01 (509741)
Текст из файла
Задача 1 1)айти сумму ряда: Х;;, 2 " ' »»» — 14н я 43 1 3 -Х .:.--- 2 1 1'ассмотрим ряд.: ~,„: ) "н-8 2 3 Ответ: ~"'и' — 4 48 2 П!»с»изсзедех» зквивален» пыс преобразования рятй; '» Так как и -14пя48 — !»з-б»Кп-8), сс» пс»лучаещ.'что исхс»див»»3 ряд мь» мо»кем переписатв в слсдуницсм виде:::, 2 . 2 '' ~ ! "'"и' — !4п-. '48 ~"-"(и — 6)!31;-К)': !п-6 и — 8 1 1 1 ~,, 1 — — ---- ) = » »2 — !2 — '--— 2 и — 8 п — 6) "' 2»'п — 8 п — 6' Произведемязамеиу,'»з-8 =- )сз».
тогда суммирование буде» 1 1 производиться от 8 = и-3 =- )п=с) ' = — 9 — 3 — -1. п — — =- —. и — 8 1с 1 Подстцйих» полученные значеги»я в р»»л» ', ~: —.-'» ~"- н — 8 1 ~ 1 ~ ""и 1!роизвсдем аналогичные преобразования н с рядом Х,;,,-- ' *" — — ---. 3о»гда для него замена ', и-6=!с';: " 'п — 6 1 1 начал»нос !с ' и-6 = ! и =-9 ) '-"' 9-6-3, а и — 6 )с 1 Подставим данные в у„ ""и — 6 Итак, мы получили, гто исходный ряд равен разности двух !»Ядов: 31!Да 1а 2 Исследовать рял на сходимос.1!с К' -.- а1й' п~'й П ~1П 1 Обозначим а, а!и Пой и',~П ! 1огда для всех и верно следующее у1"мрлсдеиис: а„~ — - =-, 1И П так как а1п'(й' ):=1. 1 Докажем сходимость ряда: р,', — —:=-.- . '1 огда из его :.' 'й~'и сходимости будет следовать сходимасть 1!сходи!!го ряда, так как тогда он будет;:, офапичеи схо1!янй!ыся рядом сверху и нулем снизу (все члены ряда нсотрицательны).
1 Обозначим Ья =;;",;;, По признаку сравнения 1говорящему, что 1!яд вида У'!':.--- ~~~д~~~~ то:1ько 11ри условии, что а и с!рого болыт))е 1, т.е. а>1, и расходится в Противном 1 случае, г)рн а < 1), ряд у — -= сходится., гак как выг1с111йфется мсловие сходимости: 1.Я>1. ~-а1П й.~й 1ЪцтФму и исхот!и!*111 ~~ -- —;=-- рял тоже схо1й!.1ся. й,/й Ь1П ПМ и 0!вот: ряд,) - сходится. ИсследОВать ря;1 !га сходимос Гь: :); ч и(! — соя — --) Р-.~ п'-1 Обозначим а,, =!п(1- соя-----) и !! 1 1 Прн и -+.и соя — — =1- -- — — —, тзоэтнму сходимость !3+! 2('и+ 1) исходного ряда зквивалентна сходцмости следу!о!Иет о ряда: Г 1 . ~-:.'ь 4п ~- 1,с-' 1 2(п+ 1)' ' "'" 3(пгь1)! ' '2п" "' и"" ! Докьокем сходимость ' рдда,7, — —,—,; . Тогда из сго сходимости будет сУ!едова!ь сходимость исходного ряда, так как тогда он::,„будет ограничен сходящимся рядом сверху и нулем с!ёпу (все члены ряда нео!рибате!!Ьны).
1 Обозначим:::.. )з„= --,;;, По признаку сравнения 1 (Говорящеь~~".! ч!О ряд Вида ~,— сходится только при 'п условц!!„':ч!х! а с!рого больше 1, т.е. а>1 и расходится в прогннном слу ге, при а<1) ря„! 2 ' --,— „. сходится, так оз и! как'.ныло.'н!Яется условие сходнмости: 1,5>1.
'''Позтому и исходный рЯД з Я п(1- соа-- — ) го"" 1 п+1 сходится. ! Ответ: ряд з ";:п(1 — соа-- ) сходится. и+1 Зала га 4 Иссг!едоват!. рял на сходимост!и 1 » ! 2" (и--1)! 1.п 1 Об!!.'!на»п!м ае '- " — ' — — — ~ —, 'гак! к!!Г*; (и" ! )! р!!степ 2";п — 1)! 2 ' быстрее»гем (п -1) при и --? ес Докажем сходимость ряда г~г,.'„' ' (.-)" . 1'огла из его ! '2 схолимостн будет следовап схбпимость и х »диого ряда„ зак как тогда он будет"о(раничен сходягпимся рядом сверху и нулем снизу (все!»»!Миы ряда неотри!!агс!и н!»!). 1 „ ' (.
)" есн»:;:;.сумма оескопсчнои убыва!о!пей »=! ? геометрической ', арохгрессии» которая ~аходнтся по формуле ? (Ь~'г~' ) =- Ц ц !< 1', =. 1- с) 1„:::,,122 ,'? ' (-)" '-.-':-:-: 2::, г) — 1!2 1~:п .Гогдаа!сходи!»и» ряд ? . - — — "!'оже сходи гся. „, ! 2'('п — 1)! 1-г и ()!вег; ряд ? - сходится.
.. ! 2»(п — 1)! Задала о Исследовать ряд па сходимостгс 1г и 1 Воспользуемся признаком Коши: Если !пи,'~'а„<1, то ряд,» а„- сходится. й — ~Ж в 1 г —" Если 1пп 1а„ > 1, то ряд ~~» а, расходится. ь~. ~ !пп "~а„=- 1пп-~ — — ~ м:-:-11ш~1+ — ! = — <! ,;-.», " О ...3 д " 1В,+ю и Таким образом, ао»тфизиаку Коши исходный ряд является сходящимся. 1:» и Огвет::,!':.' —, —, сходится. „= У,п+1/ 1 ,х~, а „., и !п1(3п -1) сходится., а если !!(х)с!х Рассмотрим еле!!ук!п1ий ряд: Х ------- - =ХЬ „, (Зп 1-1) !и (Зп+1) Задача 6 Исс1!СдОВВ1 1. Ря1! !га сх51дихи5С11,: 1)ос1зользуск!ся нре„.!Слвным прн'и!ахом схо.'.!Нмоечи.
Если '!Ва РЯ:!а „)' и и ~ !5 у'!015ле!'ВОря1ОГуе,'1ОВ1!ю' и:! и„ !!!и —" =: !'., где 1. конечное число, не;.'равное О„!5! ряды ь, У 51, и 5 !5, сходятся или р!!скот!5!гся:идноврсмеино. и=! ~.1 1ип — '-' =- 3 — это коиечиое число, ие равное О Ь,, Значит. ряды' ~)51, и,) Ь,, сходятся или расходятся От!5!о!!реме!1ир Дг!я 1!се5!Сдовання сходнмостн В'!ОНОГО р51да В!зспо1!Взуея!ся интсгральныч приз!!ахом схолимостн рядов. Если некогорая функция !(х) удовлетворяет условию !(и)=!1„, го если )5(х)дх сходится, то и ряд „> Ь, ! расходится, Рассмотрим следу!о!цу!о функцию: Если )1(х)!!х сходится, то и ряд ~~> Ь„ сходится, если интеграл расходится, то и ряд ~~5 Ь„ расходится. дх 1 !Й1п(Зх+ 1) 1 1 ! 1 !(Зх 1)1 1(3. !) 3/! '(З~'!) 3! (зх 1)~1 3! 7 Интеграл сходится, значит и ряд ~~) Ь„сходится.
Из Н ! сходимости нго1 о ряда следует сходимосп, исходного. 1 !Зтвсг: ~5 — —; -- -- сходится, „., и! и (3 и 5 1) Задала 7 Исследовать ряд на сходимость; 2п -1 ;> (-1) ' =' —— а-~ п(п - 1) Воспользуемся при~ником Леиоиииа: если ряд у (-1)' а„удовлетворяем условияМ, ~'. 1 1) а, моиотоиио убывали(ая, иаиииая с:~еяоторосо и =- Х 2) 1цпа„=-О,то ряд 7 ( — 1)" а, сводится,. й2п +! Рассмотрим а,, =- — — — при и''! '( -1) 2п+3 ап„ь! 2п' и Зп — «2п+1)(п+2) С '!)( -2), ( 1) ( +1)( 2) 2(п — 1) -еф ' п(п+ 1)(п+ 2) 2п+ 1 Следовательно. а„= — — — — убывает.
п(п ~1) 2п+1 1гп- ---.---. О " п(.ц'+:1,) 2п ь1 Зйачитряд ' ( -1)"' -- — — сходится по прививку п(п+1) Лейбница. 2п -,! Отвес: ряд у (- 1)" '--- — — своди~ел. п(п -1) За»та~~а в !3ычнслить сумму ряда с точностью сс = (-!!"' — — а = 0,01 3н' Обозначим п-ный член ряда, как а„: (-1)'"' а, я Зп Чтобе»! вычислить сумму рядй Ь...
зйдйнной точностью, следует принять во внимание то„: !!»зц! члены ряда с ростом и монотонно убывают. '1'огла нам,требуется найти сумму ряда до М-го члена, гдс !!»таково, что для любых п>Х выполняется неравенство (ар! ф Найдем Х: !а,! = 0»333 > а ',а,~ =0033 >и ,а.,(1 = 0»037 > а а,(=0021>н - ' ,а„.' = 00!3 > и ,а,! = 0,01!»9 ~:(к =-~ о( =- 6 ! 1айдеь(':еумму ряда до 6-го члена: 13нвет:,'! — -:-;- = 0,27 =". 0,01 " (-1!" и Зала'!а О 1-!айти область сходимости ряг!а: , й х 1 х' Обозначим а, = -- —.
- ", а искомуго оййетль!скос!имости х' ь1 ряд!! Х. !!ус !ь !! х (> 1! с —.. Х, инда г1!,"!тувим, гто ири И вЂ” + СС: Х вЂ” ~ ьо =Ф и,, — + 1. С!!~.",[О!Зня~",.1Ьно, ряд раСХОднтея на данном множестве !) х !> !! '!!Исобхо!диыыы условием сходимости рида является стрем!!ение а„к нулю при с чрсмлении и к бесконечиос!и) 1 При х — 1! ряд явно расколи'гся: ~ б:! х " ! ! й Ф"*~:.! э ! !уст! 1~ х ~<!', с. Х. тогта:сделаеы замену переменных: 1 х = —., тогда ~ !!а 11 ~э)':: По;!ставим ! вместо х в ряд: 1' 1 1! .=У' ' — = °" - — У х' — '',„!" <-» 1 э- 1 ! ! -«У .„-,; =-~ = ! - = ': —,,! ~ и-,т— +! !— !" Пс!лучном;:-:Мто для любого фикснроваиного х а ', х,< 1! .х": -:: „1 ,'>;.: -'--.
ограничен вели !ипо!1, и поэтому ряд '-.' х".,,+! х' — ! схФ>т!Йтся. Чаф:.' как мы ароверг!!!и Вс!.' Возмогяныс х на нрниаллежнос гь области схолимостн. то. в итоге. Х вЂ” -1 х ,'<1',. Ответ: об кисть схолимости Х =- ',! х !<1,', За.~ача 1О 11айти область сходимосги ряда: (и -2)' — — — - — -(х+ 3)'" . 2п.~- 3 Г1ривсдем зтот ряд к степенному виду. Х,- а„.х', гле а,. не гависит от х и являеаая постоянной 1,.л величиной.
ж- )' 11вюжим а„. =- - а„,„=-() -":тогда исходный ряд 21+3 * могкио переписать в виде: ,) -' — — (х+3)" =-~:""а (х+3) . (л 2) и "-- ь 2п+ 3 ь л Используем формулудля нахождения радиуса сходимости, основаннуго на примМеиии признака Коши: 1;::-:;,, ' 11 2)с + 3 1с = 1пп-=.
=,г1юп,'тя 1 — — —, а .~ж „,~~ ~',-'~ю, (1~ — 2)з а (21г -> 3)" " 2)з~зг !пп621с,+л) з 1 1ип фЪ -,. 2)" " г,, -1 < х ~- 3 < 1 =э х а ( — 4; — 2) Огвст; Область сходимости ряда Х = ',х н ( — 4:-2)1 Гаким;:рбразом, интервал сходимости ряда будет выглядеть следутолгим образом: 5" — ---)" "н н х' -бх+13 Гогна: ЗВВГша ! 1 1-!ш!ти ООласть сходиыости ря;ш: 11риведеяГ атот ряд к степснному. Г,с.
к вид)к: ~»Г, а х ~де а„не аависит От х и является 1гос~тояшГ~Й:.Ве»уи»ГГГНОЙ, Положим а --- — тогда исходный Рктгхможно пеРенисагь в виде: 1,-, -,-.: 1 :Е„,-- -1---- — — -)' = ',~. а 1-::-... )»» -' -бх+13) " " 1: ' — 6, +13) Теде)и» иам т1тебуетсЯ найтГ»» )1гн»»»,' и, »»-, г — —,;"- ! 5" -, 5 5 1!Гп:.ф а„', = ОГО ", ~ — ',чи,!1п1 =- = -- ---= !)оспользуемсяаледукнГГим рва~нотном Йт1,а):+Ь =-1;-'» Где а и Ь постоянные числа, а>0.
Ч аким обрааом» ио теореме !Оопп -. д~ р' » Г; 1-Л» ама а, область 1 1 1 сходимости Х =- !! - — „---- — — „- ~< -- = — ) . ' х" — бх+13 1. 5 Решим нераВсеГстВО. чтооы В яВКОм Вид е за|тнсать область сходимости: 1, 1 ~,'х -бх-113;>5, — — --- - 1< — <=> ~ — бх+13 5 ~х — бх+13~ О; Решим уравнение х — бх +13 =- О: 0 = 36--13 4 = -16 '.
0 '1'ак как дискриминаит меньше нуля. то: х' — бх+13 > О.'Фх и К. х' — бх + 13 > 5 с> х — бх + 8 > О е> (х — 4)!х — 2) > 0 =~ Ответ: область сходимости Х = !-со,2) и1, ). '4 +и1. х- 1 Обозна ьнм А(х) =-,— х 1 "2 п(п-1) 1,,,~ - 1 ))н "'и— Для рида ~~»,— х' ' ". Задача 12 1!ай! н сумму Ряда; Произведем то»кдественные преобразования ряда':::, — 2.„ ,-) х ' 1 1 ))- "»п(п — 1) "- п — 1 и' 1 Теперь преобраауем ряд ~,,—. х ' ' в зквивалентный: ': 2и: — 1'::: --- — х" ) = (и -1 =- )22).--.',2 ' .,--- х "2п — 1 , )) .
) ! „, 1- 1„1::1 '--'И Хе";в"'и Х 11одставнм ~феобра)ова»2»2»ле рялм в 2)схолнми ряд 1 „, -. 1, 1 ', 1 ~~», —: — '-" '' х" =- ~~),,— х' — — ~~»,, - х" =- )21п — 1) '"' 1 х 1, ! . 1 „1 .-, 1 ) =-(хз-~ — х))- — ~ --х" -х~(1--)~ ' х" )-2 й х ).2)с х' ).2 1с "".' 1'ассмо 2)зим производит)о А'(х) . А')х) =-1~ - х')' — — ~~ х" ' = — х-- '2й ' 1-х (С'умма убывакипей гсомстринеской прогрессии). Ряд оудет сходиться при !х!' 1. х гх '-1 — 1 А(х) =- ~ — '— ))х =.~- ))х.= -1-х 1 — х г 1 = ) - Ых+ 2!---- ))х == -х — !п(1 -- х) — С 1 — х 21)об»ь) найти константу С, н2»йдем ана )ен»)е ряда в неко )арой Фиксированной точке х, возьмем х "- О, то)д22 А(х) .— 0 -- С.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
