Пакет контрольных задач (539881)

№

п/п

Контрольные задачи.

Эталонный ответ.

1

Что такое физический эксперимент.

Основой физического эксперимента является опыт (испытания) с конкретными условиями. Целью физического эксперимента (в дальнейшем эксперимента, испытания) является установление действительных характеристик создаваемой ГТУ, проверка справедливости использованных технических решений, оценка эффективности применения новых систем регулирования, управлений и т.п.

Постановка и организация испытаний определяются их назначением. Эксперименты различаются по целям исследований (поисковые, контрольные, констатирующие), по характеру внешних воздействий на исследуемые ГТУ, по организации проведения (лабораторные, натурные, заводские, государственные…), по числу варьируемых факторов (одно - многофакторный)…

Лабораторный эксперимент проводится в лабораторных условиях с применением стандартных приборов, специальных моделирующих стендов, устройств и т.п. Чаще всего в лабораторном эксперименте исследуется не натурная ГТУ а ее модель (образец). Такой эксперимент позволяет с необходимой точностью изучить влияние различных параметров на характеристики ГТУ, получать обширную техническую информацию с минимальными затратами времени и материальных ресурсов. Однако такой эксперимент не всегда полностью моделирует реальный ход изучаемого процесса ГТУ, поэтому возникает потребность в проведении натурного эксперимента. Натурный эксперимент проводится на реальной ГТУ в естественных условиях. Этот вид эксперимента часто используется в процессе натурных испытаний изготовленных ГТУ. В зависимости от места проведения испытаний натурные эксперименты подразделяются на заводские (производственные), полигонные и т.п. Натурный эксперимент требует значительной подготовки и планирования, рационального подбора методов исследований. Практически во всех случаях основная научная проблема натурного эксперимента - обеспечить достаточное соответствие (адекватность) условий эксперимента реальной ситуации, в которой будет работать впоследствии ГТУ.

Поэтому главной задачей натурного эксперимента являются: изучение воздействия среды эксплуатации на испытуемую ГТУ, идентификация статических и динамических параметров работы, оценка эффективности функционирования ГТУ и проверка на соответствие заданным требованиям.

Эксперименты с ГТУ и их элементами являются сложными экспериментами, так как в них изучаются объекты с разветвленной структурой (можно выделить иерархические уровни) и большим количеством взаимосвязанных и взаимодействующих элементов.

Высокая степень связности элементов приводит к тому, что изменение состояния какого-либо элемента или связи влечет за собой изменение состояния многих других элементов системы. В таких сложных объектах как ГТУ возможно наличие нескольких разных структур, нескольких разных целей испытаний.

Для проведения эксперимента необходимо четко сформулировать цель исследований (например, определение мощности, определение акустических характеристик, определение ресурса…), разработать методики и программы выполнения эксперимента, подготовить экспериментальные установки, системы измерений, регистрации и обработки, подготовить обслуживающий персонал.

Решающее значение в достижении целей эксперимента имеет то, насколько отвечает им методика испытаний. Методика - это совокупность физических и умственных операций (действий, приемов), выполняемых в определенной последовательности, в соответствии с которой достигается цель (цели) исследовательских работ. При разработке методики проведения эксперимента с ГТУ необходимо предусматривать: проведение предварительного анализа ожидаемых характеристик и диапазона их изменения; создание условий, в которых должно проводиться экспериментирование (подбор объектов для экспериментального воздействия, устранение случайных факторов…), определение пределов измерений; обеспечение систематического наблюдения за ходом развития процесса в ГТУ и точное описание имеющих место фактов; проведение систематической регистрации измерений; проведение первичной и заключительной обработки результатов; обеспечение анализа результатов эксперимента и представление их в отчетном документе.

Правильно и обоснованно составленная методика эксперимента предопределяет его ценность. Поэтому разработка, выбор, определение методики испытаний должно проводиться особенно тщательно специалистами, обеспечивающими решение всех вопросов по данному объекту испытаний. Методика испытаний должна соответствовать современному уровню развития науки и техники. Целесообразно проверить возможность использования методик, применяемых в смежных проблемах и научных направлениях.

До начала каждого эксперимента составляется его программа, включающая в себя как правило следующие основные разделы: цель испытаний, объект испытаний, методика испытаний, экспериментальная установка, системы измерений, регистрации, обработки, сроки, объем и последовательность испытаний, форма отчетности, специальные требования, состав бригады испытателей и разделение ответственности и т.п.

Программа испытаний составляется ответственными исполнителями и утверждается заказчиками данного объекта.

Применение математической теории эксперимента позволяет в ряде случаев уже при планировании определенным образом оптимизировать объем экспериментальных исследований и повысить их точность. Перед экспериментом надо выбрать варьируемые факторы, т. е. установить основные и второстепенные характеристики, влияющие на исследуемый процесс, проанализировать расчетные схемы. На основе подобного всестороннего анализа воздействующие факторы классифицируются и расставляются в ряд по степени влияния на ту или иную характеристику ГТУ. Правильный выбор основных и второстепенных факторов играет важную роль в эффективности эксперимента, так как фактически эксперимент сводится к нахождению зависимостей между этими факторами. Иногда бывает трудно на данном этапе выявить роль основных и второстепенных факторов. Основным принципом установления степени важности фактора является его роль в процессе ГТУ. Для решения этого вопроса изучается влияние от одной переменной (например, температура воздуха на входе в ГТУ) при остальных постоянных.

Необходимо также научно обосновать выбор средств и методов измерений, регистрации и обработки, экспериментального оборудования и установок.

Естественно, что в первую очередь следует использовать при испытаниях ГТУ стандартные средства измерений, работа с которыми регламентируется соответствующими ГОСТами и другими официальными документами.

При испытаниях современных ГТУ и их элементов может возникнуть потребность в создании уникальных приборов, установок, стендов, систем измерений и регистрации. При этом должно быть выполнено обоснование возможности создания уникальных средств с обеспечением заданной точности измерений.

При экспериментальных исследованиях одного и того же процесса (наблюдениях и измерениях) повторные отсчеты на приборах (в ручном или автоматическом режимах), как правило, неодинаковы. Отклонения объясняются различными причинами - неоднородностью свойств изучаемого тела, несовершенством приборов и т.п. Чем больше таких факторов, влияющих на результаты, тем возможно большее их расхождение между собой и от средних значений. Это требует повторных измерений. Следовательно, важно знать их допустимое минимальное количество. Под необходимым (допустимым) минимальным количеством измерений понимают такое количество их, которое в данном опыте обеспечивает устойчивое среднее значение измеряемой величины, удовлетворяющее заданной степени точности. Установление потребного минимального количества измерений имеет большое значение, так как обеспечивает получение достаточно объективных результатов при минимальных затратах времени и средств.

Важным разделом методики испытаний является выбор методов обработки и анализа экспериментальных данных. Обработка данных сводится в конечном итоге к представлению их в удобной для анализа форме (таблицы, графики, формулы, монограммы), позволяющие быстро и надежно сопоставлять полученное и проанализировать результаты. Все переменные изучаемых процессов должны оцениваться в единой системе единиц измерения физических величин.

Особое внимание в методике эксперимента должно быть уделено математическим методам обработки и анализу экспериментальных данных: установлению эмпирических (корреляционных) зависимостей, аппроксимации связей между варьирующими параметрами, установлению критериев, доверительных интервалов и др.

В условиях необходимости интенсификации экспериментов, важнейшее место должно отводиться его автоматизации с вводом экспериментальных данных непосредственно в ЭВМ (ПЭВМ) которая может быть и управляющей самим экспериментом.

Одно из центральных мест в эксперименте занимают измерения.

Измерение - это нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств (сравнение измеряемой величины с известной величиной, принятой за эталон). Комплекс вопросов, связанных с измерениями при экспериментах (выбор методов и средств, тарировка, определение погрешности и т.п.) составляет понятие метрологического обеспечения испытаний.

Методы измерения подразделяются на прямые и косвенные. При прямых измерениях искомую величину находят непосредственно в эксперименте, при косвенных - опосредственно от других величин, найденных прямыми измерениями. Возможны следующие разновидности методов измерений.

Метод непосредственной оценки - определение значения искомой величины непосредственно по отчетному устройству измерительного прибора (например измерение массы на циферблатных весах).

Метод сравнения - измеряемую величину сравнивают с величиной, воспроизводимой мерой (например, измерение массы на рычажных весах с уравновешиванием гирями). При дифференциальном методе на измерительный прибор воздействует разность измеряемой и известной величины, воспроизводимой мерой. При нулевом методе результирующий эффект воздействия параметра на прибор доводят до нуля (например, измерение электрического сопротивления мостом с уравновешиванием).

