задача (550641)
Текст из файла
ÔÓÍÊÖÈß ÃÐÈÍÀ È ÇÀÄÀ×À ØÒÓÐÌÀ-ËÈÓÂÈËËßÑ. Â. ÏÈÊÓËÈÍ1.Ïîñòàíîâêè çàäà÷ è îïðåäåëåíèÿ∩Ïóñòü x ∈ R1 , Ω = (a, b) èíòåðâàë ÷èñëîâîé ïðÿìîé, , u(x) ∈ C 2 (Ω) C 1 (Ω) ôóíêöèÿ íà îòðåçêå Ω = [a, b], òàêàÿ ÷òî u′′ (x) ∈ L2 (Ω). Ðàññìîòðèì ëèíåéíûéîïåðàòîð äèâåðãåíòíîãî âèäà:Lu(x) ≡ −(p(x)u′ (x))′ + q(x)u(x),(1)ãäå p(x) ∈ C 1 (Ω) äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, íå îáðàùàþùàÿñÿ â íîëü íèãäå â Ω,q(x) ∈ C(Ω) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Íà u(x) íàêëàäûâàþòñÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ âòî÷êàõ a è b:α1 u(a) + α2 u′ (a) = 0, α12 + α22 ̸= 0,(2)β1 u(b) + β2 u′ (b) = 0, β12 + β22 ̸= 0.(3)Áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó(4)Lu(x) = f (x)Ñîãëàñíî ôîðìóëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, ôóíêöèÿ u(x) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåìóðàâíåíèÿ (4) â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà äëÿ ëþáîé áåñêîíå÷íî ãëàäêîéôóíêöèè φ(x) ñ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì â Ω âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå:∫∫∫′′p(x)u (x)φ (x)dx + q(x)u(x)φ(x)dx =φ(x)f (x).(5)ΩΩΩ(Êîìïàêòíîñòü íîñèòåëÿ ôóíêöèè φ îçíà÷àåò, ÷òî φ(x) = 0, äëÿ âñåõ x èç íåêîòîðîéîêðåñòíîñòè òî÷åê a è b).Åñëè äëÿ ôóíêöèè u(x), íå ðàâíîé òîæäåñòâåííî íóëþ, è ÷èñëà λ ∈ R âûïîëíÿåòñÿðàâåíñòâîLu(x) = λu(x),(6)òî u(x) íàçûâàþò ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé, à λ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì îïåðàòîðà L.Çàäà÷à ïî îòûñêàíèþ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë è ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ çàäà÷åéØòóðìà-Ëèóâèëëÿ.
Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è çíà÷åíèÿ èãðàþò âàæíóþ ðîëü â èíæåíåðíûõè ôèçè÷åñêèõ çàäà÷àõ.Íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ G(x, y) : Ω × Ω → R, òàêàÿ ÷òîLG(x, y) = δ(x − y),(7)íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Ãðèíà îïåðàòîðà L; çäåñü δ(x) äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà.Óñëîâèå (7) îçíà÷àåò (ïî îïðåäåëåíèþ), ÷òî äëÿ ëþáîé ãëàäêîé ôóíêöèè φ(x) ñêîìïàêòíûì íîñèòåëåì âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå:∫∫′′p(x)Gx (x, y)φ (x)dx + q(x)G(x, y)φ(x)dx = φ(y).(8)ΩΩ12Ñ. Â. ÏÈÊÓËÈÍÑ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà ðåøåíèå çàäà÷è (4) âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé∫u(x) =G(x, y)f (y)dx,(9)Ωòàêèì îáðàçîì, èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð â ïðàâîé ÷àñòè (9) ÿâëÿåòñÿ îáðàòíûì ê L.Çàäà÷à Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ (6), (2), (3) ñâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà G(x, y)ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ∫u(x) = λ G(x, y)u(y)dx.(10)Ω îòëè÷èå îò äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6), èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå (10) óæåñîäåðæèò â ñåáå èíôîðìàöèþ î ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ (2) è (3).2.Ïîñòðîåíèå ôóíêöèè ÃðèíàÏîñòðîèì ôóíêöèþ Ãðèíà äëÿ îïåðàòîðà L (1).
