Основы математических моделей (544935), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Ньютоном методвосстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям.В качестве другого примера можно привести математическую статистику. Задача этойнауки — разработка методов регистрации, описания и анализа данных наблюдений иэкспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений. Т.е.множество возможных моделей ограничено вероятностными моделями. В конкретных задачахмножество моделей ограничено сильнее.Компьютерные системы моделирования.Для поддержки математического моделирования разработаны системы компьютернойматематики, например, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim и др.

Они позволяютсоздавать формальные и блочные модели как простых, так и сложных процессов и устройств илегко менять параметры моделей в ходе моделирования. Блочные модели представленыблоками, набор и соединение которых задаются диаграммой модели.Дополнительные примеры.Скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описываетсядифференциальным уравнениемгде α — некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью исмертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция x = x0e.

Еслирождаемость превосходит смертность, размер популяции неограниченно и очень быстровозрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченностиресурсов. При достижении некоторого критического объёма популяции модель перестает бытьадекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов.

Уточнением модели Мальтусаможет служить логистическая модель, которая описывается дифференциальным уравнениемФерхюльстагде xs — «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точностикомпенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесномузначению xs, причем такое поведение структурно устойчиво.Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных: кролики и лисы.Пусть число кроликов x, число лис y. Используя модель Мальтуса с необходимымипоправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе,носящей имя модели Лотки — Вольтерра:Эта система имеет равновесное состояние, когда число кроликов и лис постоянно.Отклонение от этого состояния приводит к колебаниям численности кроликов и лис,аналогичным колебаниям гармонического осциллятора.

Как и в случае гармоническогоосциллятора, это поведение не является структурно устойчивым: малое изменение моделиможет привести к качественному изменению поведения. Например, равновесное состояниеможет стать устойчивым, и колебания численности будут затухать. Возможна ипротивоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведетк катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов.

На вопрос отом, какой из этих сценариев реализуется, модель Вольтерра — Лотки ответа не дает: здесьтребуются дополнительные исследования..

Характеристики

Список файлов лекций