ziv-geometria-gdz-11g (546205), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Дано: ABCDEFA1B1C1D1E1F1 — правильная призма, S(AA1B1B) = Q,V 1сечение проходит через AA1, 1 = .V2 3C1B1A1F1BME1C KAFD1DEНайти: Sсеч..Решение:Секущая плоскость проходит между C1 и D1 (или D1 и E1). Объемы относятся как площади частей основания. Пусть A1B1 = a, тогдаa2 3C M ⋅a 3S1 = S(A1B1C1) + S(A1C1E) =+ a2 3 − 142⇒ 3S1 = S2.3a 2 3 3C1M ⋅ a 3 5 2C M ⋅a 3+= a 3− 14242aa2C1M = ⇒ C1M = .24146Из прямоугольного ∆A1C1M, где C1M =A1M = C1M 2 + A1C12 =a, A1C1 = a 3 ,4a27+ 3a 2 = a164S ( AA1MK ) A1M 77== ⇒ S(AA1MK) = Q .4S ( ABB1 A1 ) A1B1 42.
Дано: цилиндр, ABCD — осевое сечение, II цилиндр, AB — диаметр.VBНайти: 1 .V2Решение:AB 2 πAB 3=.V1 = AD ⋅π ⋅44OAC2AO=AB,аРадиус II цилиндра2высота равна AB.πBA3V2 = π ⋅ AO2 ⋅ AB =.2DV1 1= .V2 2С—151. Дано: ABCA1B1C1 — наклоннаяпризма, AB = 50, AC = 40, ∠BAC =60°, AA1 = 25, A1E ⊥ AC, A1E = 7, A1F⊥ AB = A1F = 20.Найти: Vпризмы.Решение:Опустим перпендикуляры A1P ⊥C1C, A1M ⊥ B1B.S(AA1C1C) = A1E ⋅ AC = C1C ⋅ A1P⇒A E ⋅ AC 7 ⋅ 40 56==A1P = 1255CC1A1M =NA1B1C1FAEPKMBÑAB ⋅ A1F 50 ⋅ 20== 4025B1BA1PM — перпендикулярное сечение, C1N || PM, C1N ⊥ BB1.Из ∆A1C1B1:C1B12 = A1C12 + A1B12 – 2A1C1 ⋅ A1B1 ⋅ cos60°C1B12 = 1600 + 2500 – 4000cos60°147C1B12 = 4100 – 4000 ⋅12C1B12 = 2100; C1B1 = 10 21 .Из ∆A1PC1:PC1 = A1C12 − A1P 2 = 1600 −3136 192.=525Из ∆A1MB1:MB1 = A1B12 − A1M 2 = 2500 − 1600 = 30.Из прямоугольной трапеции PC1B1M:19242B1N = PC1 – MB1 =– 30 =.55Из прямоугольного ∆C1NB1 ∠C1NB1 = 90°252500 − 176450736⎛ 42 ⎞C1N = C1B12 − B1 N 2 = 2100 − ⎜ ⎟ ===2525⎝ 5 ⎠44=3 ⋅ 1057 =3 ⋅ 7 ⋅ 151 = PM.55564+ 40 +3 ⋅ 7 ⋅ 151A1P + A1M + PM55P(A1PM) ===22128 2=+3 ⋅ 7 ⋅ 151 .55⎛ 128 2⎞⎛ 128 2⎞3 ⋅ 7 ⋅ 151 ⎟⎜3 ⋅ 7 ⋅ 151 ⎟ ⋅+−S(A1PM) = ⎜55⎝ 5⎠⎝ 5⎠72 ⎞⎛ 72 2⎞⎛ 23 ⋅ 7 ⋅ 151 ⎟⎜3 ⋅ 7 ⋅ 151 − ⎟ =⋅ ⎜ +5 ⎠⎝ 5 5⎠⎝ 54=(642 − 3 ⋅ 7 ⋅ 151)(3 ⋅ 7 ⋅ 151 − 362 ) =2544=(4096 − 3171)(3171 − 1296) =925 ⋅ 1875 =25254=25 ⋅ 37 ⋅ 25 ⋅ 25 ⋅ 3 = 4 ⋅ 5 11125⇒ V = S(A1PM) ⋅ AA1 = 4 ⋅ 5 111 ⋅ 25 = 500 111 .2.
Дано: ABCDA1B1C1D1 — наклонный параллелепипед, ∠A1AB =∠A1AD < 90°, ABCD — квадрат, AB =A1a, AA1 = a, E ∈ AA1, BE ⊥ AA1, ∠BED= 120°.EBНайти: V(ABCDA1B1C1D1).148B1D1CKAC1DРешение:Из ∆BED: BE = ED =Высота EK =BD 23 a 6.= BD ⋅=2(1 − cos120°)331a 6ED =261a 2 a 6 a2 3BD ⋅ EK =⋅=.2266∆EBD — половина перпендикулярного сеченияa 2 3 a3 3⇒ V = AA1 ⋅ 2S(EBD) = a ⋅=.33⇒ S(EBD) =С—161. Дано: MABC — тетраэдр, AB = BC =AC = 3 , MA = 6, S(MAB) = S(MBC) =S(MAC).Найти: V(MABC).Решение:Высоты боковых граней равны ⇒вершина M равноудалена от прямых, содержащих стороны. Возможны три случая:1) H — основание высоты — центрописанной окружности.3AH = AB ⋅= 1. Из ∆AHM:2MH = AM 2 − AH 2 = 36 − 1 = 35 .1V(MABC) = S(ABC) ⋅ ⋅ MH331105=⋅ 3 ⋅ ⋅ 35 =.4342) H — центр внеописанной окружности.H лежит на биссектрисе AK.3 3KH = HE = HF = r; AK = AB= ;2 23AH = AK + KH = + r.23+rAH 21.Из ∆AHE:==2=sin 30°HErMBAHCMBAFKCHEMA JBLCHG14933+ r = 2r; r = ⇒ AH = 3.22Из ∆AHM: HM = AM 2 − AH 2 = 3 3 .13 3 19V = ⋅ MH ⋅ S(ABC) =⋅ ⋅3 3 = .34 343) H — центр внеописанной окружности, H ∈ биссектрисе BL.3LH = HJ = GH = (по предыдущему случаю).2Из ∆AJH = ∆ALH по гипотенузе и катету ⇒ LA = AJ =⇒ AH = AJ 2 + JH 2 =323 9+ = 34 4⇒ из ∆AHM MH = AM 2 − AH 2 = 36 − 3 = 331313 11⇒ V(MABC) = S(ABC) ⋅ ⋅ MH =⋅ 3 ⋅ ⋅ 33 =43432.Дано: MABC — пирамида, MA = 4, MB = 6, MC = 5, A1 ∈ MA, MA1 = 1,B1 ∈ MB, MB1 = 3, C1 ∈ MC, MC1 = 2, плоскость A1B1C1 — секущая.AA1O1MC1B1BO2CVНайти: 1 .V2Решение:В пирамиде A1MC1B1: S(MC1B1) =1MC1 ⋅ MB1 ⋅ sinα, α = ∠BMC, AO1 =2MA1 ⋅ sinϕ, ϕ = ∠A1MO1MC1 ⋅ MB1 ⋅ MA1 ⋅ sin α sin ϕV1 = S(MC1B1) = AO1 ⋅ S(MC1B1) =.36MC ⋅ MB ⋅ MA ⋅ sin α sin ϕАналогично V =6V1 MA1 ⋅ MB1 ⋅ MC1 1 ⋅ 3 ⋅ 21==.=4 ⋅ 6 ⋅ 5 20MA ⋅ MB ⋅ MCV150С—171.
Дано: конус, MH — высота, ∆MAB — сечение, S(MAB) — наибольшаяиз таких сечений, HE ⊥ AB, ∠MEH =Marctg2, MH = H.Найти: объем большей части конуса.Решение:Т.к. S — наибольшая, то ∠AMB = 90°.MH= tg∠MEH = 2 ⇒Из ∆MHE:HEBHE =HH 5; ME = MH 2 + HE 2 =.22В ∆AMB: AE = EB = ME =Из ∆HEA:HE 2 + EA2 =EHAH 5.2H 2 5H 2 H 6=+= AH = R ⇒ .442⇒ Из ∆AHB, где AB = 2EA = H 5 ,AB2 = 2AH2(1 – cos∠AHB); 5H2 = 6H2(1 – cos∠AHB)1351⇒ cos∠AHB = ⇒ sin∠AHB =; ∠AHB = arccos .6662π−∠AHB1⎛⎞2Sнаиб. сегм. = HA2 ⎜⎟ + HA ⋅ sin∠AHB.2⎝⎠ 21⎛⎞arccos2∠AHB 135 ⎟⎛⎞ H ⋅3⎜6+S = HA ⎜ π −+ ⋅ sin ∠AHB ⎟ =⎜π−⎟.222 ⎜212 ⎟⎝⎠⎜⎟⎝⎠21⎛⎞arccos35 ⎟1H3 ⎜6V= H⋅S=+⎜π −⎟.32 ⎜212 ⎟⎜⎟⎝⎠2.
Дано: MABCD — пирамида,ABCD — прямоугольник, AB = 12, AD= 4, AM = MB = MC = MD = 10, ∆ABMвписан в окружность — основаниеконуса, образующая конуса лежит наME, ME ⊥ DC.Найти: Vконуса.Решение:MBKS(ABM) = 16(16 − 10) 2 (16 − 12) = 2 ⋅4 ⋅ 6 = 48ACHED151AM ⋅ MB ⋅ AB 100 ⋅ 12 100 25===4S4 ⋅ 481642 S 96= 8.ME ==AB 12Проведем MK ⊥ AB; MK = ME = 8, KE = 4.Из ∆MKE: KE2 = 2MK2(1 – cos∠KME);716 = 128(1 – cos∠KME); cos∠KME =8R=⇒ sin∠KME =64 − 491515; tg∠KME =.=6487Высота конуса равна h = R ⋅ tg∠KME =⇒ Vконуса =25 15⋅47ππ 25 15 625 15625π 15⋅ h ⋅ R2 = ⋅⋅⋅=.1633 413447С—18A1B1 1= ,AB 2OO1 — ось, EF — средняя линия DD1C1C, α — секущая плоскость, O ∈ α,FK ∈ α.B1C1O1A1D11.
Дано: ABCDA1B1C1D1 — правильная усеченная пирамида,BAHMFODCTV1.V2Решение:Найти:Пусть высота пирамиды O1O = 2h, A1B1 = a ⇒ AB = 2A1B1 = 2a, FK=Vпирамиды = O1O(S(ABCD) + S(A1B1C1D1) + S ( ABCD ) ⋅ S ( A1B1C1D1 ) )= 2h(4a2 + a2 + a2 2 ).V1 = V(FKPTSR) + 2S(FPEDT) =1523a.21AB1 ( AB − A1B1 ) AB 1 3a1= ⋅ ⋅ ah + h ⋅ a ⋅ a == FK ⋅⋅h + 2⋅ h⋅⋅223222 23223a h 1 2 13a h.+ ha ==4312⎛ 107 a 2⎞13a 2 h= h⎜+ 2a 2 2 ⎟ .12⎝ 12⎠V113a 2 h13==⎛ 107⎞V2+ 2 2 ⎟ 107 + 24 212ha 2 ⎜⎝ 12⎠2. Дано: ∆ABC, ∠ABC = 120°, AC = a, K — точка пересечения высот∆ABC, l || AC, K ∈ l, l — ось вращенияV2 = V – V1 = 2h(5a2 + a2 2 ) –KL1B.ACHНайти: Vт.
вр..Решение:∆AKC — равносторонний, BH =Vт. вр. = 2π(AH ⋅ KH2 –a 3a 3a 3, KH =, KB =.6231AH ⋅ (KH2 + KB2 + KH ⋅ KB)) =3⎛ a a2 ⋅ 3 1 a ⎛ a2 ⋅ 3 a2 a2 ⎞ ⎞⎛ 3a 3 a 3 ⎛ 9 + 4 + 6 ⎞ ⎞− ⎜= 2π ⎜⎜ ⋅− ⋅ ⎜++ ⎟ ⎟⎟ = 2π ⎜⎟⎟ =3 2⎝ 432 ⎠⎠6 ⎝ 12 ⎠ ⎠⎝ 8⎝2 4⎛ 3a 3 a 3 ⋅ 19 ⎞ ⎛ 3a 3 19a 3 ⎞8a 3 π 2 a 3 π= 2π ⎜−=.−⎟π =⎟=⎜3696 ⋅ 12 ⎠ ⎝ 436 ⎠⎝ 82a 3π.Ответ:9С—191. Дано: DABC — пирамида, DK— высота, O — центр ∆ABC, AB = BC22, DK =. В= AC = 1, OK =33DABC вписан шар.DCAOBESK153Найти: Sшара.Решение:33AO =, OE =.36Из ∆ADK, где AK = AO + OK =AD = DK 2 + AK 2 = 3 +223= 3 , DK =,+333413=.33Из ∆DEK: DE = EK 2 + KD 2 =3 455 3+ ==.4 3612233–=.23 6Найдем высоту DS грани ADB.33 3Из ∆ASK: AS = AK ⋅= 3⋅= .22 2EK = OK – OE =Из ∆DSA: DS = AD 2 − AS 2 =⇒ S(ABD) = S(ACD) =13 955 3− ==3 461211 5 3 5 3AB ⋅ DS = ⋅=2 612235 3 1 5 33 5 3 3 3+2⋅+ ⋅=+=.412 2 6442По формуле из задачи С-19.1, вариант 7⇒ Sпов.(DABC) =3 2 1⋅⋅43 3= 1 = 393 33 324π⇒ Sсферы = 4πr2 =.272.
Дано: полый металлический шар, внешний радиус которого R, плавает, будучи на половину погруженным в воду. Плотность материала ρш.Найти: толщину стенок шара.Решение:4Вес полого шара P = π (R3 – r3)ρш ⋅ g,32выталкивающая сила F = πR3ρвg. Т.к. P = F, то342π (R3 – r3)ρш ⋅ g = πR3ρв ⋅ g333V=r=Sпов.1543⋅2(R3 – r3)ρш = R3ρв3⎛ ⎛ r ⎞3 ⎞ ρρ⎛r⎞2 ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟ ш = 1 ; ⎜ ⎟ = 1 − в ;⎜ ⎝ R ⎠ ⎟ ρв2ρшR⎝⎠⎝⎠rρρ= 3 1− в и r = R 3 1− в .R2ρш2ρшТогда толщина стенок шара⎛ρ ⎞h = R – r = R ⎜1 − 3 1 − в ⎟ .⎜2ρш ⎟⎠⎝ДС1. Дано: MABCD — пирамида, AB = 2, AD = 1, (AMB) ⊥ (ABCD), AM =BM, MH = 1.ZНайти: угол между (AMD) и (DMC).Решение:MПоместим пирамиду в прямоугольную систему координат Hxyz.BИскомый угол равен углу междуCJGJJGYn1 (1, 0, 1) ⊥ (AMD) и n2 (0, 1, 1) ⊥HA(DMC).DXJG∧JJGJG JJGJGJJGn1 ⋅ n2 = 1 = | n1 | ⋅ | n2 | ⋅ cos n1 n2 ⇒JG∧JJG 1cos n1 n2 = .2Искомый угол равен 60°.2.
Дано: M(1, 1, 1), α: 2x – y + z – 1 = 0; β: = x + y – 2z – 2 = 0, α ∩ β = l,плоскость γ ⊥ l, M ∈ γ.Найти: уравнение γ.Решение:2x − y + z − 1 = 0Ix + y − 2z − 2 = 0II{{{3x − z − 3 = 0 ; z = 3 x − 3 Коллинеарен линии.I + II2I + II 5 x − y − 4 = 0 y = 5 x − 4Система, задающая линию пересечения, например вектор (1, 3, 5)⇒ Уравнение α имеет вид: x + 3y + 5z + A = 0M ∈ α: 1 + 3 + 5 + A = 0; A = –9Окончательно α: x + 3y + 5z– 9 = 0.155Работы на повторениеП—1Вариант 1Дано: DABC — пирамида, AB = BC = AC = a, DB = a.1. Каково взаимное положение пряDмых: 1) AB и CD; 2) BD и AC; 3) PQ иAC.Решение:1) AB и CD — скрещивающиеся, т.к.не параллельны и не пересекаются.G2) BD и AC — скрещивающиеся.Q3) PQ и AC — скрещивающиеся, т.к.не пересекаются и не параллельны.HAF P2.
Построить сечение пирамиды BOплоскостью, проходящей через центроснования и параллельно AC и BD. ОпEределить его вид и найти его площадь.CПостроение:В (ABC) через центр O проводим прямую EH || AC. В гранях DBC и DBAчерез точки E и H проводим прямые FE и GH || BD. Соединяем F и G. Сече2a 2 ⎛2aa⎞ние EFGH — искомое. Его вид прямоугольник S =EF = ⎟ .⎜ EH =9 ⎝33⎠3. Найти угол между гранями: 1) ADB и CDB; 2) DAC и ABC.Решение:1) BD — линия пересечения плоскостей, CB ⊥ DB и AB ⊥ DB ⇒ ∠ABC =60° — искомый угол между плоскостями.a 32) Проведем DM ⊥ AC. В ∆ABC BM =⇒2из прямоугольного ∆DBM:a2 3DB= tg∠DMB;== tg∠DMB;3BMa 322 3— искомый угол.34. Чему равен угол между DB и (ADC)?Решение:πИз прямоугольного ∆DBM: ∠BDM = –2Z∠DMB = arctgarctg2 3— искомый угол.3MLFYADPTHB156KXC5. Найти угол между AB и DC.Решение:Поместим пирамиду в полярную систему координат Bxyz как показаноJJJG ⎛ a a 3JJG⎞, − a ⎟⎟ ,на рисунке, тогда BA (a, 0, 0), DC ⎜⎜ ,⎝2 2⎠22JJJGJJG3aa| BA | = a, | DC |=++ a2 = a 2 ,44JJG ∧JJJGa2( BA ⋅ DC ) == | BA | ⋅ | DC | ⋅ cos BA ⋅ DC2a2JJG ∧JJJG2a2⇒ cos BA ⋅ DC = JJG 2 JJJG = 2=4| BA | ⋅ | DC | 2a 2JJG ∧JJJG2BA ⋅ DC = arccos.46.
Найти расстояние между AB и DC.Решение:ОтточкиAотложимвекторJJJG JJJGAK = DC ,координатыточки⎛⎞a a 3K ⎜⎜ a + ,, − a ⎟⎟ и (ABK) || DC.22⎝⎠Уравнение плоскости ABK: Px + Qy + Rz + S = 0.⎧⎧⎪S = 0B : ⎪⎪ S =⎪A : ⎨aP = 0; ⎨P = 0.K : ⎪3⎪3a 3QQ − aR = 0 ⎪ R =⎪ aP +⎩⎩222Уравнение (ABK): y +3z = 0.2G⎛3⎞n ⎜⎜ 0,1,⎟ ⊥ (ABK).2 ⎟⎠⎝JJJGGИз т. O опустим перпендикуляр DN на (ABK), DN = k ⋅ n .JJJGПусть N(x0, y0, z0), DN (x0, y0, z0 – a).⎧⎪x = k ⋅ 0⎪ 0;⎨ y0 = k⎪3⋅k⎪ z0 − a =⎩2⎧⎪x = 0⎪ 0.⎨ y0 = k⎪3⋅k + a⎪ z0 =⎩2157Но N ∈ (ABK) ⇒ k +⎞3⎛ 3k + a ⎟⎟ = 0 ;⎜2 ⎜⎝ 2⎠⎛⎞2 33732 3k+a=0, k =−a ⇒ N ⎜⎜ 0, −a, − a + a ⎟⎟ ,42777⎝⎠22JJJG ⎛a 2112a9a2 33 ⎞ JJJGDN ⎜⎜ 0, −a, − a ⎟⎟ ; | DN |=+=.4949777 ⎠⎝Вариант 2B1Дано: ABCA1B1C1 — прямая призма, ∠ACB A1= 90°, AC = CB = a, AA1 = a.1.
Каково взаимное расположение прямых:C11) AA1 и BC; 2) A1C1 и BC; 3) EF и AC; E ∈ AB1,FEAE : EB1 = 1 : 2; F ∈ CB1; CF : FB1 = 2 : 1.Решение:BA1) AA1 и BC — скрещивающиеся.2) A1C1 и BC — скрещивающиеся.3) EF и AC — пересекаются (т.к. лежат вCодной плоскости и не параллельны).2. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через AC и K ∈C1B1, C1K = KB1. Определить его вид. НайтиZего площадь.BADПостроение:KСоединим точку K с точкой C. ВXC(A1C1B1) проведем KD || A1C1.
Соединим A и YD. Прямоугольная трапеция ADKC — искоHмое сечение.BA1⎛a ⎞ a 5 a2 ⋅ 3 5S = ⎜a + ⎟⋅=.C2⎝2⎠ 283. 1) Найти угол между (A1B1C1) и (ADKC).Искомый угол ∠C1KC находим из прямоугольного ∆CC1K.aaCC1 = a, C1K = ⇒ tg∠C1KC = = 2,a22∠C1KC = arctg(2).2) Найти угол между ADKC и CC1B1B.Решение: плоскости перпендикулярны значит угол — прямой.4. Найти угол между B1C и (AA1B1B).В (ABC) опустим высоту CH: CH ⊥ (AA1B1B).a 2, CB1 = a 2 ⇒ из прямоугольного ∆CHB:CH =2111158a 2CH1sin∠CB1H == 2 = ⇒ ∠CB1H = 30° — искомый угол.CB1 a 2 25. Найти угол между AB и B1C.Решение:Введем полярную систему координат Cxyz как показано на рисунке ⇒JJJGJJJGJJJGJJJGAB (a, –a, 0), | AB | = a 2 ; CB1 (a, 0, a), | CB1 | = a 2 .∧JJJG JJJGAB ⋅ CB1 = a2 = | AB | ⋅ | CB1 | ⋅ cos AB ⋅ CB1 ,∧∧1π; AB ⋅ CB1 = .326.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
