1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 32
Текст из файла (страница 32)
2) Доказать то же утверждение для совместных систем линейных неоднородных уравнений. Сравнить с задачей 17.3. 1). 19.29. 1) Доказать, что две однородные системы линейных уравнений эквивалентны тогда и только тогда, когда уравнения каждой из них являются линейными комбинациями уравнений другой системы. 2) Доказать то жс утверждение для совместных систем линейных неоднородных уравнений. Приложения (19.30 — 19.49) 19.30 (р).
Пусть Ах = Ь вЂ” произвольная система линейных уравнений. Доказать, что система уравнений (АтА)х = АтЬ совместна. 19.31 (р). Дана квадратная матрица А = ~~а,ь~~. Доказать, что если при всех г выполнено неравенство ~а;;~ ) ~~ ~ань~, то е1е1А ф О. й~г 19.32. Доказать, что для любых попарно различных чисел ам..., а„т ~ и любых чисел Ьм..., Ь„т~ существует единственный многочлен 11е) степени не вьппе и такой, что 7(а~) = Ьм ..., ~(а„т1) = Ь„ть 19.33. Найти многочлсн 7"(1) третьей степени такой, что Приведенные ниже задачи 19.34 — 19.49 относятся к прямой, окружности, плоскости и сфере. Следует брать за определение алгебраическое уравнение соответствующего множества, а при репеении задач применять теорию систем линейных уравнений, не пользуясь методами аналитической геометрии.
19.34. 1) (р) Сформулировать в терминах рангов и доказать условие на декартовы координаты (амЬ|), (а2, Ьз), (аз, Ьз) 172 Гл. 7. Сиетпемы линейных уравнений трех точек плоскости, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. 2) Решить тот же вопрос для четырех точек плоскости. 19.35 (р). Доказать, что через две различные точки с декартовыми координатами (амб1), (аэ,бг) проходит единственная прямая, и найти ес уравнение. 19.36. Показать, что через три точки с координатами (аыб1), (аз,бв), (из,бз), не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, н найти ее уравнение. Система координат декартова прямоугольная.
19.37. 1) Три прямые заданы на плоскости в общей декартовой системе координат уравнениями А,х+В,у+С, = О, 1 = 1, 2, 3. Сформулировать в терминах рангов и доказать условие на коэффициенты уравнений, необходимое и достаточное для того, чтобы эти прямые не проходили через одну точку. 2) Решить тот же вопрос для четырех прямых. 19.38. Используя результат задачи 19.37, определить, имеют ли данные прямые общую точку: 1) 2х+ Зу+ 1 = О, 7х+ 11у+ 4 = О, Зх+ 4у+ 1 = 0; 2) х + 8д + 1 = О, 7х — у + 1 = О, 11х — 26у — 1 = О, 8х+ 7у+ 2 = О. 19.39. 1) Четыре точки заданы своими декартовыми координатами (а,, б„с;), 1 = 1, 2, 3, 4.
Сформулировать в терминах рангов н доказать условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали в одной плоскости. 2) Решить тот же вопрос для пяти точек. 19.40. Используя результат задачи 19.39, определить, лежат ли данные точки на одной плоскости; 1) (7, -1,2), (2,3,1), (0,10,0), (3,4,1), (6, — 2,2); 2) (6,1,2), (2,3,1), (3,4,1), (6,2,2). 19.41. Показать, что через четыре точки с координатами (а„бн с,), 1= 1,2,3,4, не лежащие в одной плоскости, проходит единственная сфера, и найти ее уравнение. Система координат декартова прямоугольная. 19.42. Три точки заданы своими декартовыми координатами (анб„с;), г = 1,2,3.
1) (р) Сформулировать в терминах рангов и доказать условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. 2) Решить тот же вопрос для т точек (т, ) 4). ~ 1э. Системы линейных уравнений общего вида 173 19.43. Используя результат задачи 19.42, определить, лежат ли данные точки на одной прямой; 1) (2,3,1), (3,4,2), (0,1, -1), (-2, -1, -3), (-6, -5, -7); 2) (2,3,1), (3,4,2), (0,1,1), (2,1,3), (6,5,4). 19.44. Доказать, что через три точки с декартовыми координатами (а„бос„), 1 = 1,2,3, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость, и найти ее уравнение. 19.45. Две плоскости заданы в общей декартовой системе координат уравнениями А,х+В;у+С,г+Р, = О, г = 1,2.
Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости: Ц совпадали; 2) имели единственную общую прямую; 3) были параллельными, но не совпадали. 19.46. Три плоскости заданы в общей декартовой системе координат уравнениями А,х+ В;у+ С,е+ Р, = О, г = 1,2, 3. Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости: 1) совпадали; 2) имели единственную обшую точку; 3) имели единственную общую прямую; 4) были параллельными, но не все совпадали; 5) образовывали призму. 19.47.
Используя результат задачи 19.46, определить вза- имное расположение плоскостей: 1) Зх+ 2у+ 5г — 1 = О, 2х+ Зу+ Зг+ 1 = О, 9х+ 16д+ 13г+ 1 = 0; 2) х — р — а+1 = О, бх — 219 — 17г+1 = О, бх — 26у — 21г + 1 = О. 19.48. Четыре плоскости заданы в общей декартовой системс координат уравнениями А,х+ В.;у+ Сне+ Р„. = О, г = 1,2, 3,4. Известно, что пары, соответствующие г = 1,2 и г = 3,4, определяют прямые линии.
Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые: 1) пересекались; 2) были параллельными, но не совпадали; Глава 8 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА В этой главе используются следующие основные понятия и термины: вещественное линейное пространство (линейное пространсгаво над полем вещественных чисел), комплексное линейное пространство (,линейное пространство над полем комплексных чисел), линейная комбинация векторов, линейно зависимая система векторов, базис в линейном пространстве, координаты вектора в базисе, координатный столбец вектора, ко~ечпомерное линейное пространство и его размер~оспгь, арифметическое пространство (вещественное и ком лексное), бесконечномерное линейное пространство, матрица перехода от одного базиса к другому, линейное подпространство, пулевое подпросгаранство, линейная оболочка системы векторов (линейное подпространство, натянутое на зту систему векторов), сумма и пересечение.
двух (и любого конечного числа) надпространств, прямая сумма двух (и любого конечного числа) подароспгранспгт Перечислим основные примеры линейных пространств. 1) Геометрическое пространство — множество векторов (направленных отрезков) пространства, изучаемого в элементарной геометрии. 2) Арифметическое и-мерное линейное пространство Е„над полем вещественных чисел (вещественное арифметическое пространство)— пространство столбцов высоты и с вещественнылги элементами.
Операции сложения столбцов и умножения столбца на число осуществляются покомпонентно. Базис этого пространства, состоящий из столбцов единичной матрицы, называется стандартным. Координатами столбца относительно стандартного базиса являются его элементы. 3) Арифметическое и;мерное линейное пространство Си над полем комплексных чисел (комплексное арифметическое пространство) -- пространство столбцов высоты п с комплексными элементами. Операции и стандартный базис определяются так же, как и в Я„. 4) Пространство Е „„вещественных гаатриц размера т х и над полем вещественных чисел с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число. размерность пространства Еы,„„равна тпп.
В пространстве Лых„стандартныга называем базис, состоящий из матричных единиц Еко 1 = 1,..., т; у = 1,..., и (см. введение к з 15). Базисные матрицы упорядочиваем следующим обы разом: Е11~ Е21~ ° ) Еыы Е12~ ° ° ° ~ Ешг~ ° ~ Епм ° ° ~ Епп ) ) О другом способе упорядочивания см.введение к гл. 12. 176 Гли 8. Лииейпые пространства 5) Пространство С, „комплексных матриц размера т х и пад полем комплексных чисел. Операции, размерность, стандартный базис — такие же, как и в 7с 6) Пространство Р~"~ многочленов с вещественными коэффициентами от одной переменной 1, имеющих степени, не превосходжцие данного числа и.
Операции — обычные операции сложения много- членов и умножения многочлена на число. Размерность пространства Р~"~ равна и + 1. Стандартным базисом называем базис из многочленов 1, 1, г~, ..., 1". Произвольное линейное пространство обозначаем буквой ь", его размерность — с11шь". Если дйшь" = и, то пишем: ь"„. Элементы линейного пространства называем векторами,их координаты записываем в виде столбцов. Пусть Е = Ым...,б„) — координатный столбец вектора х в базисе е = (ем...,е„). Тогда х = ~~~ бьеь = еЕ„ и=1 где е понимается как строка из векторов еы..., е„. Формула (1) называется формулой разложения вектора х по базису е. Пусть векторы е~м...,е'„базиса е' заданы своими координатами относительно базиса е = (е1,..., е„): е, = ~~ тыего 1= 1,...,п. (2) и=1 Матрица Я, столбцами которой являются координатные столбцы новых базисных векторов е1,..., е'„относительно старого базиса е, называется матрицей перехода огп базиса е к базису е'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
