задача (550641)

Файл №550641 задача (Задача Штурма-Лиувилля и функция Грина)задача (550641)2015-11-14СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ÔÓÍÊÖÈß ÃÐÈÍÀ È ÇÀÄÀ×À ØÒÓÐÌÀ-ËÈÓÂÈËËßÑ. Â. ÏÈÊÓËÈÍ1.Ïîñòàíîâêè çàäà÷ è îïðåäåëåíèÿ∩Ïóñòü x ∈ R1 , Ω = (a, b) èíòåðâàë ÷èñëîâîé ïðÿìîé, , u(x) ∈ C 2 (Ω) C 1 (Ω) ôóíêöèÿ íà îòðåçêå Ω = [a, b], òàêàÿ ÷òî u′′ (x) ∈ L2 (Ω). Ðàññìîòðèì ëèíåéíûéîïåðàòîð äèâåðãåíòíîãî âèäà:Lu(x) ≡ −(p(x)u′ (x))′ + q(x)u(x),(1)ãäå p(x) ∈ C 1 (Ω) äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, íå îáðàùàþùàÿñÿ â íîëü íèãäå â Ω,q(x) ∈ C(Ω) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Íà u(x) íàêëàäûâàþòñÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ âòî÷êàõ a è b:α1 u(a) + α2 u′ (a) = 0, α12 + α22 ̸= 0,(2)β1 u(b) + β2 u′ (b) = 0, β12 + β22 ̸= 0.(3)Áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó(4)Lu(x) = f (x)Ñîãëàñíî ôîðìóëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, ôóíêöèÿ u(x) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåìóðàâíåíèÿ (4) â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà äëÿ ëþáîé áåñêîíå÷íî ãëàäêîéôóíêöèè φ(x) ñ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì â Ω âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå:∫∫∫′′p(x)u (x)φ (x)dx + q(x)u(x)φ(x)dx =φ(x)f (x).(5)ΩΩΩ(Êîìïàêòíîñòü íîñèòåëÿ ôóíêöèè φ îçíà÷àåò, ÷òî φ(x) = 0, äëÿ âñåõ x èç íåêîòîðîéîêðåñòíîñòè òî÷åê a è b).Åñëè äëÿ ôóíêöèè u(x), íå ðàâíîé òîæäåñòâåííî íóëþ, è ÷èñëà λ ∈ R âûïîëíÿåòñÿðàâåíñòâîLu(x) = λu(x),(6)òî u(x) íàçûâàþò ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé, à λ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì îïåðàòîðà L.Çàäà÷à ïî îòûñêàíèþ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë è ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ çàäà÷åéØòóðìà-Ëèóâèëëÿ.

Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è çíà÷åíèÿ èãðàþò âàæíóþ ðîëü â èíæåíåðíûõè ôèçè÷åñêèõ çàäà÷àõ.Íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ G(x, y) : Ω × Ω → R, òàêàÿ ÷òîLG(x, y) = δ(x − y),(7)íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Ãðèíà îïåðàòîðà L; çäåñü δ(x) äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà.Óñëîâèå (7) îçíà÷àåò (ïî îïðåäåëåíèþ), ÷òî äëÿ ëþáîé ãëàäêîé ôóíêöèè φ(x) ñêîìïàêòíûì íîñèòåëåì âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå:∫∫′′p(x)Gx (x, y)φ (x)dx + q(x)G(x, y)φ(x)dx = φ(y).(8)ΩΩ12Ñ. Â. ÏÈÊÓËÈÍÑ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà ðåøåíèå çàäà÷è (4) âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé∫u(x) =G(x, y)f (y)dx,(9)Ωòàêèì îáðàçîì, èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð â ïðàâîé ÷àñòè (9) ÿâëÿåòñÿ îáðàòíûì ê L.Çàäà÷à Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ (6), (2), (3) ñâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà G(x, y)ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ∫u(x) = λ G(x, y)u(y)dx.(10)Ω îòëè÷èå îò äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6), èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå (10) óæåñîäåðæèò â ñåáå èíôîðìàöèþ î ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ (2) è (3).2.Ïîñòðîåíèå ôóíêöèè ÃðèíàÏîñòðîèì ôóíêöèþ Ãðèíà äëÿ îïåðàòîðà L (1).

Ïëàí ïîñòðîåíèÿ òàêîâ:1) ðåøèòü (4) êàê îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïî îòäåëüíîñòèäëÿ óñëîâèÿ (2) è (3), ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâåííî ðåøåíèÿ ua (x) è ub (x);2) äëÿ äàííîé òî÷êè y ∈ Ω ñêîíñòðóèðîâàòü èç ua (x) è ub (x) íåïðåðûâíóþôóíêöèþ gy (x), óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì (2), (3) è óðàâíåíèþ (4) âåçäåâ Ω, êðîìå òî÷êè y .  òî÷êå x = y ôóíêöèÿ gy (x) äîëæíà áûòü íåïðåðûâíà,à åå ïðîèçâîäíàÿ ðàçðûâíà; òîãäà ïðè ïîâòîðíîì äèôôåðåíöèðîâàíèè â (1)âîçíèêíåò äåëüòà-ôóíêöèÿ ñ íåêîòîðûì (íå ðàâíûì íóëþ) êîýôôèöèåíòîì cy ;3) íîðìèðîâàòü gy (x) íà cy ïîëîæèòü G(x, y) = gy (x)/cy .Ïóñòü ua (x) è ub (x) ðåøåíèÿ, îïèñàííûå â ï.

1). Çàôèêñèðóåì òî÷êó y ∈ Ω.Ïîëîæèì{ka ua (x), åñëè a < x <= ygy (x) =(11)kb ub (x), åñëè y <= x < bãäå ka = ub (y), kb = ua (y). Ôóíêöèÿ gy (x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ïóíêòà 2).Îáîçíà÷èâ u(x) = ka ua (x)−kb ub (x), ïîäñòàâèì gy (x) â îïðåäåëåíèå (8) âìåñòî G(x, y):∫∫′′p(x)gy (x)φ (x)dx + q(x)gy (x)φ(x)dx =(12)∫ Ωy∫Ωyp(x)u′ (x)φ′ (x)dx +q(x)u(x)φ(x)dx =(13)aa∫ yy′[p(x)u (x)φ(x)]a +Lu(x)φ(x)dx = p(y)u′ (y)φ(y).(14)a ïåðâîì ðàâåíñòâå ó÷òåíî îïðåäåëåíèå (4) äëÿ ôóíêöèè ub (x) è ñîîòíîøåíèå u(x) =gy (x) − ub (x), âûïîëíåííîå ïðè x ∈ (a, y).  ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå èñïîëüçóåòñÿ òî,÷òî Lu(x) = 0. Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ôóíêöèÿ gy (x) îòëè÷àåòñÿ îò G(x, y)òîëüêî ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåì cy = −k(y) = p(y)u′ (y), ãäå k(y) ðàâíî ñêà÷êóôóíêöèè p(x)gy′ (x) â òî÷êå x = y :k(y) = p(y)[ua (y)u′b (y) − ub (y)u′a (y)] = p(y)w(y).(15) u (y) ub (y) îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî (âðîíñêèàí) ðåøåíèé ua (y)Çäåñü w(y) ≡ a′ua (y) u′b (y) è ub (y).

Ñîãëàñíî èçâåñòíîìó ñâîéñòâó âðîíñêèàíà (ñì. ñëåäóþùèé ïóíêò), ñïðàâåäëèâîÔÓÍÊÖÈß ÃÐÈÍÀ È ÇÀÄÀ×À ØÒÓÐÌÀ-ËÈÓÂÈËËß3ñîîòíîøåíèå: p(y)w(y) = const, òî åñòü k = p(a)w(a) íå çàâèñèò îò y .  ÷àñòíîñòè,ôóíêöèÿ Ãðèíà îêàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî x è y :{1 ub (y)ua (x), åñëè a < x <= yG(x, y) = −(16)ua (y)ub (x), åñëè y <= x < bk3.Îïðåäåëèòåëü ÂðîíñêîãîÏóñòü f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x), n−1 ðàç äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè.

ÎïðåäåëèòåëåìÂðîíñêîãî (âðîíñêèàíîì) íàáîðà ôóíêöèé fi (x) íàçûâàåòñÿ äåòåðìèíàíò f1 (x)f2 (x)···fn (x) f1′ (x)···fn′ (x) f2′ (x)′′′′f2 (x)···fn′′ (x) (17)w(f1 , . . . , fn )(x) = f1 (x)............ (n−1)(n−1)(n−1) f1(x) f2(x) · · · fn(x) Ðàññìîòðèì îäíîðîäíîå ëèíåéíîå (îáûêíîâåííîå) äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïîðÿäêà n:an (x)f (n) (x) + an−1 (x)f (n−1) (x) + · · · + a1 (x)f ′ (x) + a0 (x)f (x) = 0Óòâåðæäåíèå.(18)Ïóñòü f1 (x), f2 (x), . . .

, fn (x) ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (18), èw(x) = w(f1 , . . . , fn )(x) èõ âðîíñêèàí. Òîãäà ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèåan (x)w′ (x) + an−1 (x)w(x) = 0.(19)Åñëè u1 (x) è u2 (x) ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Lu(x) = 0, ãäå L îïåðàòîðâèäà (1), è w(x) = w(u1 , u2 )(x) èõ âðîíñêèàí, òî (p(x)w(x))′ = 0.Ñëåäñòâèå.Äîêàæåì óòâåðæäåíèå äëÿ n = 2; â îáùåì ñëó÷àå äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî.Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ äåòåðìèíàíòà ñëåäóåò ïðàâèëî Ëåéáíèöà: a(x) b(x) ′ a′ (x) b′ (x) a(x) b(x) (20) c(x) d(x) = c(x) d(x) + c′ (x) d′ (x) ,ãäå a(x), b(x), c(x), d(x) ïðîèçâîëüíûå äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè. Ïðîèçâåäåìâû÷èñëåíèå: ′ u1 (x) u′2 (x) u1 (x) u2 (x) ′ + a2 (x) ′′a2 (x)w (x) = a2 (x) ′ u1 (x) u′′2 (x) =u1 (x) u′2 (x) u1 (x) u2 (x) u1 (x) u2 (x) − a0 (x) − a1 (x) ′ u1 (x) u2 (x) =u1 (x) u′2 (x) − a1 (x)w(x).Ýòî äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå.4.ÏðèìåðÍàéäåì ôóíêöèþ Ãðèíà äëÿ çàäà÷è1Lu(x) ≡ xu′′ (x) + u′ (x) − u(x) = 0,xu(1) = 0u(2) − u′ (2) = 0x ∈ (1, 2)(21)(22)(23)4Ñ.

Â. ÏÈÊÓËÈÍÇàïèøåì îïåðàòîð çàäà÷è (21) â ôîðìå (1):1Lu(x) = (xu′ (x))′ − u(x),(24)xòî åñòü, p(x) = −x, q(x) = − x1 . ×àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (24) áóäåì èñêàòü ââèäå u(x) = xm . Èìååì: m2 xm−1 − xm−1 = 0, îòêóäà m = ±1:u1 (x) = x1u2 (x) = .xÍàéäåì ðåøåíèå çàäà÷è (24), (22) â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè u1 (x) è u2 (x): ua (x) =c1 u1 (x) + c2 u2 (x), 0 = u(1) = c1 u1 (1) + c2 u2 (1) = c1 + c2 , ñëåäîâàòåëüíî1ua (x) = u1 (x) − u2 (x) = x − .xÀíàëîãè÷íî, íàõîäèì ub (x) = d(1 u1 (x) + d2)u2 (x),1130 = ub (2) − u′b (2) = (2 − 1)d1 +− (− ) d2 = d1 + d2 , îòêóäà2444ub (x) = 3x − .xÂû÷èñëèì îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî:4 13x−x− ua (x) ub (x) xx 2= ,w(x) = ′=ua (x) u′b (x) 4 x1 1+3+ 2 x2xîòêóäà k = p(x)w(x) = −2.

Äëÿ íàõîæäåíèÿ k äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü p(x)w(x)|x=1 : 0 −1 = −2.k = p(1)w(1) = −1 × 2 7 Òàêèì îáðàçîì, () ()14 x − x × 3y − y ,1G(x, y) =() ()214× 3x −, y−yxåñëè 1 < x ≤ y(25)åñëè y ≤ x < 2..

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
93,12 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее