1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Это утверждение справедливо при любом базисе. Косинус угла 1р межлу векторами а, Ь, заданными своими координатами, можно вычислить по формуле (а, Ь) [а[ [Ь[ Площадь параллелограмма, .построенного на векторах а, Ь, равна Я = [[а,Ь)[. Объем параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с, равен Ъ' = [(а, Ь,с)[. Любой вектор Ь на плоскости или в пространстве можно представить в виде суммы двух векторов х — у так, чтобы вектор х был коллинеарен данному ненулевому вектору а, а вектор у ортогонален вектору а.
Вектор х называется ортогональной проекпией вектора Ь на прямую, направление которой определяется вектором а; вектор у называется ортогональной составляющей вектора Ь относительно втой прямой. Пусть в пространстве даны два базиса е1, ез, ез и е', е~з, е', и векторы второго базиса выражаются через векторы первого базиса по формулам е, = аые1+ а21ез+аззез, ! е', = а12е1 + а22е2+ а32ез (1) Ф ез — — аззе1 + аззез+ аззез. Тогда координаты о1, оз, оз вектора в первом базисе выражаются через его координаты о'„оз, оз во втором базисе следующим образом: у 1.
Ливейные соотнопгевия г г г ог = аы11, + аюог+ агзоз, Ог а21О1 т а22П2 + а23113 (2) г г оз а31о1 + а32о2 + аззо3 (коэффициенты в строках форзиул (1) превращаются в коэффициен- ты в столбцах формул (2). ПУсть в нРостРанстве Даны Две системы кооРДинат О, е1, ег, ез и О~, е1, е~, ез, причем начало второй системы координат имеет в пеРвой системе кооРДинаты аю, аго, азо, а вектоРы втоРого базиса выражаются через векторы первого базиса по формулам (1). Тогда координаты х, у, 3 точки в первой системе координат выражаются через ее координаты х', у', 3' во второй системе формулами: г г г х = а11х + аггу + а132 + аго, У = аюх'+ аггу'+ агзг'+ аго, 3 = азгх + азгу + азз2 + азо В задачах з 1 система координат считается общей декартовой без каких-либо дополнительных условий.
В задачах З 2, если не оговоре- но противное, координаты векторов задаются в ортонормированном базисе, а координаты точек в прямоугольной системе координат. В задачах 3 3, если не оговорено противное, координаты векторов задаются в ортонормированном правом базисе, координаты точек в прямоугольной системе координат, базис которой имеет правую ориентацию. й' 1. Линейные соотношения 1.1. Доказать утверждения: 1) конечная система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима; 2) конечная система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.
1.2. Может ли быть линейно зависимой система, состоящая из одного вектора? 1.3. Доказать, что для любых трех векторов а, Ь, с и любых трех чисел о, г3, у векторы сза — 13Ь, ?Ь вЂ” 1гс,,бс — уа линейно зависимы. 1.4. Даны три вектора н(1,2), Ь( — 5,— 1), с( — 1,3). Найти координаты векторов 2а+ ЗЬ вЂ” с, 16а+ 5Ь вЂ” йс. 1.5. Даны три вектора а(1, 3), Ь(2, — 1), с( — 4, 1). Найти числа сз и ф такие, что сза+ рЬ+ с = о.
1.6. Проверить, что векторы а( — 5, — 1) и Ь( — 1,3) образуют базис на плоскости. Найти координаты векторов с( — 1,2) и д(2, — 6) в этом базисе. 10 Глы 1. Векттторы и иоордиттатлы 1.7. Вектор а имеет в некотором базисе координаты (х, 1 — х), вектор Ь координаты (х~ — 2х, х~ — 2х+ Ц. При каких значениях х векторы 1) коллинеарны; 2)одинаково направлены? 1.8. Даны четыре вектора а(3,0, — 2), Ь(1,2, — 5), с( — 1,1,1), е1(8,4,1). Найти координаты векторов — 5а+Ь вЂ” Ос+ с1, За— — Ь вЂ” с — е1. 1.9. Даны четыре вектора а(4,1, — 1), Ь(3, — 1,0), с( — 1,1,1), с1( — 1,3, 4).
Найти числа ет, р, ? такие, что ета+ тбЬ+ ус+ с1 = о. 1. 10. Проверить, что векторы а(4, 1, — 1), Ь(1, 2, — 5) и с( — 1, 1, 1) образуют базис в пространстве. Найти координаты векторов 1(4, 4, — 5), пт(2, 4, — 10), п(0, 3, — 4) в этом базисе. 1.11. Проверить, будут ли компланарны векторы 1, гп и п; в случае положительного ответа указать линейную зависимость, их связывающую (здесь а, Ь, с . три некомпланарных вектора): 1) 1=2а — Ь вЂ” с, пт=2Ь вЂ” с — а, п=2с — а — Ъ; 2) 1=а+Ь+с, п1=Ь+с, п= — а+с; 3) 1=с, пт=а — Ь вЂ” с, п=а — Ъ+с. 1.12. Из одной точки пространства отложены три вектора а, Ь, с.
Доказать, что конец вектора с тогда и только тогда лежит на отрезке, соединяющем концы векторов а и Ь, когда выполнено равенство с = ета+ рЬ, где ет ) О, р > О, о + ф = 1. В каком отношении конец вектора с делит этот отрезок? 1.13. В параллелограмъее АВСР точка К .- середина отрезка ВС и точка О - точка пересечения диагоналей. Принимая за базисные векторы АВ и АР, найти в этом базисе координаты векторов ВР, СО, КР.