Ïëàí ïîñòðîåíèÿ òàêîâ:1) ðåøèòü (4) êàê îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïî îòäåëüíîñòèäëÿ óñëîâèÿ (2) è (3), ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâåííî ðåøåíèÿ ua (x) è ub (x);2) äëÿ äàííîé òî÷êè y ∈ Ω ñêîíñòðóèðîâàòü èç ua (x) è ub (x) íåïðåðûâíóþôóíêöèþ gy (x), óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì (2), (3) è óðàâíåíèþ (4) âåçäåâ Ω, êðîìå òî÷êè y .  òî÷êå x = y ôóíêöèÿ gy (x) äîëæíà áûòü íåïðåðûâíà,à åå ïðîèçâîäíàÿ ðàçðûâíà; òîãäà ïðè ïîâòîðíîì äèôôåðåíöèðîâàíèè â (1)âîçíèêíåò äåëüòà-ôóíêöèÿ ñ íåêîòîðûì (íå ðàâíûì íóëþ) êîýôôèöèåíòîì cy ;3) íîðìèðîâàòü gy (x) íà cy ïîëîæèòü G(x, y) = gy (x)/cy .Ïóñòü ua (x) è ub (x) ðåøåíèÿ, îïèñàííûå â ï.
1). Çàôèêñèðóåì òî÷êó y ∈ Ω.Ïîëîæèì{ka ua (x), åñëè a < x <= ygy (x) =(11)kb ub (x), åñëè y <= x < bãäå ka = ub (y), kb = ua (y). Ôóíêöèÿ gy (x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ïóíêòà 2).Îáîçíà÷èâ u(x) = ka ua (x)−kb ub (x), ïîäñòàâèì gy (x) â îïðåäåëåíèå (8) âìåñòî G(x, y):∫∫′′p(x)gy (x)φ (x)dx + q(x)gy (x)φ(x)dx =(12)∫ Ωy∫Ωyp(x)u′ (x)φ′ (x)dx +q(x)u(x)φ(x)dx =(13)aa∫ yy′[p(x)u (x)φ(x)]a +Lu(x)φ(x)dx = p(y)u′ (y)φ(y).(14)a ïåðâîì ðàâåíñòâå ó÷òåíî îïðåäåëåíèå (4) äëÿ ôóíêöèè ub (x) è ñîîòíîøåíèå u(x) =gy (x) − ub (x), âûïîëíåííîå ïðè x ∈ (a, y).  ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå èñïîëüçóåòñÿ òî,÷òî Lu(x) = 0. Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ôóíêöèÿ gy (x) îòëè÷àåòñÿ îò G(x, y)òîëüêî ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåì cy = −k(y) = p(y)u′ (y), ãäå k(y) ðàâíî ñêà÷êóôóíêöèè p(x)gy′ (x) â òî÷êå x = y :k(y) = p(y)[ua (y)u′b (y) − ub (y)u′a (y)] = p(y)w(y).(15) u (y) ub (y) îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî (âðîíñêèàí) ðåøåíèé ua (y)Çäåñü w(y) ≡ a′ua (y) u′b (y) è ub (y).
Ñîãëàñíî èçâåñòíîìó ñâîéñòâó âðîíñêèàíà (ñì. ñëåäóþùèé ïóíêò), ñïðàâåäëèâîÔÓÍÊÖÈß ÃÐÈÍÀ È ÇÀÄÀ×À ØÒÓÐÌÀ-ËÈÓÂÈËËß3ñîîòíîøåíèå: p(y)w(y) = const, òî åñòü k = p(a)w(a) íå çàâèñèò îò y .  ÷àñòíîñòè,ôóíêöèÿ Ãðèíà îêàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî x è y :{1 ub (y)ua (x), åñëè a < x <= yG(x, y) = −(16)ua (y)ub (x), åñëè y <= x < bk3.Îïðåäåëèòåëü ÂðîíñêîãîÏóñòü f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x), n−1 ðàç äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè.
