markov_teorija_algorifmov (522344), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Поступая так, мы будем отвлекаться от ограниченности наших возможностей в пространстве, времени и материале. Это отвлечение принято называть абстракцией потенциальной осуществимости. 2. Абстракция потенциальной осуществимости позволяет нам рассуждать о сколь угодно длинных конструктивных процессах и сколь угодно больших конструктивных объектах. Их осуществимость потенциальна: они были бы осуществимы практически, располагай мы достаточными пространством, временем и материалом. Привлекая абстракцию потенциальной осуществимости, мы считаем верным следующее высказывание: 2.1.

Ко всякому слову в данном алфавите может быть приписана справа ~слева) любая буква етого алфавита, и вп.о дает другое слово в пюм же алфавите. В частности, 2.2. Ко всякому натуральному числу может быть прибавлена единица, и вто дает другое ншпуральное число. 3. Применения абстракции потенциальной осуществимости в дальнейшем большей частью будут неявными, Имея в виду потенциальную осуществимость процесса или объекта, мы обычно будем просто говорить, что этот процесс или объект осуществим, опуская слово «потенциально».

4. Абстракция потенциальной осуществимости, как и всякая абстракция, вносит туда, куда она привлекается, элемент фантазии. Он неизбежно присутствует во всякой абстрактной науке, в том числе и в математике. Классическая е) математика привлекает абстракции, идущие гораздо дальше абстракций конструктивной математики. В частности, она пользуется абстракцией актуальной бесконечности, т. е. позволяет себе рассуждать о „бесконечных множествах" как о законченных неконструктивных „объектах". Различие между „классиками" и „конструктивистами" состоит в том, что они привлекают разные абстракции, т. е.

фантазируют по-разному. $ б. Абстракция отождествления 1. При рассмотрении двух букв какого-нибудь алфавита мы констатируем, что они одинаковы или что они различны. Например, мы видим, что пятая и седьмая буквы слова «констатируем» одинаковы, а первая и последняя буквы этого слова различны. Одинаковость и различие букв мы определяем при этом „на глаз".

Для приемлемого алфавита распознавание одинаковости или различия букв проходит легко. Для этого требуется лишь, чтобы различия неодинаковых букв значительно превосходили мелкие различия букв одинаковых. 2. Рассуждая о буквах какого-нибудь алфавита, мы обычно привлекаем абстракцию отождествления, т. е. позволяе! себе говорить о двух одинаковых буквах как об одной и той же букве.

Например, мы можем сказать, что буква «т» дважды входит в слово «констатируем», вместо того чтобы сказать, что в это слово входят две буквы, одинаковые с буквой «т». е) Так для крпнникнсн мы называем математику, еснонынающуюся и саоем построении на теоретико-мноисестненных представлениях. те 36 37 ВВЕДЕНИЕ дизъюнкции Зт! [ГЛ.

! 3. Абстракция отождествления применима, разумеется, ие только к буквам какого-нибудь алфавита, но и к конструктивным объектам других видов, лишь бы только можно было осмысленно говорить о какой-то одинаковости этих объектов и лишь бы было естественно рассматривать эти объекты с точностью до одинаковости, т. е.

пренебрегая различиями между одинаковыми объектами. В частности, эта абстракция применима при рассмотрении слов в данном алфавите, так как одинаковость слов определяется естественным образом как нх графическое равенство. Обычно мы будем применять абстракцию отождествления к буквам и к словам, не оговаривая этого. Наоборот, мы будем отмечать те случаи, когда эта абстракция не применяется к буквам или к словам. 4.

Применяя в дальнейшем абстракцию отождествления, мы будем рассматривать ее только как удобный способ вы а- Р жения, сокращающий формулировки. По этим сокращенным формулировкам всегда без труда могут быть восстановлены более длинные формулировки, обходящиеся без абстракции отождествления. Привлекая абстракцию отождествления, можно утверждать, что число «шесть» единственно. 5. Построением конструктивного объекта мы называем всякий конструктивный процесс, результат которого одинаков с этим объектом. Рассматриваемые конструктивные процессы мы всегда будем считать состоящими из последовательных элементарных конструктивных актов — шагов процесса. В качестве шага конструктивного процесса может при этом фигурировать не только написание нового элементарного знака, но и уничтожение старого знака (например, путем стирания с доски).

Шаг может также состоять в сравнении каких-нибудь двух ранее осуществленных элементарных знаков на предмет установления нх одинаковости или различия. Результатом такого шага может быть осуществление третьего элементарного знака в зависимости от того, одинаковы или различны два сравниваемых. $6. Существование конструктивного объекта Результаты, связанные с нашей способностью осуществлять конструктивные процессы, в математике часто формулируются в виде теорем гущесгпвования, утверждающих существование объектов, удовлетворяющих таким-то требованиям.

В конструктивной математике под этим подразумевается, что построение таких объектов потенциально осуществимо, т. е. что мы владеем способом их построения. Это конструктивное понимание теорем существования расходится с тем, как их понимают в классической математике. Правда, „классики" не любят объяснять свое понимание таких теорем. Однако из того, как они обходятся со словом «существует>, следует, что их понимание этого слова отлично от конструктивного.

Они, например, считают возможным утверждать существование конструктивного объекта, удовлетворяющего данному требованию, уже тогда, когда им удается путем «приведения к нелепости» опровергнуть предположение о том, что ни один объект ие удовлетворяет этому требованию. Способ построения искомого объекта может при этом и не быть известен. Таким образом, конструктивное понимание высказываний о существовании отлично от классического. $7. Дизъюнкции !. Конструктивная математика отличается от классической также пониманием дизеюнкций, т. е.

высказываний, образуемых из двух высказываний, соединяемых союзом «или», как, например: «существует простое число, меньшее двух, или существует простое число, большее двух». Высказывания, соединяемые союзом «или» при построении дизъюнкции, называются первым и соответственно вторым членами этой дизъюнкции. В конструктивной математике дизъюнкция понимается как осуществимость указания ее верного члена, т. е. как потенциальная осуществимость конструктивного процесса, дающего один из членов днзъюнкции, который будет верным. Так, в приведенном примере второй член дизъюнкцни может быть указан как верный, и потому данная дизъюнкция верна.

2. Описанное только что конструктивное пониманиедизьюнкций отлично от их понимания в классической математике. Правда, „классики" не объясняют свое понимание дизъюнкций. Однако они считают дизъюнкцию верной уже тогда, когда им удается опровергнуть предположение о том, что ни один из ее членов не верен. Умения находить верный член дизъюнкции при этом не требуется. 3. Аналогично двучленным днзъюнкциям могут строиться и пониматься дизъюнкции трехчленные, четырехчленные и ввадвнив т.

д. Например, четырехчлениая дизъюнкция строится из четырех высказываний, соединяемых тремя союзами «иля». Эти высказывания называются членами дизъюнкции. Такая дизьюнкция тоже понимается как осуществимость указания ее верного члена. В случае, когда в нашем распоряжении имеется список всех конструктивных объектов интересующего нас вида, причем этот список содержит более одного названия, высказывание о существовании конструктивного обьекта, удовлетворяющего данному требованию, оказывается, как нетрудно видеть, равнозначным многочленной дизъюнкции, каждый член которой утверждает, что один из объектов списка удовлетворяет выдвинутому требованию, причем все объекты, списка фигурируют в этом смысле в дизъюнкции. $ 8. Проблема построения конструктивной математической логики 1.

Из сказанного в Я 6 и 7 следует, что конструктивная математика нуждается в особой логике, отличной от логики классической математики. В самом деле, по крайней мере две из обычных шести логических связок «и», «или», «если..., то», «неверно, что» *), «при всяком», «существует... такой, что» понимаются в конструктивной математике иначе, чем в классической. Другое понимание логических связок, естественно, требует и другого обращения с ними, других правил действия, одним словом, другой логики. 2. В идее неединственности логики, разумеется, нет ничего удивительного.

В самом деле, с какой стати все наши рассуждения, о чем бы мы ни рассуждали, должны управляться одними и теми же законами? Для этого нет никаких оснований. Впервые настойчиво подчеркивать зту идею стал один из крупнейших математиков нашего века Л.Э. Я . Брауэр, который в противовес теоретико-множественной концепции Кантора предложил свой особый подход к построению математики, названный им «интуиционистским». Брауэр убедительно показал, что для построения интуициоиистской математики требуется особая, интуиционистская логика, отличная от классической. Об этом подробно пишет А.

Гейтинг в гл. 1 книги Н1. 3. Задачу построения коыструктиемой математической логики (т. е. логики конструктивной математики) мы будем ') Точиее было бы говорить о связке «ие». Одиака сисчеыатичесиое использоваиие этого оборота приводит и иеудобочитаеыым речевым коиструипияы. «9 3 ВЫСКАЗЫВАНИЯ ОБЩНОСТИ зз пытаться решить путем надлежащего истолкования традиционных л х логических словосочетаний, т.

е. высказываний, образуемых с х с их помощью. Это истолкование должно соответствовать цели конструктивной математики — изучению конструктивных процессов и конструктивных объектов. Этой задачей для связок «или» и «существует... такой, что» мы уже занимались в Я 6 и 7. Связка «и» не представляет в этом отношении никаких трудностей.

Самое обычное ее понимание пригодно для конструктивной математики. Высказывания, образуемые из двух высказываний, соединяемых союзом «и», называются конъюнкциями. Два высказывания, соединяемые союзом «и» при построении конъкжкции, называются первым и вторым членами этой конъюнкции. Конъюнкцию мы будем понимать как утверждение об истинности обоих ее членов. Аналогично трактуются многочленные конъюнкции. Остается указать приемлемые конструктивные истолкования для остальных трех связок: «при всяком», «если..., то» и «неверно, что».

Характеристики

Список файлов книги