Кратные и Криволинейные интегралы Соболев (549100)
Текст из файла
Московский государственный технический университетим. Н. Э. Баумана.Соболев С.К.Криволинейные интегралыУчебное пособиеМоскваМГТУ им. Баумана2008С.К.Соболев. Криволинейные интегралы2ВведениеСтудентам второго курса должно быть хорошо известно понятие отфункции f ( x ) на отрезке [a; b] , или, как еще говорят, по отрезку [a; b] ,bкоторый обозначается ∫ f ( x )dx . Студенты также должны хорошо помнитьaсвойства определенных интегралов, методы их вычисления, геометрическиеи физические приложения.Оказывается,можноинтегрировать функцию нетолькопопрямолинейному отрезку координатной оси, но и вдоль любой линии АВ наплоскости или в пространстве, которая может быть как прямолинейнымотрезком, так и произвольной кривой. Такие интегралы называютсякриволинейными, или просто линейными.
При этом вычислениекриволинейных интегралов сводится к вычислению определенныхинтегралов, а многие свойства и приложения криволинейных интегралованалогичны соответствующим свойствам определенных интегралов. Можносчитать, что криволинейный интеграл – это обобщение понятия обычногоопределенного интеграла. Криволинейный интеграл теснейшим образомсвязан с важнейшим понятием в физике: работа силового поля1 вдольнекоторого пути.В данном пособии даются все необходимые теоретические сведенияотносительно криволинейных интегралов, приведены их геометрические ифизические приложения, разобраны иллюстрирующие примеры. Подробноосвещается формула Грина и её применения.Данное учебное пособие может полезно всем студентам техническихВузов, обучающихся на втором и более старших курсах, особенно тем,которые хотят углубить свои знания по криволинейным интегралам, а такжемолодым преподавателям.1работа силового (векторного) поля F , затраченная на перемещение ∆ s = ∆ s – этопроизведение модуля силы, величины перемещения и косинуса угла ϕ между ними, т.е.
этоскалярное произведение вектора силы на вектор перемещения. ∆ A = F ⋅ ∆ s ⋅ cos ϕ = F i∆ s . Работапеременной силы по произвольному пути выражается интегралом.С.К.Соболев. Криволинейные интегралы3Изучая какое-нибудь понятие в математике,уясните для себя следующие четыре вещи: (1)что это такое (т.е. точное определение этогопонятия); (2) какими свойствами оно обладает;(3) как это находить (т.е.
каковы формулы дляего вычисления) и (4) зачем это надо, т.е.каковы его приложения.Автор – студентам1. Криволинейный интеграл первого рода1.1.Определение криволинейного интеграла первого рода.Пусть дана (неориентированная) линия L с концами точках А и В ифункция трех переменных f ( x, y , z ) = f ( M ) , определенная в каждойточке M = M ( x; y; z ) ∈ L . Разобьем линию L на п (на обязательно равных)частей точками A = C0 , C1 , C2 , ..., Cn −1 , Cn = B . Выберем на каждой дугеCk −1CkпроизвольнуюточкуВ = СпM k ( xk ; yk ; zk ) , обозначим через ∆lkMnСn – 1длину хорды2 Ck −1Ck , k = 1, 2, ..., n , и∆l nпусть λ ( P ) = max ∆lk– мелкость∆ln –1 Mn –11≤ k ≤nполученного разбиения Р линии L (см.Сn – 2Рис.1).MС2 3LСоставиминтегральнуюсуммуM2∆l3 С3nС1 ∆l2σ ( P) =f ( M ) ⋅∆l .f∆l 1defРис.1∑kkk =1Если существует конечный предел этихинтегральных сумм при стремленииА = С0мелкости разбиения к нулю, λ ( P ) → 0 ,не зависящий от способа разбиения линии L на п частей и выбора точекCk , то этот предел называется криволинейным (или просто линейным)интегралом первого рода от функции f ( x, y, z ) по линии L, иобозначается:M1nσ f ( P ) = lim ∑ f ( M k ) ∆lk 3∫ f ( x, y, z ) dl def= λ (limP ) →0λ ( P ) →0k =1L2В данном определении в качестве ∆ lk взять и длину дуги Ck −1Ck .3В никоторых книгах криволинейный интеграл первого рода обозначается∫ f ( x, y, z ) dsLС.К.Соболев.
Криволинейные интегралы4Теорема существования. Если линия L имеет кусочно-гладкуюпараметризацию4, а функция f ( x, y , z ) = f ( M ) непрерывна на ней, тосуществует криволинейный интеграл первого рода∫L f ( x, y, z ) dl .Замечание 1. Точно так же определяется криволинейный интеграл отфункции двух переменных f ( x, y ) по произвольной линии L,расположенной в плоскости XOY.
Он обозначается, естественно,∫L f ( x, y ) dl .nЗамечание 2. На языке ε − δ запись limλ ( P )→0∑ f ( M k )∆lk = Jозначаетk =1следующее:Для любого ε > 0 найдется δ (ε ) > 0 такое, что для любого n ∈N и всехразбиений Р линии L на п точек и выбора на полученных дугах точек M kn(1 ≤ k ≤ n ) из max ∆kk < δ следует1≤k ≤n∑ f ( M k )∆lk − J<ε .k =11.2. Свойства криволинейного интеграла первого рода.1) Аддитивность: если линия L есть объединение двух линий L1 и L2 ,имеющих, самое большее, конечное число общих точек, L = L1 ∪ L2 , то∫L1 ∪L2f ( x, y , z ) dl =∫ f ( x, y, z ) dl + L∫L1f ( x, y , z ) dl ;2(точнее, если существуют оба интеграла в правой части и тосуществует и интеграл в левой части и равен сумке двух первых).2) Линейность.
Для любых чисел α , β ∈ R и функций f ( x, y , z ) иg ( x, y , z ) справедливо равенство:∫L (α ⋅ f ( x, y, z ) + β ⋅ g ( x, y, z ) ) dl = α ⋅ L∫ f ( x, y, z ) dl + β ⋅ L∫ g ( x, y, z ) dl ;(точнее, если существуют оба интеграла в правой части, то существуети интеграл в левой части и равен выражению, стоящему в правойчасти).3) Переход к неравенству под знаком интеграла. Если линия L ифункции f ( x, y , z ) = f ( M ) и g ( x, y , z ) = g ( M ) таковы, что для всехточек M ( x; y; z ) ∈ L выполняется неравенство f ( M ) ≤ g ( M ) , то4Это значит, что линия L может быть задана параметрически функциямиx = x (t ), y = y (t ), z = z (t ) , которые непрерывны, а их производные кусочно-непрерывны наотрезке [α ; β ] .С.К.Соболев. Криволинейные интегралы5∫ f ( x, y, z ) dl ≤ L∫ g ( x, y, z ) dl ;L(при условии, что оба интеграла существуют).4) Интеграл от константы. Если линия L имеет длину L, то∫L C dl = C ⋅ L , в частности, L = L∫ dl .5) Теорема об оценке.
Если для всех точек M ( x; y; z ) ∈ L выполняетсянеравенство m1 ≤ f ( x, y , z ) ≤ m2 , а линия L имеет длину L товыполняется неравенство:m1 ⋅ L ≤ ∫ f ( x, y , z ) dl ≤ m2 ⋅ L .L(при условии, что данный криволинейный интеграл существует).6) Определение среднего значения функции. Средним значениемфункции f ( x, y , z ) = f ( M ) на линии L (имеющей длину L), называетсявеличина f L = 1 ∫ f ( x, y , z ) dl .def LL7) Теорема о среднем.
Если непрерывная линия L имеет длину L, афункция f ( x, y , z ) = f ( M ) непрерывна на L, то найдется точкаM 0 ∈ L , такая, что∫L f ( x, y, z ) dl = f ( M 0 ) ⋅ L ,или, что равносильноf L = f (M0 ) .1.3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.Формула для вычисления криволинейного интеграла по линии L зависит отспособа задания этой линии.1) линия L задана в пространстве (или на плоскости) параметрически:x = x (t ), L: y = y (t ) t ∈ [α ; β ] , тоz = z (t ) β222∫L f ( x, y, z ) dl = α∫ f ( x(t ), y(t ), z(t ) ) ⋅ ( x′(t ) ) + ( y ′(t ) ) + ( z′(t ) ) ⋅ dt .понятно, что на плоскости справедлива аналогичная формула:β22∫L f ( x, y ) dl = α∫ f ( x(t ), y (t ) ) ⋅ ( x′(t ) ) + ( y ′(t ) ) ⋅ dt .2) Линия L задана на плоскости XOY явно, т.е.
L: y = y ( x ), x ∈ [a; b] . Тогда:b∫ f ( x, y ) dl = ∫a f ( x, y ( x ) ) ⋅L.21 + ( y ′x ) ⋅ dx .С.К.Соболев. Криволинейные интегралы63) Линия L задана на плоскости в полярных координатах5:L : r = r (ϕ ), α ≤ ϕ ≤ βТогдаd∫L( )f ( x, y ) dl = ∫ f ( r (ϕ ) cos ϕ , r (ϕ )sin ϕ ) ⋅ r 2 + rϕ′2⋅ dϕcУпражнение 1. Напишите формулу для вычисления криволинейногоинтеграла первого рода по линии, заданной на плоскости XOY явно:L: x = x ( y ), y ∈ [c; d ] .1.4. Геометрические приложения криволинейного интегралапервого рода.1) Длина кривой L выражается формулой: L = ∫ dl .L62) Площадь цилиндрической поверхности σ с образующейпараллельной оси OZ и направляющей линией L и расположенноймежду плоскостью XOY и поверхностью z = f ( x, y ) (см.
рис.2),выражается формулой:(1)S (σ ) = ∫ f ( x, y ) dl .L3) Площадь поверхности вращения σ , полученной вращением плоскойкривой L вокруг оси, расположенной в той же плоскости XOY(см. рис. 3), равна:S (σ ) = 2π ∫ R ( x, y )dl ,(2)Lгде R( x, y ) – расстояние от произвольной точки M ( x; y ) кривой L дооси вращения.
В частности, если ось вращения совпадает с осью ОХ, тоR( x, y ) = y , а если ось вращения параллельна оси ОY и заданауравнением x = a , то R( x, y ) = x − a . В общем случае расстояние от5Полярная система координат на плоскости задаются началом отсчета точкой О, называемой полюсом(обычно совмещаемой с началом координат), и выходящей из неё лучом, называемой полярной осью(которая обычно совпадает с осью ОХ). Полярные координаты точки М – это пара чисел(ϕ ; r ) , где φ –ориентированный угол между полярной осью и вектором OM , а r = OM ≥ 0 – расстояние между точкамиМ и О (вместо латинской буквы r иногда используется греческая буква ρ).
Декартовы координаты M ( x; y ) иполярные координаты M (ϕ ; r ) связаны соотношениями: x = r ⋅ cos ϕ , y = r ⋅ sin ϕ , x 2 + y 2 = r 2 .6Цилиндрическая поверхность – поверхность, полученная поступательным движением в пространственекоторой прямой, пересекающей некоторую линию L, называемой направляющей цилиндрическойповерхности, и остающейся параллельной некоторой фиксированной прямой. Каждая из прямых,составляющих цилиндрическую поверхность, называется её образующей. Если поверхность задана впространстве уравнением с двумя переменными, то эта поверхность – цилиндрическая, образующая которойпараллельна оси, одноименной с отсутствующей переменной.С.К.Соболев. Криволинейные интегралыYZAz = f ( x, y )σ7MLBBR( x, y )YσLX0z =0Рис. 2Рис.
3XточкиM ( x; y ) до прямойax + by + cR( x, y ) =.a 2 + b2ax + by + c = 0выражается формулой1.5. Физические приложения криволинейного интеграла первого рода.1) Масса материальной линии. Пусть материальная (например,пространственная) линия L имеет в каждой своей точке M ( x, y, z ) ∈ Lлинейную плотность массы µ ( x, y, z ) . Тогда масса линии L равна:m(L ) = ∫ µ ( x, y, z ) dl .LТочно такая же формула для полного заряда Q, расположенного наматериальной (например, плоской) линии L, если известна линейнаяплотность зарядов q( x, y ) в каждой точке M ( x; y ) ∈ L :Q (L ) = ∫ q( x, y ) dl .L2) Координаты центра масс. Пусть материальная (например,пространственная) линия L имеет в каждой своей точке M ( x, y, z ) ∈ Lлинейную плотность массы µ ( x, y , z ) . Тогда центр масс C ( x0 ; y0 ; z0 )линии L имеет координаты:MyMxMzx0 =, y0 =, z0 =,,m (L )m(L )m (L )где m(L ) = ∫ µ ( x, y, z ) dl – масса этой линии, иLM x = ∫ x ⋅ µ ( x, y, z ) dl , M y = ∫ y ⋅ µ ( x, y, z ) dl , M z = ∫ z ⋅ µ ( x, y, z ) dl .LLLАналогично находятся координаты центра масс плоской линии.С.К.Соболев.
Криволинейные интегралы83) Определение. Центрóидом линии L (нематериальной, простогеометрической фигуры) называется центр масс этой линии с любойпостоянной плотностью (например, равной единице). Например, еслилиния L расположена в плоскости XOY, то её центроид C ( x0 ; y0 ) имееткоординаты:LyL,x0 = x , y0 =LLгде Lx = ∫ x dl , Ly = ∫ y dl и L = ∫ dl – длина кривой L.LLL74) Первая формула Гульдина . Площадь поверхности, полученнаявращением вокруг оси кривой, расположенной в плоскости осивращения по одну сторону от неё, равна произведению длины этойлинии на длину окружности, которую описывает при вращениицентроид этой линии, т.е.S = L ⋅ 2π R0 ,где L – длина линии, R0 – расстояние от центрóида линии до осивращения.Упражнение 2. Не выполняя интегрирования, найдите с помощью первойформулы Гульдина расстояние от центроида полуокружности радиуса R допрямой, проходящей через её концы.5) Момент инерции.
Пусть материальная (например, пространственная)линия L имеет в каждой своей точке M ( x, y, z ) ∈ L линейнуюплотность массы µ ( x, y , z ) . Тогда момент инерции линии Lотносительно некоторой оси s равенI s = ∫ R 2 ( x, y, z ) ⋅ µ ( x, y, z ) dlLгде R( x, y , z ) расстояние от точки M ( x, y , z ) ∈ L до оси s. Например,если s есть ось ОХ, то R 2 ( x, y, z ) = y 2 + z 2 .6) Ньютонов (гравитационный или электрический) потенциалматериальной линии L в данной точке M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , расположеннойвне этой кривой L, имеющей линейную плотность (массы илисоответственно заряда) µ ( x, y, z ) :µ ( x, y , z )U (M0 ) = ∫dl ,(3)R( x, y , z )L7Гульдин Пауль (1577–1643) – швейцарский математик. Написал работу о центрах тяжести тел, в которойтакже трактуются вопросы о поверхностях и объёмах тел. С его именем связан ряд теорем для определенияобъёмов и поверхностей тел вращения.С.К.Соболев.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
