20 (509765)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Рн: ы. Ва вант 20 Залача 1 Пайзн сумму ряда 18 '"=' и' - 7п 10 Произведем эквивалентные преобразования ряда: ')ак как и -7пз-10 =- (п-5)(п-2), то получаем; чго исходный ряд мы можем переписать а следующем аиде:, ! "' п" — 7п+10 " '(и — 2)(п —.'5)' '(п — 2 п — 5 1 1 1 '! . !'-1 1 -----)~=,'". 1З.— (.—— 3 п — 5 и — 2)' "' 3 п--5 п — 2 — T, 7", 1 1 . '~'., 1,, 1 =б ' ( — )=б(у" -7" ) --'': 1 Рассмо'Г(знм ряд 7 к=т и — 5 Произведем замену,'п-5 = !с), тогда суммирование будет 1 1 пропзаодитаоя оз к =- и-5 = -', и -7';-- 7 -5 =2, а и — 5 1 Полсгавнк1 полученные значения в ряд ~~ 'и 5 Радев Ва шант 20 Произведем аналогичные преобразования и .с '-рядом 1 1отда для нсГО замепа (п-2=1:~; о П вЂ” .

иачачьиос К = и-2 = ( и =-7,' = 7-2="5, а 1 п — 2 Е 1 ! 1одставим данные в у " 'и — 2 Итак, мы получили, что исходньщ ряд равен разности двух рядов: 18 ~-. 1,з 1 =б~,-- ~"", 1= 1З 1З --- б(( — + — . — + 7 ' --~ — 7 — ) = б. — =— "-'1 12 18 1З Отве~ У "='-и': — '7п+10 2 Ря. ы. Ва иант 20 )влача 2 Иссле щва Гь ряд иа сходимость: .,-.- " ' (и+ 1)(п ~ 2) 1-япп Обозначим а,,:— ('п -:1)(и -' 2) Тогда для всех и верно следующее утверждснйе: 2 а„< —,.

так как! -ьзи (и) <2. 11' 1 Докажем сходимость ряда 2'- 2 —, '!'о| да из его '~'"'и сходимости будет следовать сходимость исходного ряда, гак как тогда он будет ограничен сходящимся рядом сверху и нулем снизу (все члены ряда неотрнпагельны). 1 Обозначим Ь,; = — —, По признаку сравнения (говорящему, и 1 что ряд вида у †сходит только при условии„ что а "'и" строго болыпс.,1, т.е." а>! и расходится в противном сл)'щс, 1 щзн а,<1),)зяд у — — сходится, та«ка«вьлголнясзся и-! г п условие с«аламос гн: 2>1. 1 — вши Позтому и исходный 2 — -.

ряд гоже сходи гся. "" (и + 1)(п + 2) ! — з1П н Оз вет: ряд у ' — - — — сходи ~ ся. (п 1)( -: 2) Ри ы. Ва иант20 '1 здача:. Исследовать ряд на сходимосгтс Х .,:-- и з! —.3 фи — 1)(п~'и 3 — 1) и 1 и+1 Обозначим а„=----- =-- — -.= -- — ' ' . — < л !)(Пъ и 1) (мп 1)(пзз п 1) п+1 п+1 2П 2; 2 3: < -.дГ, 3 з з,з: 3,:зззз ~иит1 и — " .'-- -.— и 113 4 П334 пз4 Докажем сходимость ряда 2~, ' ' ', . Тогдаиз его ;~ '..1 и" сходимости будет следовать сходимость исходного ряда, гак как тогда он будет ограйичен сходящимся рядом сверху и нулем снизу (все члены ряда нсотрипательны).

1 Обозначим Ь„=- —,; —,;;-. По признаку сравнения(говорящему, 1 его ряд вида ~; —,сходится только при условии, что а и "Г Ф,', строго больше 1, т.е. а>1 и расходится в противном случае, ири а<1), ряд:2з — - —, сходится, так как выполняется 1 33!ЗЗ 13 условие сходимости: — - > 1. 12 и 3-1 Тогда исходный ряд ~ -, — — гоже сходится. — 6/и - 1)(П4г' - 1) и ь1 11пзст: ~ — --- ----, сходится. ;-. (3.'11 -1)(и'(3п3 -1) Ряды. Ва иант20 'зада~ а .ф Исследовать ряд иа сходимосп,: ~-з'х.п,, (и:1)! ~п~~ 2 Обозначим п„-' —— (и+ 1)! Используем признак Даламбсрсс ~ 5"'фи+1)' !пп! —" — '! = 1пП вЂ”,— — — ~ -Йпз! 5(- — )' -,— 1=-0 <1 "- ~ а ) " 5"'!' ' ' -"( п (п+2)) (п+ 1)!' '1'ак как по признаку Даламбера ряд сходится.

если для всех достаточно болыпнх п выполнено неравенство - -."-' — ' < ц < ! а а.1 и и расходится, когда — ' > 1, то исходный ряд сходится, а, Ответ: ~ -- - -сходится. :(1з + 1)! Ря ы. Ва иаит 20 Задана з !1сслсдоаа~ь ряд па сходимость: Х и ,3п — 1„' Воспользуемся признаком Коши: ив Если 1!ш !1а„< 1, то ряд,~ а„- сходится: 1-~ ан Если !ип ~а„> 1, то ряд,Г а„-.расходится. им и~ 1~ 1!пз "! а„= !пп~ — ~ = 1!тп~ — + — — = О < ! 1,Зп — 1~ ...

» ~ 3 3(3п — 1)) Таким образом, по признаку Коши исходный ряд является сходящимся. Ряды. Ва иант20 1адача 6 Исследовать ряд на сходнмость: 1 Х. — — — ---=Х' « ~ !'Зп — 1).„Лп!и — 2) Воспользуемся предельным признаком сходимости. Если два ряда ~~ н«и ~ Ь«удовлетаоряют условию « !пп---''- =- Х, „где Х вЂ” конечное число, "ие равное 0«то ряды Ь„ ~~~ а, и ~> Ь«сходятся или расходятся одновременно. «и Рассмотрим следующий ряд: . 1 Х вЂ” — — — - - =-ХЬ« „; (п — 2) /!п(п — 2): 1пп —" =1 - это конечное число.

неравное 0 '-' Ь„ Значим ряды 2 ««и ~~ Ь«сходятся или расходятся одновременно. Для исследования сходимос~и вторило ряда восчюльзуемся нптргралвным признаком схолимости рядов. Ря ин Ва иаит 20 Вели неко юрая функция 1'(х) удовлетворяет уссповию 1(~) = 11,, то если ~Г(х)11х сходится, то и ряД,> Ь, сходится, а если )('(х)1)х расходится, то,и.

ряд,) Ь, -*! П- ' расходится. Рассмотрим следук>щую функцию:--. 1(х) = — — —;,:- — = 1 (х — 2) ~г)п(х — 2) Рели ~Г(х)дх сходится„го и'ряд ~ Ь„сходится, если п=4 интеграл расходится, тп И ряд ~~1 Ь. расходится. дх:, д!п(х — 2) — — ~)- . = 2~1п(х — 2) ' =со ... (х — 2) ~Яп(х — 2) -,,) 1п(х — 2) 1 1) га1ет; ~~ — - — — - -- — расходится, (Зп — 1) /111(п — 2) Интеграл расходится, значи1 и ряд ~~» Ь„расходится.

Из р-4 ВТО!Х) СЯЕЛУЕГ, гио ИСХОДНЫЙ РЯД ТОЖЕ РаСХОДИтСЯ. Ри ьп Ва иант20 Задача 2 Исследовать ряд на схоцимость: ',„(-!)" ",,=-- ~*п Воспользуемся и!зизпаком Лейбница: если ряд ~~! ( — !)" а,, удовлетворяет условиям и-~ 1) а„монотонно убывающая, начиная с некоторого и = Х 2) 1ипа„= О, то ряд ~~~ ( — 1)" а„сходится. й -~ 1!и и+1 Рассмотрим а„= ~(п и+1 Докажем, что а„— убывает. Рассмотрим функцию ~п' х+1 ('(х) = —,-„-- ~'х х4х — 3~2(х+ 1)~х ъ)х(х 3) 1!роизводная Г(х)' —,; — — - - — --- ' < О х' 2х' п+1 при х>0.

Следовьательпо, !!х) убывает, и тогда а„=— ъ'п ' убывает. и+.! 1!гп а,, = !!тп —,— ' — — = 0 й ~ж б ~м ' 3 ' ъ'п „п -г1 Значйз„ряд 2 (- ! !" —, сходится по признаку Лейбница. й1' — и -"1 " .Ответ; ряд ! — 1)':=- сходикя. и Ри ыь Ва нант20 Вычислить сумму рата с 1оч»и»с~ьк» се Обозначим и-ный член ряда. как а„: ( — 1)" 3" и! Чтобы вычислить сумму рядр с: заданной точностью, следует принять во внимание то, что члены ряда с ростом и монотонно убывают. Тогда иам требуется найти сумму ряда до й'-го» члена, где М таково, что для ли»бык п>И выполняется неравенство ~а„(Яе Найдем Х: 1а, ! = 0,33333 > а )а„= 0,05556 > а ~а,(= 0,00617 > о: а„~ = 0,00051 <.и (а,(-- 0,00003 ~» а =:» Х = 5 Найдем сумму ряда до 5-го члена: ~ а,'гж — О,2835 (и вет:,'» -- — — - -0,2835 т 0.0001 '.

(-1)" 10 Ря ьь Иа наи~ 20 ')анги~а о ! )айти область схолимости ряда: и агсап13 Обозначим искомую область сходимости ряда, как Х. При х < О,п — э в вкшолняегся следующее приближенное равенство: пагса)пЗ" = пЗ"' Т)ри всех х<О и всех достаточно-больших и сходимость исходного ряда эквивалентна сходимостн ряда '> п3"" . 6-1 Ряд ~~! пЗ"' сходится йо признаку Коши: Прн х=О п агса)п 3" =- пагсяп! = Он ряд сходится При х "0 3" >1', а тогда функция агса)п 3" не определена. Таким образом, область сходнмости вгигляднт так: Х вЂ”.-.0 ~ Ч-'оэ:О) =- ! -х:О! агаси область схолпмости Х = (-еоа)1.

Р ы. Ва пан~ 20 Зыдыиа 10 Найти область сходимости ряда: 1 — — --" — — -- — (х — 5)" " ' (и+ 4)!п(и+ 4) ! 1ривсдсм этот ряд к степенному: У, --- (х-5)" =У,а„(к-5)'., "'=' (п+ 4) 1п(п+ 4) 1 где а„=-— (п+ 4)!п(п+ 4) Используем формулу для иакозкдения радиусы сходимости, основанную на применении"признака Коши: 1 К = !!гп = 1пп' !(и+ 4)(п(п-ь 4)! =1 «/,'а„( 'Гаким образом, интервал сходимости ряда будет выглядеть следующим образом. -1 < х — 5 <! .=''ъ х е (4;б) !)твет: область сходимости Х = (х е (4:6)) Задавя ! ! !1ай ги облает ь сходнмостн ряда: 1 -т!!я2х)' н Приведем этот ряд к степенному, т.е.

к виду: ~ ~а„х~. где а, не зависит от х н является постояштоЬ величиной. Положим а,, = —;., тогда исходный ряд можно переписать в виде: —,(1й2х)" = ~~> а„~!ц2х)'. Теперь нам требуется найти'Бтп Д а„; = 1.: и Воспользуемся следунвпим равенством г 1нв ~~~а!с+ Ь" — "1, где в и 6 постоянные числа. а>0.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания