Главная » Просмотр файлов » Лекция на тему рекурсивных функций от Шамаля

Лекция на тему рекурсивных функций от Шамаля (547779)

Файл №547779 Лекция на тему рекурсивных функций от Шамаля (Лекция на тему рекурсивных функций от Шамаля)Лекция на тему рекурсивных функций от Шамаля (547779)2015-08-23СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ

Рекурсивной функцией (РФ) принято называть вычислимую функцию, аргументы и значения которой суть натуральные числа из . Вычислимость понимается интуитивно как существование эффективных правил вычисления значения функции по заданным значениям аргументов из области ее определения. Теории рекурсивных функций были одними из первых формальных уточнений понятия вычислимости. Попытки построения формальных теорий, описывающих подкласс общерекурсивных функций - всюду определенных рекурсивных функций, были обречены на неудачу, так как множество всех ОРФ не является рекурсивно-перечислимым.

Для доказательства этого (от противного) используется диагональный метод Кантора. Действительно, предположим, что множество всех ОРФ является рекурсивно-перечислимым. Иными словами, существует вычислимая, всюду определенная на натуральных числах «нумерующая» функция , областью значений которой является множество . Определим функцию . Очевидно, что функция при сделанном допущении является общерекурсивной, т.е. вычислимой и всюду определенной на натуральных числах. Так как , то существует такое число , что . Рассмотрим значение . С одной стороны, согласно последнему утверждению, . С другой стороны, по определению функции , . Так как речь идет об одном и том же конкретном натуральном числе, получим противоречие, опровергающее исходное предположение о том, что множество всех ПРФ является рекурсивно-перечислимым.

Отсюда следует, что множество ОРФ не может быть определено дедуктивной формальной теорией, множество теорем которой всегда рекурсивно-перечислимо. В то же время, множество всех рекурсивных функций, в том числе и не всюду определенных, согласно тезису А.Черча1, допускает подобную формализацию, известную как теория частично-рекурсивных функций (ЧРФ). Элементы этой теории (теоремы) называются схемами ЧРФ. Аксиомами являются атомарные схемы, интерпретируемые как всюду определенные «базисные» рекурсивные функции. Простейшие правила вывода интерпретируются как способы композиции ЧРФ. Известно несколько равносильных вариантов уточнения этой теории, отличающихся выбором набора базисных функций и деталями определения способов их композиции.

  1. Базисные функции:

, где

Способы композиции:

примитивная рекурсия

;

суперпозиция

;

оператор минимизации ( -оператор)

.

  1. Базисные функции:

, где

Способы композиции:

введение фиктивного аргумента справа

,

введение фиктивного аргумента слева

,

примитивная рекурсия

;

суперпозиция

;

оператор минимизации ( -оператор)

.

Нумерация чрф.

Принципы нумерации рекурсивно определенных конструктивных множеств описаны в соответствующем разделе пособия.

Пусть « » обозначает номер чрф среди всех чрф арности . Определение этих номеров распадается на три случая: , и .

:

« » ,

« » « » « » « » ,

« » « » .

:

« » ,

« » ,

« » ,

« » « » « » « » ,

« » « » ;

« » « » « » .

Для любых :

« » ,

« » , ,

« » « » « » « » ,

« » « » ;

« » « » « » .

Универсальная функция :

« » , где « » - номер чрф среди всех чрф арности .

Пусть универсальная функция реализуется универсальным вычислителем с нижеследующим алгоритмическим описанием:

Здесь - некоторые прф. Тогда функция может быть описана как чрф:

, где , то есть .

Действительно, , где наименьшее , такое, что .

ТЕОРИЯ УНАРНЫХ ЧРФ

Все учрф интерпретируются как частичные вычислимые функции одного аргумента.

Базисные учрф:

, интерпретируемые как всюду определенные функции:

где - произвольная функция нумерации упорядоченных пар натуральных чисел, монотонно возрастающая по обоим аргументам, т.е. (очевидно, что ).

Способы композиции:

композиция

;

суперпозиция

();

-оператор

;

оператор примитивной рекурсии .

Определения:

(легко вывести, что ).

, т.е.

(расстановка скобок в сложной композиции).

(легко вывести, что ,если - определено).

Приоритет операции ниже, чем приоритет операции .

(как показано далее, оператор суперпозиции является ассоциативным, и, следовательно, расстановка скобок в сложной суперпозиции не играет роли).

( - всюду не определенная функция).

( ).

( ).

( , ).

( , т.е. ).

( , т.е. если , то , иначе ).

Пусть для любой строго монотонной ОРФ обратная функция определяется так: .

Тогда , где , то есть

(заметим, что ).

Для любой функции определим «итерированную» функцию , такую, что :

.

, где (заметим,что - функция упорядоченной пары натуральных чисел диагональным методом нумерации, т.е.

, а значение есть количество элементов в таблице значений функции , находящихся левее и выше диагонали с номером ).

.

.

Очевидно, что .

Эквивалентность учрф.

Пусть - метапеременные, множество значений которых составляют произвольные учрф.

Аксиома 1: .

Аксиома 2:

Аксиома 3:

Аксиома 4:

Аксиома 5:

Аксиома 6:

Аксиома 7:

Аксиома 8: .

Аксиома 9: .

Теорема 1: .

Аксиома 10: .

Аксиома 11: .

Аксиома 12: .

Теорема 2: .

Доказательство:

Аксиома 13: .

Аксиома 14: .

Аксиома 15: .

Теорема 3: .

Теорема 4: .

Теорема 5: .

Нумерация учрф.

Пусть « » обозначает номер учрф . Тогда

« » ,

« » ,

« » ,

« » ,

« » « » « » ,

« » « » « » ,

« » « » « » ,

« » « ».

Универсальная учрф:

« » , если не определено, то и « » не определено.

Функция реализуется универсальным вычислителем с тем же алгоритмическим описанием, что и одноименная функция в классической теории чрф.

Здесь - некоторые упрф. Тогда функция может быть описана как учрф:

, где , то есть .

Действительно, , где наименьшее , такое, что .

1 Алонцо Черч (1903 г.р.) - один из наиболее выдающихся математиков ХХ века - специалистов в области оснований математики и математической логики.

7


Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
417 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6358
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее