1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 13
Текст из файла (страница 13)
?. Кривые вгаорого порядка 7) стороны квадрата, вписанного в эллипс, проходят через фокусы эллипса. 7.27. Составить уравнения сторон квадрата, вписанного в 2 2 эллипс — + —, = 1, (а ) 5 ) О). Какую часть площади, огранив~ Ьа ченной эллипсом, составляет площадь этого квадрата? 7.28. Найти множество точек, являющихся серединами 2 2 хорд эллипса — + — ' = 1, параллельных прямой т+ 2у = 1. 25 9 7.29.
Через точку А(7/2, 7/4) провести хорду эллипса тз + + 4уз = 25, делящуюся в этой точке пополам. 7.30. Через точку М(0,3) провести прямую, пересекающую эллипс хз + 4уз = 20 в двух точках А и В так, что ~МА~ = = 2(МВ). 7.31. На эллипсе — + у = 1 найти точки из которых отэ 4 резок, соединяющий фокусы, виден: 1) под прямым углом; 2) под углом 60', 3) под наибольшим углом. 7.32. Составить уравнения семейств эллипсов: 1) с общими фокусами фс,0); 2) с общими директрисами л = та, и общим центром в начале координат.
7.33. Составить уравнение эллипса, если: 1) точки г'1(5, 1) и Рз( — 1, 1) являются фокусами, а прямая х = 31/3 — одной из директрис; 2) точка К ( — 6, 2) является одним из фокусов, точка А(2, 2) концом большой оси, эксцентриситет равен 2/3; 3) оси эллипса параллельны осям координат, точки А(4, О) и В(0, 4) принадлежат эллипсу, а точка В находится на расстоянии 3ъУ2 от одного из фокусов и на расстоянии 6 от соответствующей директрисы. 7.34.
Пусть О -- центр эллипса, а, 5 -- его полуоси, а А и  —. такие точки эллипса, что прямые ОА и ОВ взаимно перпендикулярны. 1 1 1) Доказать, что величина + постоянна для ~ОВР всех возможных пар точек А и В. 2) Найти наиболыпее и наименыпее значения длины отрезка АВ. з" 7. Геометрические свойства и канонические уравненил 67 Гипербола (7.35 — 7.50) 7.35. Найти полуоси, зксцентриситет, координаты фокусов, составить уравнения директрис и асимптот гиперболы: .2 у2 2 у2 1) —,— —,=1; 2) —,— —,= — 1; а2 62 а2 62 х у2 3) — — — =1; 4) у2 — х2=1 16 9 5) ху=1; 6) ху= — 2. 7.36. Дана гипербола 100х2 — Збуа = 1.
Определить, лежит ли точка А на гиперболе, внутри одной из ее ветвей или между ветвями: Ц А(118,— 1(8); 2) А(1,1); 3) А(1,7); 4) А( — 1(2,0). 2 7.37. Вычислить длину фокальной хорды гиперболы —— 4 — — = 1,перпендикулярной действительной оси. 49 7.38. В данной системе координат гипербола имеет каноническое уравнение. Составить зто уравнение, если: 1) расстояние между вершинами равно 10, а расстояние между фокусами равно 12; 2) длина вещественной оси равна 1, а точка (1,3) принадлежит гиперболе; 3) директрисами гиперболы являются прямые х = х „Д/6, а точка ( — 9,4) принадлежит гиперболе; 4) длина мнимой полуоси равна 1, а вершина гиперболы делит отрезок между фокусами в отношении 4: 1; 5) эксцентриситет гиперболы равен 7/5, а расстояние от вершины до ближайшего фокуса равно 2; 6) точка (7, — 2кЛ), принадлежащая гиперболе, удалена от левого фокуса на расстояние 4ъ 7; 7) угол между асимптотами, содержащий фокус, равен 60', а расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно — (2 — БАГЗ); 8) точка ( — 5/4, 3/2) принадлежит гиперболе, а асимптотамн являются прямые у = х2х; 9) точка ( — 1, 3) принадлежит гиперболе, а асимптотами являются прямые у = х2х.
7.39. Составить каноническое уравнение гиперболы, содержащей точку ( — 1, 3) и имеющей асимптоты у = х2х (сравнить с задачей 7.38, 9)). 68 Гл. о'. Кривые второго порядка 7.40. Вычислить зксцентриситет гиперболы, если: 1) ее полуоси равны (равносторонняя гипербола); 2) угол между асимптотами, содержащий фокус, равен 120', 3) асимптотами гиперболы являются прямые у = ~3х.
7.41. Вычислить эксцентриситет гиперболы, имеющей в данной системе координат каноническое уравнение, если: 1) расстояния от точки ЛХ(5, — 4), принадлежащей гиперболе, до директрис относятся как 2: 1; 2) сумма расстояний от точки Х( — 5, — 4) до асимптот гиперболы равна 20/3. 7.42. Выразить эксцентриситет гиперболы через эксцентриситет е эллипса, имеющего с этой гиперболой общие фокальные хорды, перпендикулярные действительной оси.
7.43. Составить уравнение гиперболы, которая имеет общие фокальные хорды, перпендикулярные действительной .2 2 оси, с эллипсом — + — ' = 1. 5 3 7.44. Найти множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы хз — 2у~ = 1, параллельных прямой 2х — у = О. 7.45.