Не менее важной частью эксперимента являются средства измерений - технические устройства, имеющие нормированные погрешности, которые обеспечивают получение необходимой информации.

Измерительным прибором называется средство измерения, предназначенное для получения определенной информации об изучаемой величине в удобной форме представления. В приборах измеряемая величина преобразуется в соответствующее показание или сигнал. Подобные приборы состоят, как минимум, из двух основных узлов: воспринимающего сигнал и преобразующего в показание.

Приборы для измерений различаются по способу отсчета значений измеряемой величины на показывающие, регистрирующие и показывающие-регистрирующие. Показывающие (аналоговые, цифровые) приборы дают сведения без каких-либо дополнительных операций (действий) экспериментатора. Регистрирующие приборы могут быть самопишущими и печатными. Самопишущие приборы (например шлейфовый осциллограф) выдают график измерений. Печатные приборы выдают измерения в виде цифр на ленте. Приборы классифицируются также по точности измерений, пределам измерений и т.п. Необходимым требованием к современным приборам является возможность стыковки их с ЭВМ ( ПЭВМ ).

Шкала - важнейшая часть прибора. Расстояние в мм между двумя смежными отметками на шкале называют ценой деления шкалы. Диапазон показаний приборов - разность между значениями измеряемой величины в начале и конце шкалы. Измерительные приборы (отсчетные устройства) характеризуются величиной погрешности и точности, чувствительностью и стабильностью измерений. Погрешности приборов принято разделять на абсолютные и относительные.

Диапазоном измерений называется та часть показаний прибора (шкалы), для которой установлена погрешность.

Класс точности прибора - это обобщенная характеристика, определяемая погрешностями, влияющими на точность.

Все средства измерения проходят периодическую проверку (поверку, аттестацию). Такая проверка предусматривает определение и по возможности уменьшение погрешностей приборов. Проверка позволяет установить соответствие данного прибора регламентированной степени точности и возможность его применения для данных измерений, т.е. определяются погрешности и устанавливается не выходят ли они за пределы допускаемых значений. Проверку средств измерений производят на различных уровнях - от специальных государственных (государственный метрологический контроль) до низовых звеньев на предприятиях.

Выбор средств измерений является важнейшим моментом в организации любого эксперимента. Средства измерений должны максимально соответствовать целям и задачам эксперимента, обеспечивать требуемое качество, т. е. заданную степень точности при минимальном количестве измерений, высокую надежность.

2

Что такое вычислительный эксперимент.

Вычислительным экспериментом принято называть комплекс исследований, основанный на использовании математических моделей технического устройства и ЭВМ как технической базы.

Вычислительный эксперимент основывается на создании математических моделях исследуемых технических устройств, которые формируются с помощью некоторой особой математической структуры, способной отражать свойства объекта, проявляемые им в различных экспериментальных условиях (в условиях функционирования).

На основе математического моделирования и методов вычислительной математики создались теория и практика вычислительного эксперимента, технологический цикл которого можно разделить на следующие этапы:

Этап 1 - Для объекта исследования (например, ГТУ) разрабатывается физическая модель, учитывающая все действующие на объект факторы; формулируются условия применимости модели, границы применимости ее; модель описывается математическими уравнениями;

Этап 2 – Разрабатывается математическая модель объекта исследования на основании его физической модели.

Этап 3 - Разрабатываются алгоритм и программа решения задачи на ЭВМ (ПЭВМ) Для нахождения оптимального варианта технического устройства приходится проводить большое число расчетов однотипных задач, отличающихся значениями некоторых параметров. В связи с этим при организации вычислительного эксперимента нужно использовать эффективные методы расчета.

Этап 4 - Проведение расчетов на ЭВМ (ПЭВМ). Результат получается в виде объема цифровой информации, который необходимо расшифровать и проанализировать. Точность и достоверность полученной информации определяется достоверностью модели, заложенной в основу вычислительного эксперимента, правильностью алгоритмов и программ расчета.

Этап 5 - Обработка результатов расчетов, их анализ и выводы. На этом этапе возникает обычно необходимость уточнения математической модели с учетом имеющихся результатов физического эксперимента, возникают предложения по созданию инженерных методов расчета и т.п. При необходимости вычислительный эксперимент проводится повторно с учетом полученной информации.

В современных условиях обычно физический и вычислительный эксперимент организовывают параллельно и даже одновременно, что значительно ускоряет процесс создания образцов новой техники, повышает их конкурентоспособность и перспективность. В то же время известно немало областей науки и техники, в которых вычислительный эксперимент оказывается единственно возможным.

3

Цели и задачи совмещения физического и вычислительного эксперимента.

Для ускорения процесса создания ГТУ физический и вычислительный эксперименты зачастую проводят одновременно с взаимным использованием результатов. В качестве примера рассмотрим методику определения температурного поля цилиндрического элемента ГТУ (с температурой Т_нат), нагреваемого в натурных условиях эксплуатации газовым потоком с коэффициентом теплоотдачи α_нат. и температурой Т_{г нат.} (α_{г нат}, Т_{г нат} считаются до начала эксперимента известными). При испытаниях (физическом эксперименте) на стенде этот элемент ГТУ нагревается газовым потоком с коэффициентом теплоотдачи α_{г ст.} < α_{г нат.} и температурой Т_г.ст. Необходимо в вычислительном эксперименте установить зависимость Т_{г ст.}=f(Т_{г нат.}, α_{г нат.}, α_{г ст.}) при которой для заданного α_{г ст.} достигается идентичность стендового температурного поля элемента ГТУ (Т_ст. ) натурному (Т_нат.) т.е. Т_ст. =Т_нат. Начальная температура элемента ГТУ во всех точках постоянная и равна Т_0. Значение температуры, устанавливающейся в процессе эксплуатации Т _нат. и значение температуры Т _ст. в этой же точке элемента ГТУ при стендовых испытаниях (α_{г ст.}  α_{г нат.} ) можно связать с помощью ряда Тейлора:

(1)

здесь ∆α= α_{г нат.}- α_{г ст.}; производные n-го порядка от температуры по коэффициенту теплоотдачи.

Температурное поле элемента ГТУ (Т¹) на первом этапе нагревания с коэффициентом теплоотдачи α_{г ст.} и температурой Т_{г ст.}= Т_{г нат.} описывается следующей системой уравнений:

здесь: с, γ, λ – теплоемкость, плотность, коэффициент теплопроводности элемента ГТУ;

r – поперечная координата элемента ГТУ цилиндрической формы;

 - время

R₀ – внешний радиус элемента ГТУ;

Т_w – температура поверхности элемента ГТУ, контактирующего с газовым потоком.

Продифференцировав систему уравнения 2-5 по α_г.ст., умножив правые и левые части на

Δα = α_гнат.- α_гст. и обозначив

получим:

Сложив соответствующие уравнения систем (2-5) и (6-9), обозначив

в выражении (12)

Из рассмотрения равенства (10) и системы уравнений (11-14) следует, что эта система уравнений описывает температурное поле в элементе ГТУ в первом приближении.

Следовательно, нагревая элемент ГТУ газовым потоком с коэффициентом теплоотдачи α_гст. и температурой газа, подсчитанной по формуле (15), где T_w⁽¹⁾ температура поверхности элемента ГТУ (измеряется в эксперименте с α_гст. и Т_{г ст}), получаем натурную температуру Т в первом приближении. В общем случае, повторив выше изложенную процедуру (n-1) раз для функции:

будем иметь систему уравнений:

(17)

где

Система уравнений (17) описывает температурное поле элемента ГТУ в (n-1) приближении: нагревая элемент ГТУ газовым потоком с α_г.ст. и температурой по (18), получим значение Т в (n-1) приближении.

Таким образом, применительно к рассматриваемой задаче, физический (нагревание элемента ГТУ газовым потоком при α_{г ст.} < α_{г нат.} эксперимент и вычислительный эксперимент (нахождение температуры газового потока на стенде по формуле (18) осуществляются совместно; при этом задача может решаться в режиме реального времени при использовании автоматизированной системы управления, регулирования и вычислений.

При проведении физического и вычислительного экспериментов всегда возникает необходимость установить степень влияния отклонения определеяющих факторов на параметры элементов и ГТУ в целом. Одним из возможных способов решения этой задачи является использование понятия коэффициентов чувствительности К. Коэффициент чувствительности n-ого порядка параметра Ф по определяющему фактору находится по формуле (n – целочисленный индекс, определяющий порядок дифференцирования).