ÎïðåäåëèòåëåìÂðîíñêîãî (âðîíñêèàíîì) íàáîðà ôóíêöèé fi (x) íàçûâàåòñÿ äåòåðìèíàíò f1 (x)f2 (x)···fn (x) f1′ (x)···fn′ (x) f2′ (x)′′′′f2 (x)···fn′′ (x) (17)w(f1 , . . . , fn )(x) = f1 (x)............ (n−1)(n−1)(n−1) f1(x) f2(x) · · · fn(x) Ðàññìîòðèì îäíîðîäíîå ëèíåéíîå (îáûêíîâåííîå) äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïîðÿäêà n:an (x)f (n) (x) + an−1 (x)f (n−1) (x) + · · · + a1 (x)f ′ (x) + a0 (x)f (x) = 0Óòâåðæäåíèå.(18)Ïóñòü f1 (x), f2 (x), . . .
, fn (x) ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (18), èw(x) = w(f1 , . . . , fn )(x) èõ âðîíñêèàí. Òîãäà ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèåan (x)w′ (x) + an−1 (x)w(x) = 0.(19)Åñëè u1 (x) è u2 (x) ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Lu(x) = 0, ãäå L îïåðàòîðâèäà (1), è w(x) = w(u1 , u2 )(x) èõ âðîíñêèàí, òî (p(x)w(x))′ = 0.Ñëåäñòâèå.Äîêàæåì óòâåðæäåíèå äëÿ n = 2; â îáùåì ñëó÷àå äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî.Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ äåòåðìèíàíòà ñëåäóåò ïðàâèëî Ëåéáíèöà: a(x) b(x) ′ a′ (x) b′ (x) a(x) b(x) (20) c(x) d(x) = c(x) d(x) + c′ (x) d′ (x) ,ãäå a(x), b(x), c(x), d(x) ïðîèçâîëüíûå äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè. Ïðîèçâåäåìâû÷èñëåíèå: ′ u1 (x) u′2 (x) u1 (x) u2 (x) ′ + a2 (x) ′′a2 (x)w (x) = a2 (x) ′ u1 (x) u′′2 (x) =u1 (x) u′2 (x) u1 (x) u2 (x) u1 (x) u2 (x) − a0 (x) − a1 (x) ′ u1 (x) u2 (x) =u1 (x) u′2 (x) − a1 (x)w(x).Ýòî äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå.4.ÏðèìåðÍàéäåì ôóíêöèþ Ãðèíà äëÿ çàäà÷è1Lu(x) ≡ xu′′ (x) + u′ (x) − u(x) = 0,xu(1) = 0u(2) − u′ (2) = 0x ∈ (1, 2)(21)(22)(23)4Ñ.
Â. ÏÈÊÓËÈÍÇàïèøåì îïåðàòîð çàäà÷è (21) â ôîðìå (1):1Lu(x) = (xu′ (x))′ − u(x),(24)xòî åñòü, p(x) = −x, q(x) = − x1 . ×àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (24) áóäåì èñêàòü ââèäå u(x) = xm . Èìååì: m2 xm−1 − xm−1 = 0, îòêóäà m = ±1:u1 (x) = x1u2 (x) = .xÍàéäåì ðåøåíèå çàäà÷è (24), (22) â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè u1 (x) è u2 (x): ua (x) =c1 u1 (x) + c2 u2 (x), 0 = u(1) = c1 u1 (1) + c2 u2 (1) = c1 + c2 , ñëåäîâàòåëüíî1ua (x) = u1 (x) − u2 (x) = x − .xÀíàëîãè÷íî, íàõîäèì ub (x) = d(1 u1 (x) + d2)u2 (x),1130 = ub (2) − u′b (2) = (2 − 1)d1 +− (− ) d2 = d1 + d2 , îòêóäà2444ub (x) = 3x − .xÂû÷èñëèì îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî:4 13x−x− ua (x) ub (x) xx 2= ,w(x) = ′=ua (x) u′b (x) 4 x1 1+3+ 2 x2xîòêóäà k = p(x)w(x) = −2.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ k äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü p(x)w(x)|x=1 : 0 −1 = −2.k = p(1)w(1) = −1 × 2 7 Òàêèì îáðàçîì, () ()14 x − x × 3y − y ,1G(x, y) =() ()214× 3x −, y−yxåñëè 1 < x ≤ y(25)åñëè y ≤ x < 2..
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