Через точку А(4, 4) провести хорду гиперболы х у — — — = 1, делящуюся в этой точке пополам. 3 4 г 7.46. На гиперболе х — — = 1 найти точки из которых 2 У 4 отрезок, соединяющий фокусы, виден; 1) под прямым углом; 2) под углом 60', 3) под наиболыпим углом. 7.47. Составить уравнения семейств гипербол: 1) с общими фокусами (~с,О); 2) с общими директрисами х = тЫ н общим центром в начале координат; 3) с общими асимптотами у = вакх. 7.48. Составить уравнение гиперболы, если: 1) точки Г1(3, — 2) и Рз(5, — 2) являются фокусами, а прямая л = 7/2 одной из директрис; 2) точка Е (1, 3) является одним из фокусов, точка А( — 4, 3) — вершиной, а эксцентриситет равен 3/2; 3) точка г'(О, 0) является одним из фокусов, а прямые х + у + 2 = 0 -. асимптотами.
~ 7. Геометрические свойства и канонические уравнения 69 7.49. Доказать, что для данной гиперболы следующие величины постоянны, и выразить их через полуоси а, 6 гиперболы: 1) произведение расстояний от любой точки гиперболы до ее асимптот; 2) площадь параллелограмма, одна из вершин которого лежит на гиперболе, а две стороны лежат на асимптотах. 7.50. Доказать, что вершины гиперболы и четыре точки пересечения ее директрис с асимптотами лежат на одной окружности.
Выразить радиус этой окружности через длину действительной полуоси. Парабола 17.51-7.64) 7.51. Найти координаты фокуса и составить уравнение директрисы параболы: 1) у2=2рх, р>0; 2) у2= — рх, р>0; 3) у2=6х; 4) уз= — Зх; 5) у=т2; 6) у= — ъ~Зх2. 7.52. Как расположены по отношению к параболе у~ = 10х следующие точки: 1) (5, — 7); 2) (8, 9); 3) (5/2, — 5)? 7.53.
Вычислить длину фокальной хорды параболы у~ = = х/5, перпендикулярной оси параболы. 7.54. В данной системе координат парабола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если: 1) точка (5, — 5) принадлежит параболе; 2) расстояние от фокуса до директрисы равно 12; 3) длина хорды, проходящей через фокус под углом 45' к оси параболы, равна 18. 7.55. Найти уравнение множества точек, являющихся серединами хорд параболы ув = Зх, параллельных прямой 2х+ Зу — 5 — О.
7.56. Доказать, что середины хорд параболы, параллельных некоторой прямой, лежат на прямой, параллельной оси параболы. 7.57. Через точку А15,3) провести хорду параболы у2 = = бх, делящуюся в этой точке пополам. 7.58. На параболе у2 = 10х найти точку М такую,что: 1) прямая, проходящая через точку И и фокус параболы, образует с осью Ох угол 60', 70 Гл. оуь Кривые второго порядка 2) площадь треугольника с вершинами в искомой точке М, фокусе параболы и точке пересечения оси параболы с директрисой равна 5; 3) расстояние от точки М до вершины параболы равно расстоянию от М до фокуса; 4) расстояния от точки М до вершины параболы и до фокуса параболы относятся как 8: 7. 7.59.
Найти множество значений, которые может принимать отношение расстояния от точки параболы до ее вершины к расстоянию от той же точки до фокуса. 7.60. Составить уравнение параболы с параметром р, вершина которой имеет координаты (а,б), а направление оси совпадает: 1) с положительным направлением оси Ох; 2) с отрицательным направлением оси Ох; 3) с положительным направлением оси Оу; 4) с отрицательным направлением оси Оу. 7.61. Составить уравнения семейства парабол: 1) имеющих общий фокус (0,0) и симметричных относительно оси Ох; 2) имеющих общую директрису х = 0 и симметричных относительно оси Ох.
7.62. Составить уравнение параболы, если: 1) точка Г(7,0) является фокусом, а прямая х = 1 директрисой; 2) точка Р(7,0) является фокусом, а прямая х = 8 -- директрисой, 3) точка Г(0, 1) является фокусом, парабола симметрична относительно оси Оу и касается оси Ох; 4) ось параболы параллельна оси Оу, фокус лежит на оси Ох, парабола проходит через начало координат я высекает на оси Ох отрезок длины 6. 7.63. Найти наибольший радиус окружности, лежащей внутри параболы у~ = 2рх и касающейся этой параболы в ее вершине.
7.64. Две параболы, оси которых взаимно перпендикулярны, имеют четыре точки пересечения. Доказать, что эти четыре точки лежат на одной окружности. 7.65. Кривыс у = х~ — 5 и х = 3 — у~ пересекаются в четырех точках, лежащих на одной окружности. Найти координаты центра этой окружности. у 8. Каеагпелькые к кривим вгпороео порядка 71 8 8. Касательные к кривым второго порядка 8.1. Составить уравнение касательной к кривой: г г 1) — + — = 1 в точке (3, 1): 12 4 г г 2) — + — ' = 1 в точке (3, — 3); 36 12 х у 3) — — — = 1 в точке ( — 3, 0); 9 12 х у 4) — — — = 1 в точке (6, 1): 32 8 5) ху = 8 в точке (4, 2); 6) уг = бх в точке (3/2, 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