1.14. В треугольнике АВС точка ЛХ . середина отрезка АВ и точка О точка пеепесечсния медиан. Принимая за базисные вектоуы АВ и АС, найти в этом базисе координаты векторов АЛХ, АО, ЛХО. 1.15. В трапеции АВСР длины оснований АР и ВС относятся как 3: 2. Принимая за базисные векторы АС и ВР, найти в этом базисе координаты векторов АВ, ВС, СР, РА. 1.16. В трапеции АВС.Р длины оснований АР и ВС относятся как 3: 1. О точка пересечения диагоналей трапеции, Я вЂ” точка пересечения продолжений боковых сторон.
Принимая за базисные векторы АР и АВ,найти координаты векторов АС, АО, АЯ. Х й Линейные соотношении 1.17. Точки Б и Г являются серединами сторон АВ и СР четырехугольника АВСР. Доказать, что ВГ = (ВС+ АР)(2. 1.18. Дан правильный гнестиугольник АВСРЯГ. Принимая за базисные векторы АВ и АГ найти в этом базисе координаты векторов ВС, СР, РВ, ВГ, ВР, СГ, СВ. 1.19. В трапеции задачи 1.16 точка И - - середина стороны СР. Найти координаты вектора АР в базисе ОЯ, ОЛХ. 1.20. В треугольнике АВС точки К и Х середины сторон ВС и АС соответственно. Точки ЛХ и Х лежат соответственно на отрезках АК и ВЕ так, что ~АИ~: ~ЛХК~ = 6; 1 и ~ВЛХ~: ~ЛХЦ = 8: 3.
Точка Р середина отрезка ЛХЮ. Найти координаты вектора АВ в базисе ЛХХ, СР. 1.21. В треугольнике АВС точка ЛХ середина стороны АС, точки К и Х на сторонах АВ и ВС расположены так, что ~АК~: ~КВ~ = 3: 5, а ~ВХ ~: ~ЬС~ = 2: 3. Найти координаты вектора ВМ в базисе АХ, СК. 1.22. В треугольнике АВС точки К, Х, ЛХ расположены соответственно на сторонах АВ, ВС и АС так, что ~АК~: : ~КВ~ = (ВХ(: )ХС! = )СЛХ): (ЛХА! = 3: 1. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке Р.
Найти координаты вектора АР в базисе Х К, Х М. 1.23. В тетраэдре ОАВС точки К, Х, ЛХ, Х, Р, Я -- середины ребер ОА, ОВ, ОС, АВ, АС, ВС соответственно, В точка пересечения медиан треугольника АВС. Принимая за базисные векторы ОА, ОВ и ОС, найти в этом базисе координаты: 1) векторов АВ, ВС, АС; 2) векторов КХ, Р(~, СХ, МР, Кф 3) векторов Оо' и Ко'. 1.24.
Даны три точки О, А, В, не лежащие на одной прямой. Принимая за базисные векторы ОА и ОВ, найти: 1) координаты вектора ОМ, если точка ЛХ лежит на отрезке АВ и (АМ(: )ВИ! = т: н~; 2) координаты вектора ОХ, если точка Х лежит на прямой АВ вне отрезка АВ и ~АХ~: ~ВЛХ~ = т; п. 1.25. В треугольнике АВС проведена биссектриса А.Р. Найти координаты вектора АР в базисе, образованном векторами АВ и АС. Гл. 1.
Вектпоры и коордипагпы 1.26. Дан правильный шестиугольник АВСРЕЕ. Принимая за начало координат вершину А, а за базисные векторы АС и АЕ, найти координаты вершин шестиугольника и его центра. 1.27. В трапеции АВСР отнопление длин оснований АР и ВС равно 4. Принимая за начало координат вершину А, а за базисные векторы АР и АВ, найти координаты вершин трапеции, точки ЛХ пересечения ее диагоналей и точки Я пересечения боковых сторон. 1.28. Дан параллелепипед АВСРА1В1 С1Р1 .
Принимая за на лало координат вершину А, а за базисные векторы АВ, АР и ААм найти координаты: 1) вершин С, Вл и Сл., 2) точек К и Ь вЂ” середин ребер А1В1 и ССл соответственно; 3) точек ЛХ и М пересечения диагоналей граней АлВ1СлР1 и АВВ1 А1 соответственно; 4) точки О пересечения диагоналей параллелепипеда. 1.29. Три точки А(хму1), В(хгиуз), С(хз,уз), не лежащие на одной прямой, являются последовательными вершинами параллелограмма.
Найти координаты четвертой вершины Р этого параллелограмл|а. 1.30. Даны две различные точки А(хм умх1 ), В(хз,уо, гз). Найти координаты: 1) точки ЛХ, лежащей на отрезке АВ и такой, что ~АЛХ~: : (ВЛХ) =т:и; 2) точки Х, лежащей на прямой АВ вне отрезка АВ и такой, что ~АХ~: ~ВХ( = т: и. 1.31. Даны две точки А(3, — 2) и В(1,4). Точка ЛХ лежит на прямой АВ, причем ~АЛХ( = З~АВ~. Найти координаты точки ЛХ, если: 1) ЛХ лежит по ту же сторону от точки А, что и точка В; 2) ЛХ и В лежат по разные стороны от точки А. 1.32. Даны три точки А(хм ум сл), В(х2, ув, хз), С(хз, уз, кз), не лежащие на одной прямой. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника АВС. 1.33.
Зная радиус-векторы гм г2, гз, г4 вершин А, В, Р, А1 параллелепипеда АВСРА1ВлС1Ры выразить через них радиус-векторы остальных четырех вершин. 1.34. Отношение длин оснований АР и ВС трапеции АВСР равно т: и. Выразить радиус-векторы вершины Р, точки ЛХ Х й Линейные соотноиеения пересечения диагоналей трапеции и точки Я пересечения боковых сторон через радиус-векторы гм г2, гз вершин А, В, С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