Относительный коэффициент чувствительности Q n-ого порядка параметра Ф по фактору Ψ находится из выражения:

(19)

- * индекс, отмечающий значения параметров, соответствующих условиям эксплуатации элемента ГТУ.

Суммарная погрешность параметра Ф в зависимости от погрешности определяющих факторов и коэффициент чувствительности будет равна:

(20)

Расчетное определение коэффициентов чувствительности сводится к следующему. Рассматривается система уравнений А (типа 2-5) описывает поведение параметра Ф – в данном случае Т – в заданной области изменение определяющих факторов  - в данном случае это _г.ст. и Т_г.ст.) и система уравнений Б (типа 6-9) описывает поле коэффициента чувствительности К₁ ( , и т.д.)

Последовательно решая системы уравнений А и Б находятся значения К_i и рассчитывается значение погрешности в определении параметра Ф в зависимости от погрешности определяющих факторов.

4

Что такое погрешность эксперимента.

При обработке результатов измерений обнаруживается, что их результаты располагаются в некотором интервале, называемом интервалом неопределенности. Изучение этого явления показало, что оно вызвано двумя обстоятельствами – двумя группами факторов:

а) факторами, вызывающими смещение интервала неопределенности относительно уровня (начала) отсчета,

б) случайными факторами, определяющими ширину этого интервала.

Учитывая вышеизложенные обстоятельства, при анализе результатов измерений необходимо установить величину смещения (систематическая погрешность) и величину интервала (случайная погрешность). При этом производится оценка точки интервала, которую можно принять за истинное значение измеряемой величины а также исключаются из рассмотрения результаты, связанные с грубыми ошибками экспериментатора.

Если измеренное (прямым способом) значение какого-то параметра ГТУ равно х, а истинное (неизвестное) х_ист, то под абсолютной погрешностью понимают разность этих величин х - х_ист . Так как истинное значение х_ист нам (экспериментатору) не известно, то и погрешность, строго говоря, определить точно не представляется возможным. Поэтому, чтобы как-то решить эту проблему, ввели понятие предела абсолютной погрешности х, определяемого неравенством:

х  х - х_ист  (1)

При этом истинное значение х_ист окажется внутри интервала х - х, х + х_ист.

Чаще всего о понятии предел погрешности забывают и говорят только об абсолютной погрешности:

х = х - х_ист (2)

Кроме абсолютной, пользуются также понятием относительной погрешности:

_х = или (в %) (3)

Абсолютная погрешность включает в себя все возможные ошибки (погрешности) измерения и представляется в виде суммы:

х = f(х_ист, х_случ) (4)

где: х_ист – систематические погрешности – постоянные или закономерно изменяющиеся в процессе измерений. Отличительная особенность систематических погрешностей – сохранение тенденции поведения при повторных измерениях одной и той же величины – детерминированный характер проявления. Пример систематических погрешностей – погрешности показаний приборов вследствие неправильной градуировки, погрешности вызываемые влиянием изменения атмосферных условий, погрешности самого метода измерений. Отсутствие систематических погрешностей определяет правильность измерений. Результаты измерений тем правильнее, чем меньше (в пределе они устранимы совсем) систематические погрешности. Влияние систематических погрешностей на результаты измерений исключают опытным путем, вводя найденные из наблюдения поправки или изменяя методику проведения измерений. Полная (суммарная) систематическая погрешность прямого измерения включает в себя все составляющие и рассчитываются по формуле:

х_сист = (5)

где х_{i сист} - составляющие систематической погрешности,

к – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью Р. Для большинства технических систем принимается Р = 0.95, для которой к = 1.1.

При Р = 0.99, к = 1.4.

х_случ – случайные погрешности; величина их принимает в процессе измерения те или иные значения в зависимости от случая. Отличительная особенность случайных погрешностей – невозможность точной реализации одной и той же величины при повторных измерениях – это вероятностный характер проявления. В отличие от систематических, случайные погрешности нельзя исключить путем введения поправок в результате измерений. Причина этого кроется в природе случайных явлений.

