Intel_Nils (526801), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(Заметим, что если й'= — 0 для целевых вершин, то это ограничение включает в себя предыдущее ограничение на й", состоящее в том, что 6— нижняя граница для й. Это можно увидеть, взяв в качестве а целевую вершину.) Это новое ограничение, например, не будет нарушаться, если эвристическая информация, используемая для вычисления й, непротиворечиво применяется во всех'вершинах. Поэтому мы будем называть это предположение предположением о непротиворечивости. (Легко проверить, что, например, использование условия й' = Ф'(и) для игры в восемь удовлетворяет условию непротиворечивости.) Если функция й" каким-то образом изменяется в процессе перебора, то предположение о непротиворечивости может и не удовлетворяться.
Зль Оптимальность алгоритма Аь Пользуясь предположением о непротиворечивости, мы можем доказать в общем случае, что когда при работе алгоритма Аь происходит раскрытие некоторой вершины, то оказывается, что оптимальный путь к этой вершине уже найден. Этот факт важен по двум причинам. Во-первых, он используется прн доказательстве теоремы об оптимальности алгоритма А*, проводимом ниже. Во-вторых, в нем утверждается, что в алгоритме А' никогда не придется изменять направление указателя, идушего от закрытой вершины, так как оптимальный путь к этой вершине уже найден. Таким образом, возможность переоткрытия вершин, предусмотренная на шаге 7 работы алгоритма упорядоченного поиска (стр.
66), оказывается излишней и может быть удалена нз него, если удовлетворяется предположение о непротиворечивости. Лемма 3.2. Предположим, что выполнено предположение о непротиворечивости, и предположим, что вершина и закрыта алгоритмом Аь, Тогда 3(п) = д(п). Доказательство. Рассмотрим дерево перебора вершин, порожденных алгоритмом А* непосредственно перед закрытием вершины и, и предположим противное, т. е. предположим, что д(а) ) д(п).
Далее, существует некоторый оптимальный путь Р из з в и. Так как 3(п) ) д(п), то этот-путь не найден алгоритмом А*. Но по лемме ЗА существует открытая вершина п' на пути Р с ф(п') = 3(п'). Если и' = и, то лемма доказана. В противном случае д(а)=н(а')+й'(а', и) =йт(п')+й(п', и). Таким образом, если мы предполагаем, что ф(а) ) д(п), то ф(п) > ф(п') + й(п', а). Прибавляя а(п) к обеим частям выписанного неравенства, почучаем д (и) + а (а) ~ д (а') + й (и', а) + а (и). Мы можем применить предположение о непротиворечивости к правой части предыдущего неравенства и получить 3 (и) + й (и) ) 3 (а') + й (и'), или ) (п) > ) (и') в противоречии с тем фактом, что в алгоритме А* для раскрытия была выбрана вершина а, когда имелась вершина а', что и доказывает лемму.
Далее нам нужно показать, что если б — нижняя граница для й, то значение 7 для вершины, закрытой алгоритмом А", Гл. 3. Метода паис«а в пространстве состояний не может быть больше стоимости оптимального пути от з к целевой вершине. Лемма З.З. Для любой вершиньл и, закрытой алгОритмом А, если й" — нижняя граница для Ь, то т'(и) ()(з).
Доказательство. Оно легко получается из леммы ЗА. Пусть и — любая вершина, закрытая алгоритмом А*. Если и — целевая вершина, то мы тривиально имеем г(п) = ~(з). Поэтому предположим, что и не есть целевая вершина. Далее, вершина и была закрыта в алгоритме А' перед окончанием его работы, так что сейчас мы знаем (по лемме ЗА), что существует некоторая открытая вершина и' на оптимальном пути от з к цели с Г(п') (((з).
Если и = и', то наше доказательство закончено. В противном случае мы знаем, что для раскрытия алгоритмом А* будет выбрана вершина п, а не и', так что это должен быть случай, когда г (п) ~ () (и') () (з). После доказательства этих двух лемм мы можем доказать оптимальность алгоритма А*.
Теорема 3.2. Пусть А и А' — допустимые алгоритмы, такие, что А" более информирован, чем А, и пусть предположение о непротиворечивости удовлетворяется той функцией й', которая используется в алгоритме А'. Тогда для любого графа верно, что если алгоритм А* раскрывает вершину и, то ее раскрывагг и алгоритм А. Доказательство. Предположим противное. Тогда существует некоторая вершина, которая была раскрыта алгоритмом А*, но не была раскрыта алгоритмом А (поскольку вершина и была раскрыта при работе алгоритма А', то мы знаем, что эта вершина — не целевая).
Если алгоритм А никогда не приводит к раскрытию вершины п, то это должно быть по той причине, что он использовал информацию, согласно которой любой путь к целевой вершине, идущий через вершину и, имел бы стоимость, ббльшую или равную значению г(з) — истинной стоимости оптимального пути к цели. (Если бы имелся менее дорогой путь к пели, проходящий через вершину и, то в алгоритме А он без сомнения был бы пропущен и этот алгоритм оказался бы недопустимым, что противоречит нашему предположению.
Таким образом, мы 'должны предположить, что алгоритму А «известно» отсутствие менее дорогого пути, проходящего через и.) Действительная стоимость оптимального пути при условии, что он проходит через вершину и, равна ) (и) = д (и) + й (и), откуда мы получаем, что Ь (и) = ) (и) — й (и). дну. Эвристическая сияя фуккяии 6 Далее, согласно приведенным выше соображениям, алгоритму А «известноь, что ((й) )((з), н, следовательно, ему известно, что й (л) » )г (5) — и (н). Такая информация, доступная алгоритму А, могла бы позволить получить нижнюю граничную оценку для й' (п) = ! (з) — и (и). С другой стороны, в алгоритме А' была использована следующая оценочная функция: ) (и) =я(п)+ й(п).
Из леммы 3.3 известно, что ) (л) ( )(з). Таким образом, мы знаем, что у (п) + пс (й) < ) (з). Следовательно, какова бы нн была функция й', использованная в алгоритме А*, она должна удовлетворять неравенству пс (п) () (з) — й (и). Далее, когда по алгоритму А* раскрывается вершина н, то, согласно лемме 3.2,д(л) = д(л) и, таким образом, й (л) (((з) — д (л). Но теперь мы видим, что по крайней мере для вершины п з алгоритме А использована информация, дающая для й нижнюю границу, не меньшую, чем нижняя граница, использованная в алгоритме А"'. Таким образом, алгоритм А ' 'не может быть более информированным алгоритмом по сравнению с алгоритмом 'А, что противоречит нашему предложению. Теорема доказана. ЗЛО.
ЭВРИСТИЧЕСКАЯ СИЛА ФУНКНИИ й При определении эвристической силы алгоритма упорядоченного пон ка выбор функции й" играет решающую роль. Использование условия й" о гарантирует допустимость, но ведет к слепому перебору и поэтому обычно оказывается неэффективным, Выбор в качестве Л наибольшей нз возможных нижних границ для й приводит к тому, что раскрывается наименьшее число вершин, при котором еще сохраняется допустимость. Часто эвристическая сила алгоритма может быть повышена ценой отказа от допустимости при использовании в качестве 6 некоторой функции, не являющейся нижней границей для й.
Такая дополнительная эвристическая сила позволяет решать Гл. 3. Метода поиска е прострапстее состоанид существенно более трудные задачи. Для игры в восемь функция б(п) = )т'(и) (где )тт(п) — число фишек, находящихся непа своих местах) есть нижняя граница для й(п), но эта оценка ие обеспечивает очень хорошей оценки трудности данного расположения фишек (в смысле числа шагов, отделяющих от цели), Лучшую оценку дает функция 6(п) =Р(п), где Р(п) — сумма расстояний каждой фишки от «своего места» (без учета.
фишек, расположенных на ее пути). Однако даже эта оценка слишком груба, так как в ней не учитывается должным образом трудность обмена местами двух соседних фишек. Следующая оценка достаточно хороша для игры в 'восемь: Ь (и) = Р (и) + ЗЯ (и); здесь 3(а) — число очков, учитывающее порядок расположения фишек. Для его вычисления нужно последовательно просмотреть все нецентральные фишки в данной конфигурации и за каждую фишку, за которой не идет та фишка, которая должна бы идти (в целевой конфигурации), начисляется два очка, а в противном случае берется нуль очков. За фишку, находящуюся в центре, начисляется одно очко. Отметим, что такая функция 6 не дает нижней границы для 6. Используя такую функцию й" в оценочной функции т(п)= = В(п) +6(п), мы можем легко находить решения в намного более сложных случаях игры в восемь, чем рассмотренные ниже.
На рис. 3.8 приведено дерево, возникающее в результате применения алгоритма упорядоченного перебора с этой оценочной функцией к задаче преобразования левой из следующих конфигураций в правую: Как и раньше, значение т для каждой вершины помещено в кружок, а цифры без кружков указывают порядок, в котором раскрывались вершины. Оказалось, что решающий путь имеет минимальную длину (18 шагов), хотя, поскольку функция Ь не есть нижняя граница для Й, нахождение оптимального пути не было гарантировано. Заметим, что такая функция 6 приводит к перебору, направленному достаточно прямо к цели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
