ziv-geometria-gdz-11g (546205), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Дано: ∆ABC, AC = CB = 25, AB = 48, l⊥ AB, B ∈ l, l — ось вращения.Найти Vт. вр..Решение:AB + BC + AC= 49.p(ABC) =2Ответ:ICK25A25HB48S(ABC) = 49(49 − 25) (49 − 48) = 7 ⋅ 242=1AB ⋅ CH22 S 7 ⋅ 48= 7.=AB48CH[AB2 + CK2 – CK2 + AB ⋅ CK] =Vт. вр. = π3π⋅77π=[482 + 242 – 242 + 48⋅24] =[48[24 + 48]] = 7π⋅16⋅72 = 8064π.33Ответ: 8064π.⇒ CH =С—191. Дано: шаровой сегмент и конус, высота сегмента H = 1, Vконуса = 12π.Найти Vсектора.Решение:1Vконуса = πr2hкон.; hкон. + H = R; Vсегмента =32⎛ H ⎞πH ⎜ − ⎟ , но r2 + h2 = R2, H + h = R, r2 = R2 – (R –⎝ 3⎠2H)2, h = R – H; Vсектора = πR2H.3π 2⇒ Vконуса = (R – (R – H)2)(R – H) = 12π;3HhrR61(R2 – R2 + 2RH – H2)(R – H) = 36;(2R – 1)(R – 1) = 36; 2R2 – 3R + 1 = 36;2R2 – 3R – 35 = 0; D = 9 + 8 ⋅ 35 = 289;3 ± 177R=; R1 = 5, R2 = − — невозможно ⇒ R = 5.422 2250π.⇒ Vсектора = πR H = ⋅ π ⋅ 25 ⋅ 1 =33350π.Ответ:32. Дано: Vконуса = 128π, H = 6.
Около конуса описан шар.Найти Vшара.Решение:1Vконуса = π ⋅ H ⋅ r2 = 2πr2 = 128π ⇒ r2 = 64, r = 8.3Вокруг осевого сечения конуса описан большой круг шара.Sос. сеч. = rH = 48, образующая L = H 2 + r 2 = 10.L2 ⋅ 2r 100 ⋅ 16 100 25==.R==4S1234 ⋅ 4844 ⋅ 5π ⋅ 625 62500πVшара = πR3 ==.3818162500π.Ответ:81ДС1. Дано: плоскость α: x – 2y + 2z – 9 = 0,сфера: (x – 3)2 + (y – 2)2 + (z + 4)2 = 36.Доказать, что α касается сферы.Доказательство:GGn (1, –2, 2) ⊥ α; | n | = 1 + 4 + 4 = 3.JJJGGОпустим из центра O(3, 2, –4) перпендикуляр ON на α. ON = k n .⎧⎪ x0 = k + 3⎪⎧ x0 − 3 = k⎨ y0 − 2 = −2k ; ⎨ y0 = 2 − 2k .⎪⎩ z0 = 2k − 4⎪⎩ z0 + 4 = 2kN(x0, y0, z0) ∈ α: (k + 3) – 2(2 – 2k) + 2(2k – 4) – 9 = 0.9k – 9 – 9 = 0, k = 2.JJJGJJJGJJJGON (2, –4, 4), | ON | = 6 ⇒ ON — радиус, проведенный в точку касания⇒ α касается сферы.2.
Дано: E(–1, 2, 0), F(1, 0, –2), E, F ∈ α, α || Ox.Найти уравнение α.Решение:JJJG GВозьмем точку G(x0, y0, z0) такую, что EG = i (1, 0, 0)62⎧⎪ x0 + 1 = 1 ⎧⎪ x0 = 0⎨ y0 − 2 = 0 ; ⎨ y0 = 2 ; G(0, 2, 0).⎪⎩ z0 = 0⎪⎩ z0 = 0Уравнение α: Px + Qy + Rz + S = 0⎧⎪P = 0E ∈ α : ⎧⎪− P + 2Q + S = 0 ⎪SF ∈ α : ⎨ P − 2R + S = 0 ; ⎨ R =2G ∈ α : ⎪⎩2Q + S = 0⎪⎪Q = − S2⎩y z⇒ Уравнение плоскости α: − − 1 = 0 или y – z – 2 = 0.2 2Ответ: y – z – 2 = 0.63Вариант 5С—11.
Дано: тетраэдр DABC, AB = AC = 25,BO = OC, BC = 30, OR ∈ (ABC), OR ⊥ AC,∠ORD = 45°, OK — перпендикуляр к ACD.Найти: координаты вершин DABC, коорJJJGJJJGG G Gдинаты OK , разложить OK по i , j , k .Решение:1) CO = BO = 15. ∆ORC, ∆AOC — прямоугольные и подобные (по двум углам). AOzBKAyOR= AC 2 − CO 2 = 625 − 225 = 20.CAO ACИзподобия;OR=OR COxAO ⋅ CO 20 ⋅ 15= 12.==AC25∆ROD — прямоугольный, равнобедренный (∠R = ∠D = 45°) ⇒ DO = 12.Значит, координаты вершин C(15, 0, 0), B(–15, 0, 0), A(0, –20, 0), D(0, 0,z12).2) Перпендикуляр OK лежит в плоскостиROD.
Т.к. ∆ROD — равнобедренный, то OK —высота, биссектриса и медиана.OK = sin45° ⋅ RO = 12 ⋅2=6 2 .2Проекция KO на (yOx) K1O равна KO ⋅6.z1K2=2∆K1Ox1 — прямоугольный, подобен ∆CRO.34sin∠K1Ox1 = ; cos∠K1Ox1 = .55K1RCx4 24=.5 53 18Проекция K1O на Oy: y1O = K1O ⋅ sin∠K1Ox1 = 6 ⋅ = .5 5Проекция OK на Oz: Oz1 = OK ⋅ sin45° = 6.⎛ 24 18 ⎞Координаты K ⎜ , − , 6 ⎟ .5 ⎠⎝ 5JJJGGGGOK = 4, 8i − 3, 6 j + 6k .GGG2. Дано: a {2, –1, 3}, b {1, 3, –2}, c {m, 2, 1}.При каком значении m векторы компланарны.Проекция K1O на Ox: Ox1 = K1O ⋅ cos ∠K1Ox1 = 6 ⋅64yy1ABOx1Решение:GGGУсловие компланарности запишем в следующем виде: c = xa + yb .⎧⎪m = 2 x + y ⎧⎪ x = 3 y − 2⎨2 = − x + 3 y ; ⎨1 = 9 y − 6 − 2 y ;⎪⎩1 = 3x − 2 y ⎪⎩m = 2 x + yОтвет: при m = 3.⎧⎪ x = 1⎨y =1 .⎪⎩m = 3С—21.
Дано: ABCDA1B1C1D1 — праyB1C1вильная призма, AB = 2, AA1 = 4, E ∈DC, DE = EC, K ∈ CC1, CK = C1K, DKKx∩ D1C = P.A1D1Найти: расстояние |MP|.PBCРешение:Докажем, что P ∈ C1E.EВ плоскости DD1C1C введем сис- zDAтему координат Oxyz так, что DC ∈ Dx,DA ∈ Dz, DD1 ∈ Dy. Тогда уравнение прямых DK и D1C запишется в виде y= x, z = 0 и y = –2x + 4, z = 0, их общая точка P x =44, y = , z = 0 принад33лежит уравнению y = 4x – 4, z = 0 прямой C1E.Вычислим длины отрезков C1D, C1E.⎛4 4 ⎞Даны координаты точек E(1, 0, 0), C1(2, 4, 0), P ⎜ , , 0 ⎟ .⎝3 3 ⎠224⎞ ⎛4⎞4 64 2⎛+=C1P = ⎜ 2 − ⎟ + ⎜ 4 − ⎟ =17 .3⎠ ⎝3⎠9 93⎝C1E = (2 − 1) 2 + (4) 2 = 17 .⎛3⎞Координаты точки M ⎜ , 2,1⎟ .⎝2⎠221 453⎛4 3⎞ ⎛4⎞Длина |PM| = ⎜ − ⎟ + ⎜ − 2 ⎟ + 12 =.+ +1 =36 96⎝3 2⎠ ⎝3⎠Ответ:53.62.
Дано: A(–1, 2, 1), B(2, 1, –1), M ∈ AB, AM = 3 14 .Найти: координаты точки M.Решение:65GНаправляющий вектор прямой AB a = (3, –1, –2). Единичный направG ⎛ 312 ⎞ляющий вектор τ = ⎜,−,−⎟ . А ответ неоднозначен: отрезок1414 ⎠⎝ 14длины 3 14 можно отложить в обе стороны от A:1) M(–1 + 9, 2 – 3, 1 – 6) = M1(8, –1, –5)2) M(–1 – 9, 2 + 3, 1 + 6) = M2(–10, 5, 7)С—3GGG1.Дано: вектор a образует с i угол 120°, и с k угол 135°.GGНайти: угол между a и j .Решение:GG GGПусть a = xi + yj + zk , тоG GG∧ G1) (a , i ) = x = |a|cos (a , i )G GGG∧ G2) (a , j ) = y = | a |cos (a , j )∧G GG G3) (a , k ) = z = |a|cos (a , k )Но |a|2 = x2 + y2 + z2, а сложив 1)—3), возведенные в квадраты, получим:∧G GG∧ GG∧ Gx2 + y2 + z2 = |a|2[cos2 (a , i ) + cos2 (a , j ) + cos2 (a , k ) ].∧G GG∧ GG∧ G1 1 1Имеем cos2 (a , j ) = 1 – cos2 (a , i ) – cos2 (a , k ) = 1 – − = .4 2 4G∧ G(a , j ) = 60°, 120°.Ответ: 60°, 120°.BC2.
Дано: ABCDA1B1C1D1 — куб, M — сереzдина грани AA1B1B, K ∈ AD, AK = AD, AB = 1.Найти: S(MC1K).ADРешение:MВведем прямоугольную систему координат,y⎛1⎞CBкак показано на рисунке. Тогда K ⎜ , 0, 0 ⎟ ,⎝2⎠AKDx⎛ 1 1⎞M ⎜ 0, , ⎟ , C1(1, 1, 1).⎝ 2 2⎠11111 1 13131 16+ + =+ 1 + 1 = ; MC1 = 1 + + =; KC1 =.4 4 42424 42∆MC1K — прямоугольный: KC12 = MC12 + KM2.11 3 6 3 2Значит, S(MC1K) = MK ⋅ MC1 = ⋅⋅=.22 2 28KM =66Ответ:3 2.8С—41. Дано: ABCA1B1C1 — прямая призма, AB = BAC, BD ⊥ AC, BD = AC = 4, BB1 = 2, M ∈ B1C, B1M= MC.
Плоскость α ⊥ B1C, M ∈ α.AНайти: угол между α и B1A.Решение:Введем систему координат Dxyz, как показано Bна рисунке.Координаты точек A(0, –2, 0), B1(–4, 0, 2), B(–4,JJJGA0, 0), C(0, 2, 0), C1(0, 2, 2), векторов AB1 (–4, 2, 2),JJJGJJJJGCB (–4, –2, 0), CC1 (0, 0, 2), CB1 (–4, –2, 2), MB1 (–2, –1, 1).zC11M1yCDxТ.к. угол ϕ между плоскостью α и прямой AB1 равен 90° вычесть уголJJJJGмежду перпендикуляром MB1 и прямой AB1.JJJG∧JJJJGJJJG JJJJGJJJGJJJJG( AB1 ⋅ MB1 ) = | AB1 | ⋅ | MB1 | ⋅ cos ( AB1 MB1 )JJJG∧JJJJG(–4) ⋅ (–2) + 2 ⋅ (–1) + 2 ⋅ 1 = 2 6 ⋅ 6 cos ( AB1 MB1 )JJJG∧JJJJG8 2cos ( AB1 MB1 ) = = .12 322Значит, sinϕ = ; ϕ = arcsin ≈ 41°49′.332. Дано: ABCD — тетраэдр, BD = BC = BA.A∠ABD = ∠ABC = 60°, ∠CBD = 90°.Доказать: (DAC) ⊥ (DBC).Доказательство:BDПусть E — середина DC.JJJG JJJG JJG 1 JJJG 1 JJJG JJGAE = BE − BA = BD + BC − BAE22JJJG JJJG 1 JJJG JJJG 1 JJJGJJG JJJG( AE , BC ) = ( BD, BC ) + | BC |2 −( BA, BC ) =C22JJJG 11 JJJG0 + | BC |2 − | BC |2 ⋅ =022JJJG JJJG 1 JJJG JJJG 1 JJJG JJJGJJG JJJG 1 JJJGJJJG 1( AE , BD) = ( BD, BD ) + ( BC , BD) − ( BA, BD) = | BD |2 − | BD |2 ⋅ =02222AE ⊥ BC, BD, AE ∈ CAD ⇒ (CAD) ⊥ (BCD).С—5671.Дано: прямая, содержит биссектрису углаzxOy, A(10, 20, 0), AA1 ∩ a = M, AM = AM1.Найти: координаты A1.Решение:Пусть направляющий вектор прямой AA1GxOесть вектор n (x, y), он перпендикулярен направляющему вектору τ(1, 1) прямой a.