В некоторых случаях погрешность измерения может принять размеры, явно выходящие за границы, обусловленные ходом эксперимента в целом. Такие погрешности называются грубыми – они при анализе результатов должны быть отброшены, как не заслуживающие доверия. Если при обработке измерений систематические и грубые погрешности исключены, оставшиеся случайные погрешности определяют точность измерений. Чем точнее результаты измерений, тем больше оснований считать случайными погрешности малыми.

Значение случайной погрешности х_случ рассчитывают, используя теорию вероятностей и математическую статистику, рассматривая измеряемые величины х_i как случайные числа. В результате единичных измерений получают n значений измеряемой величины: х₁, х₂, ….х_n. Окончательный результат определяется как среднее арифметическое:

(6)

Так как х_i – случайное число, то и погрешности х_случ также являются случайными. Интервал х_ср - х_случ; х_ср + х_случ  называют доверительным интервалом, а вероятность

Р – доверительной вероятностью.

Для заданной доверительной вероятности Р случайная погрешность х_случ рассчитывается по формуле:

х_случ = t_pS_n

где t_p – коэффициент, определяемый по числу измерений и вероятности Р, например при Р = 0.95 и n = 10 t_p = 2.23; при n = 100 t_p = 1.98; при n =  t_p = 1.96.

Величина S_n является оценкой среднего квадратичного отклонения среднего значения измеряемой величины (х_ср) от истинного значения:

S_n = (7)

Суммирование х_сист и х_случ проводят следующим образом:

В том случае, когда систематическая погрешность мала по сравнению со случайной: х_сист/ S_n  0.8, полная погрешность прямого измерения равна случайной погрешности:

х = х_случ (8)

Если обеими составляющими пренебрегать нельзя 0.8  х_сист/ S_n  8, то полная абсолютная погрешность прямого измерения определяются из зависимости:

х = (9)

где

(10)

(11)

где к_к – коэффициент, зависящий от соотношения х_случ / х_сист

S_ - оценка суммарного среднего квадратичного отклонения.

На практике чаще всего встречаются косвенные измерения тех или иных параметров ГТУ. Параметр ГТУ (косвенно измеряемая величина) определяется на основании прямых измерений с использованием известных функциональных зависимостей. Пусть Ф косвенно измеряемый параметр, являющийся функцией трех независимых переменных

x, y, z:

Ф = f(x, y, z) (12)

Каждое из переменных, определяемых прямыми методами измерений, имеет свою систематическую и случайную погрешность; пусть x, y, z – систематические или случайные погрешности прямых измерений x, y, z. Нахождение погрешности Ф, вызванной погрешностью x(y, z) проводится как вычисление изменение функции Ф при изменениях аргумента х (y, z).

(13)

(14)

(15)

Следовательно Ф = + +

Учитывая, что модуль суммы не превышает суммы модулей, получим:

Ф  Ф_х + Ф_у + Ф_z (16)

Следовательно погрешность косвенно измеряемой величины не может быть больше некоторого значения – это предельная или максимальная погрешность, все составляющие максимальны и суммируются, что в принципе маловероятно. Реальная погрешность косвенно измеряемой величины всегда меньше максимальной, определяемой из выражения:

Ф_max = + + (17)

Максимальная относительная погрешность находится из выражения:

(18)

Формулы для подсчета Ф_max и являются общими для любой функциональной зависимости Ф = f(x, y, z); по ним можно рассчитать как систематическую, так и случайную погрешности. И соответственно, получим или . Полная максимальная погрешность измерений определится как сумма (функция):

Ф_max = ( + ) (19)

5

Привести пример графической обработки результатов эксперимента.

При обработке результатов эксперимента широко применяются методы графического изображения, так как представленные в табличной форме результаты измерений иногда не позволяют достаточно наглядно характеризовать закономерности изучаемых процессов.

Графическое изображение дает наиболее наглядное представление о результатах эксперимента, позволяет лучше понять физическую сущность исследуемого процесса, выявить общий характер функциональной зависимости, установить наличие максимума (минимума) функции.

Для графического представления результатов применяют, как правило, систему прямоугольных координат. Если анализируется графическим способом функция y = f (x), то наносят в системе прямоугольных координат значения x ₁, y ₁ ; x ₂ , y ₂ ; ……x _n , y _n. Прежде чем строить график, необходимо знать ход (течение) исследуемого явления. Как правило, качественные закономерности и форма графика экспериментатору ориентировочно известны из теоретических исследований.

