — соз 3. Переходим к отрезку (Р, д) путем преобразования координат Р+Ч Р Ч— х,. = — + х,. и вычисляем набор значений Дх,). 4. Вычисляем коэффициенты аь полинома (2.10) из соотношений и 2 ( 21+1 ь=- -- ~~', 1(;)соз Йв, где Ь=0,1,...,п.
и+ 1 (2(п+ 1) ) * »=0 При вычислении интерполируемого значения Р (х) для арз гумента х, заданного на интервале [Р, д] сначала переходим к интервалу [ — 1,Ц, используя преобразование координат (х=( х — д — р)l(д — р)), а затем находим Р(х) одним из следующих способов. Способ 1. Используя рекуррентное соотношение Т = 2 х Т— — Ть г (при Тс = 1, Т~ — — х), вычисляем значения полиномов Тг, Тв» ..., Т„, и из соотношения (2.10) определяем Р„(х). Способ 2. Вводим набор дополнительных переменных Ь при,, причем полагаем, Ь„х —— О, Ь„= 0 и вычисляем остальные коэффициенты из рекуррентного соотношения Ь = а — Ь + 2Ь вЂ” з .» 3 з .» 3 х» гдей=п и — 1,... д =, и — 1, ..., .1. Значение полинома определяем из соотношения Р(х) = ао — Ь + Ь х. 2 1 Аппроксимация кубической снлайн-Функцией.
Полиномиальная интерполяция в общем случае не обеспечивает непрерывность производных функции и может давать значительные погрешности в промежутках между узлами интерполяции. От этого недостатка свободна аппроксимация с помощью сплайн-функции. Наиболее широкое распространение получила кубическая сплайн-функция. 18 представляющая собой специальный многочлен третьей степени [2), козффицненты которого различны для каждого отрезка между соседними узлами интерполяции.
Пусть имеем таблицу значений функции на интервале [хо, х„). Для аппроксимации функции между узлами интерполяции с помощью сплайн-функции используется многочлен вида Р( ) „ Ь ~ ) г ~ ~х ~ ) + с(,(~ — ~, ~ ,(2Л2) гдех,- ~ <х<х; Задача построения Р(х) в данном случае сводится к определению козффициентов и,, Ь,, с,, д,.
для каждого из и интервалов. Зная зти коэффициенты можно вычислить значения функции для х, лежащего в любом из отрезков на интервале [хе, х„). Так как количество элементарных отрезков равно и, то для определения неизвестных коэФфициентов требуется 4л уравнений. Для етого на сплайн-функцию накладывают ряд условий, а именно: 1.
График полинома Р(х) должен совпадать с функцией г(х) в узлах интерполяции. 2. Первые и вторые производные полинома должны быть непрерывны в узлах интерполяции. 3. Полином Р(х) должен иметь нулевую кривизну в крайних узлах хо, х„(то есть в атих узлах должны быть равны нулю вторые производные). Используя зги ограничения, можно получить расчетные формулы для определения неизвестных козффициентов а,, Ь,, с,, и', условие равенства нулю вторых производных в крайних узлах дает с~ —— О, с„= О, тогда остальные коэффициенты с,. можно определить путем решения системы линейных алгебраических уравнений (2. 13) где Я вЂ” матрица коэффициентов; С вЂ” вектор неизвестных коэфФициентов (сз, св, ..., с„); Р— вектор зависящий от значений функции в узлах интерполяции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