Значит,Gn (1, –1). Уравнение прямой AA1 есть (x – 10) +a(y – 20) = 0, z = 0yy = –x + 30Прямая AA1 пересекает прямую a в точке⎧⎪ x = y⎧⎪ y = 15⎧⎪ x = y⎨ y = − x + 30 , ⎨ x = − x + 30 , ⎨ x = 15 M(15, 15, 0).⎪⎩ z = 0⎪⎩ z = 0⎪⎩ z = 0JJJGJJJGAM = (5, –5, 0) = MA1 ⇒ A1(20, 10, 0).2. Дано: (x, y, z) переходит в (2x, 2y, 2z).Определить, является ли это отображение движением.Решение:При данном отображении произвольные точки A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2)переходят в точки A1(2x1, 2y1, 2z1) и B2(2x2, 2y2, 2z2), но AB ≠ A1B1 ⇒ этоотображение не является движением.С—6D1. Дано: DABC — правильный тетраэдр,N ∈ AD, AN = ND, M ∈ CB, CM = MB.NДоказать: MN — ось симметрии DABC.Доказательство:При симметрии относительно MN C → ABB, B → C и A → B, B → A (т.к.
∆AMD —равнобедренный, MN — высота, биссекMтриса и медиана) ⇒ MN — ось симметрии.2. Дано: через MN проведена плоскостьα.CДоказать, что α делит DABC на две равные части.Доказательство:Каждой точке тетраэдра, лежащей по одну сторону α, соответствуетасимметричная ей, лежащая по другую сторону. Следовательно, части тетраэдра, лежащей по одну сторону от α, соответствует равная ей часть, лежащая по другую сторону.BС-71.
Дано: цилиндр, высота MN равна a, ABCD —прямоугольник, AD = a, угол между AB и основанием равен 60°.Найти: площадь осевого сечения.MPCO68AKDNРешение:Проведем среднюю линию KP ∩ MN = O. ∆ONK — прямоугольный, ON1 a3aa⋅ =.= , ∠OKN = 60° ⇒ KN = ON ⋅ ctg∠OKN =623 2В равнобедренном ∆AND AD = a, NK =a 3⇒6a2 a22aa 3+=== R.34 12 2 3Площадь осевого сечения 2R ⋅ MN2a 32a 2 3⋅a =.=332. Дано: DABC — правильная призма,все ребра равны a, DA, DB, DC — оси цилиндрических поверхностей радиуса a.Найти: площадь поверхности тела, ограниченного цилиндрическими поверхностями и плоскостями оснований призмы.Решение: Боковая поверхность состоитиз трех частей, которые вместе составляютполовину площади боковой поверхностицилиндра с высотой а и радиусом основания а.1S = ⋅ (2π ⋅ a ⋅ a) = πa 2 .2Ответ: πa 2 .⇒ ND =BACС—8O1.
Дано: конус, центральный угол в разверткебоковой поверхности равен 270°. Через вершинупроведено сечение наибольшей площади.Найти: угол между сечением и основанием.Решение:Т.к. α — центральный угол развертки, то αAR2π ⋅ 3 R 3= ⋅ 2π == .,HLL 44DНаибольшее сечение — треугольник с угломBмежду образующими, синус которого наибольший, т.е. равен 90°. Значит, угол AOB равен 90°. Гипотенуза AB = 2 L. Вы-2L.2А из прямоугольного ∆OHB:сота ∆AOB OD =699 27.L =L164Окончательно имеем из ∆OHD (синус искомого угла)OH7 ⋅21414sin(∠ODH) ===.; ∠ODH = arcsin4OD44 22.
Дано: конус, OH — высота, H1 ∈ OH, OH1 =OH1H, α || основанию, H1 ∈ α. Отношение полныхповерхностей образовавшихся фигур равно 3 : 1.Найти: ∠OAH.Решение:A1B1Обозначим усеченный конус цифрой II, а верхH1ний конус цифрой I.L RSбок. конуса = πL ⋅ R; Sбок. I = π ⋅2 2ππAHSконуса = πLR + πR2; SI = hL + R 2 , где R, L —44образующая и высота цилиндра.ππLR π 2 3πLR 5 2SII = Sконуса – Sбок. I + R2 = πLR + πR2 –+ πR .+ R =44444RПричем cos ∠OAH = .Lπ 2π35Тогда SI = R cosα + R2, SII = πR2cosα + πR2.4444π 2π 2R cosα + R cos αcosα + 133SI4== 4= ;S II 3 πR 2cosα + 5 πR 2 cos α 11 3 + 5cos α 1144111cosα + 11 = 9 + 15cosα; cos α = ; . ∠OAH = α = 60º.2Ответ: 60º.OH = OB 2 − HB 2 = L2 − R 2 = L2 −С—91.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
