Основы математических моделей (544935), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Оно даёт простые формулы длякоэффициентов вязкости, диффузии, теплопроводности, согласующиеся с реальностью попорядку величины.Но при построении новой физики далеко не сразу получается модель, дающая хотя быкачественное описание объекта — модель пятого типа. В этом случае часто используют модельпо аналогии, отражающую действительность хоть в какой-нибудь черте.Р.

Пайерлс приводит историю использования аналогий в первой статье В. Гейзенберга оприроде ядерных сил. «Это произошло после открытия нейтрона, и хотя сам В. Гейзенбергпонимал, что можно описывать ядра состоящими из нейтронов и протонов, он не мог все жеизбавиться от мысли, что нейтрон должен в конечном счете состоять из протона и электрона.При этом возникала аналогия между взаимодействием в системе нейтрон — протон ивзаимодействием атома водорода и протоном. Эта-то аналогия и привела его к заключению, чтодолжны существовать обменные силы взаимодействия между нейтроном и протоном, которыеаналогичны обменным силам в системе H − H , обусловленным переходом электрона междудвумя протонами.

… Позднее было все-таки доказано существование обменных силвзаимодействия между нейтроном и протоном, хотя ими не исчерпывалось полностьювзаимодействие между двумя частицами… Но, следуя все той же аналогии, В. Гейзенбергпришёл к заключению об отсутствии ядерных сил взаимодействия между двумя протонами и кпостулированию отталкивания между двумя нейтронами. Оба последних вывода находятся впротиворечии с данными более поздних исследований».А. Эйнштейн был одним из великих мастеров мысленного эксперимента.

Вот один из егоэкспериментов. Он был придуман в юности и, в конце концов, привел к построениюспециальной теории относительности. Предположим, что в классической физике мы движемсяза световой волной со скоростью света. Мы будем наблюдать периодически меняющееся впространстве и постоянное во времени электромагнитное поле. Согласно уравнениямМаксвелла, этого быть не может. Отсюда юный Эйнштейн заключил: либо законы природыменяются при смене системы отсчета, либо скорость света не зависит от системы отсчета. Онвыбрал второй — более красивый вариант. Другой знаменитый мысленный экспериментЭйнштейна — Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена.А вот и тип 8, широко распространенный в математических моделях биологическихсистем.Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие,что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво.В этом основное отличие от моделей типа 7, которые вскрывают скрытые противоречия.Один из самых знаменитых таких экспериментов — геометрия Лобачевского.

Другойпример — массовое производство формально — кинетических моделей химических ибиологических колебаний, автоволн и др. Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена былзадуман как модель 7 типа, для демонстрации противоречивости квантовой механики.Совершенно незапланированным образом он со временем превратился в модель 8 типа —демонстрацию возможности квантовой телепортации информации.В основе содержательной классификации — этапы, предшествующие математическомуанализу и вычислениям. Восемь типов моделей по Р. Пайерлсу суть восемь типовисследовательских позиций при моделировании.Пример.Рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины, закрепленной с одногоконца, и груза массой m, прикрепленного к свободному концу пружины. Будем считать, чтогруз может двигаться только в направлении оси пружины.

Построим математическую модельэтой системы. Будем описывать состояние системы расстоянием x от центра груза до егоположения равновесия. Опишем взаимодействие пружины и груза с помощью закона Гукапосле чего воспользуемся вторым законом Ньютона, чтобы выразить его в формедифференциального уравнения:где означает вторую производную от x по времени..Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физическойсистемы. Эта модель называется «гармоническим осциллятором».По формальной классификации эта модель линейная, детерминисткая, динамическая,сосредоточенная, непрерывная.

В процессе её построения мы сделали множество допущений,которые в реальности могут не выполняться.По отношению к реальности это, чаще всего, модель типа 4 упрощение, посколькуопущены некоторые существенные универсальные особенности. В некотором приближении,такая модель достаточно хорошо описывает реальную механическую систему, посколькуотброшенные факторы оказывают пренебрежимо малое влияние на её поведение.

Однакомодель можно уточнить, приняв во внимание какие-то из этих факторов. Это приведет к новоймодели, с более широкой областью применимости.Впрочем, при уточнении модели сложность её математического исследования можетсущественно возрасти и сделать модель фактически бесполезной. Зачастую более простаямодель позволяет лучше и глубже исследовать реальную систему, чем более сложная.Если применять модель гармонического осциллятора к объектам, далёким от физики, еёсодержательный статус может быть другим. Например, при приложении этой модели кбиологическим популяциям, её следует отнести, скорее всего, к типу 6 аналогия.Жёсткие и мягкие модели.Гармонический осциллятор — пример так называемой «жёсткой» модели.

Она полученав результате сильной идеализации реальной физической системы. Для решения вопроса о еёприменимости необходимо понять, насколько существенными являются факторы, которыми мыпренебрегли. Иными словами, нужно исследовать «мягкую» модель, получающуюся малымвозмущением «жёсткой».

Она может задаваться, например, следующим уравнением:Здесь— некоторая функция, в которой может учитываться сила трения илизависимость коэффициента жёсткости пружины от степени её растяжения, ε — некоторыймалый параметр. Явный вид функции f нас в данный момент не интересует. Если мы докажем,что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жёсткой, задачасведется к исследованию жёсткой модели. В противном случае применение результатов,полученных при изучении жёсткой модели, потребует дополнительных исследований.Например, решением уравнения гармонического осциллятора являются функции вида, то есть колебания с постоянной амплитудой.

Следует лииз этого, что реальный осциллятор будет бесконечно долго колебаться с постояннойамплитудой? Нет, поскольку рассматривая систему со сколь угодно малым трением, мыполучим затухающие колебания. Поведение системы качественно изменилось.Если система сохраняет свое качественное поведение при малом возмущении, говорят,что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор — пример структурно-неустойчивойсистемы. Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченныхпромежутках времени.Универсальность моделей.Важнейшие математические модели обычно обладают важным свойствомуниверсальности: принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той жематематической моделью. Скажем, гармонический осциллятор описывает не только поведениегруза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие совершенно инуюприроду: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в U-образном сосуде илиизменение силы тока в колебательном контуре.

Таким образом, изучая одну математическуюмодель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений. Именно этот изоморфизмзаконов, выражаемых математическими моделями в различных сегментах научного знания,подвиг Людвига фон Берталанфи на создание «Общей теории систем».Прямая и обратная задачи математическогомоделированияСуществует множество задач, связанных с математическим моделированием. Во-первых,надо придумать основную схему моделируемого объекта, воспроизвести его в рамкахидеализаций данной науки. Так, вагон поезда превращается в систему пластин и более сложныхтел из разных материалов, каждый материал задается как его стандартная механическаяидеализация, после чего составляются уравнения, по дороге какие-то детали отбрасываются,как несущественные, производятся расчёты, сравниваются с измерениями, модель уточняется, итак далее. Однако для разработки технологий математического моделирования полезноразобрать этот процесс на основные составные элементы.Традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическимимоделями: прямые и обратные.Прямая задача: структура модели и все её параметры считаются известными, главнаязадача — провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте.

Какуюстатическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку,как самолёт преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он от флаттера, — вот типичныепримеры прямой задачи. Постановка правильной прямой задачи требует специальногомастерства. Если не заданы правильные вопросы, то мост может обрушиться, даже если былапостроена хорошая модель для его поведения. Так, в 1879 г. в Великобритании обрушилсяметаллический мост через реку Тей, конструкторы которого построили модель моста,рассчитали его на 20-кратный запас прочности на действие полезной нагрузки, но забыли опостоянно дующих в тех местах ветрах.

И через полтора года он рухнул.В простейшем случае прямая задача очень проста и сводится к явному решению этогоуравнения.Обратная задача: известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретнуюмодель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего, структура моделиизвестна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительнаяинформация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или в требованиях кобъекту. Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратнойзадачи или быть результатом специально планируемого в ходе решения эксперимента.Одним из первых примеров виртуозного решения обратной задачи с максимальнополным использованием доступных данных был построенный И.

Характеристики

Список файлов лекций