Точки на графике необходимо соединить плавной линией так, чтобы она по возможности проходила ближе ко всем экспериментальным точкам. Если соединить точки прямыми линиями (отрезками), то получим ломаную кривую. Она характеризует изменение функции по данным эксперимента. Обычно функции имеют плавный характер. Поэтому при графическом изображении результатов измерений следует проводить между точками плавные кривые. Резкое искривление графика объясняется погрешностями измерений. Если бы эксперимент повторили с применением средств измерений более высокой точности, то получили бы меньшие погрешности, а ломаная кривая больше бы соответствовала плавной кривой.

Часто при графическом изображении результатов экспериментов приходится иметь дело с тремя переменными b = f ( x, y, z ). В этом случае применяют метод разделения переменных. Одной из переменных, например z , в пределах измерений z ₁ - z _n задают несколько последовательных значений. Для двух остальных переменных строят графики y = f ( x ₁ ) при z ₁ = const . В результате на одном графике получают семейство кривых y = f ₁ ( x ) для различных значений z.

Таким образом, можно проследить изменение любой переменной величины в функции от другой при постоянных значениях остальных.

Современные методы вычислений позволяют строить и трехмерные пространства и проследить динамику их изменений.

При графическом изображении результатов экспериментов большую роль играет выбор системы координат или координатной сетки. Координатные сетки бывают равномерные и неравномерные. У равномерных координатных сеток ординаты и абсциссы имеют равномерную шкалу. Из неравномерных координатных соток наиболее распространены полулогарифмические, логарифмические, вероятностные. Логарифмическая координатная сетка имеет обе оси логарифмические. Многие криволинейные функции спрямляются на логарифмических сетках.

В процессе эксперимента получается статистический ряд измерений двух (или более) величин (параметров), когда каждому значению функции y ₁, y _{2 ,} …..y _n соответствует определенное значение аргумента x ₁, x ₂, …..x _n.

На основе опытных данных (результатов измерений) можно подобрать алгебраические выражения функции y = f (x), которые называют эмпирическими формулами. Такие формулы подбираются лишь в пределах измеренных значений аргумента x ₁ - x _n и имеют тем большую ценность, чем больше соответствуют результатам эксперимента. Эмпирические формулы являются приближенными выражениями аналитических формул. Замену точных аналитических выражений приближенными, более простыми называют аппроксимацией, а функции - аппроксимирующими. Обычно применяется следующая последовательность подбора эмпирических формул:

- данные измерений располагают на сетке координат, соединяют экспериментальные точки плавной кривой линией и выбирают ориентировочно вид формулы

- вычисляют параметры формул, которые наилучшим образом соответствовали бы принятой формуле. Подбор эмпирических формул необходимо начинать с самых простых выражений. Так, например, результаты измерений многих явлений и процессов аппроксимируются простейшими эмпирическими уравнениями типа

y = a + bx (1)

где а и b - постоянные коэффициенты.

Поэтому, при анализе графиков необходимо по возможности стремиться к использованию линейной функции. Для этого используют метод выравнивания (сглаживания), заключающийся в том, что кривую, построенную по результатам измерений, представляют линейной функцией. Для преобразования некоторой зависимости (кривой) y = f ( x ) в прямую линию, введем новые переменные

,

В некотором уравнении они должны быть связаны линейной зависимостью

Y = a + bX (2)

Значения X и Y вычисляются на основе решения уравнений (1). После этого строится прямая, по которой вычисляется a (точка пересечения прямой с осью ординат) и b (тангенс угла, образованного прямой и осью абсцисс), этот угол называется углом наклона, а тангенс этого угла есть, как известно из математики, геометрический смысл производной).

При графическом определении a и b обязательно, чтобы прямая строилась на координатной сетке, у которой началом является точка у = 0 и х = 0. Для расчета необходимо точки Y_i и X_i принимать на крайних участках прямой. Для определения постоянных уравнения прямой в уравнение (Y = а + bX) подставляют координаты двух крайних точек, взятых с графика. Из полученной системы уравнений вычисляют a и b.

Пример: Подобрать эмпирическую формулу для следующих измерений

Графический анализ этих измерений показывает, что точки ложатся на прямую линию и их можно выразить зависимостью ( 11 ). Берем координаты крайних точек и подставляем в ( 14 ). Тогда a + b 7 = 54