kratnye_integraly_variant_13 (509691)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

TU.ruЗадача 1.13. Изменить порядок интегрирования.π/2Пределы интегрированияСкачаносAnПоменяем порядок интегрирования−1tiGXπ/40-π/4-π/2Y1TU.ruЗадача 2.13. Вычислить21D1Разделим область интегрирования наXдве части−2−1012D2tiG−1D1:СкачанD2:осAn−2YЗадача 3-13TU.ruВычислить.СкачаносAntiGРешениеTU.ruЗадача 5.13. ВычислитьСкачаносAntiGПределы интегрированияосаначСкruTU.tiGAnTU.ruЗадача 7.13. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями6Y4Переведем в полярную системуtiGкоординат2осAn0СкачанПределы интегрирования12X34D : x = 2, y = 0, y 2 = x 2( y ≥ 0) ;μ = 2x + 3y2 .TU.ru7 _ 08 _13Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, μ - поверхностнаяплотность. Найти массу пластинки.Решение:Из рисунка находим пределы интегрирования по x и y.Сначала интегрируем по y, затем по x.2x/200M D = ∫∫ μ ( x, y ) dxdy = ∫ dxD2⎞⎟ =4⎟⎠0СкачаносAn3/ 20x2=0tiG⎛ x525x=∫dx = ⎜⎜ 20 2 2⎝2∫2( 2 x + 3 y 2 ) dy = ∫ dx( 2 xy + y3 )D : x 2 9 + y 2 4 ≤ 1;μ = x2 y2 .Решение:Обобщенная полярная сиситема координат:∂x3cos ϕ − 3r sin ϕ∂r== 6r∂y2sin ϕ 2r cos ϕ∂r(1) 2πm = ∫∫ m( x, y ) dx dy =D1422∫ dϕ ∫ 6r ⋅ 36r ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ dr =02π0An∂x∂ϕ∂y∂ϕtiG⎧ x = 3r cos ϕ(1) ⎨⎩ y = 2r sin ϕЯкобиан перехода равенTU.ru7 _ 09 _13Пластинка D задана неравенствами, μ - поверхностная плотность.Найти массу пластинки.2π⎛1r6= ∫ sin ϕ ⋅ cos ϕ ⋅ dϕ ⋅ ∫ 216 ⋅ r dr = ⋅ ∫ sin 2 2ϕ ⋅ dϕ ⋅ ⎜ 216 ⋅4 06⎝00121⋅82π59 ⎛∫ (1 − cos 4ϕ ) ⋅ dϕ ⋅ 36 = 2 ⋅ ⎜⎝ ϕ −0sin 4ϕ ⎞ 2π⎟ | = 9π4 ⎠0Скачанос=2⎞|⎟ =0⎠1()9V = ∫∫∫ dx dy dz = ∫ dyG0(53+ y185 y /6∫5 y /18dx)∫5 y9dz =08⋅ dy⋅15 ∫0TU.ru7 _10 _13 _1Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:55x=y, x =y,6185z = 0, z =3+ y .18Решение:∫ (3 +65y18)y dx =5 y⎞9⎛9⎛ 5 y 5y ⎞655 ⎜⎟= ⋅ ∫ ⎜ 3 + y ⋅ x | ⎟ dy = ⋅ ∫ 3 + y ⋅ ⎜−⎟⎟ dy =⎜ 65y181818 0 ⎜0⎟⎝⎠18 ⎠⎝)()tiG(99y y⎞2525 ⎛y⎞⎛=⋅ ∫ 3 + y ⋅ ⎜ y − ⎟ dy =⋅ ∫⎜3 y −⎟ dy =108 03⎠108 0 ⎜⎝3 ⎟⎠⎝2 y 2 y ⎞ 9 2525 ⎛y ⎞9⎛|==⋅⎜2y y −⋅ y y ⎜1 − ⎟ | = 5⎟108 ⎜⎝15 ⎟⎠ 0 54⎝ 15 ⎠ 0)СкачаносAn(аносачСкTU.rutiGAn7_10_13_2TU.ruЗадание 11.13.

Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностямиПереведем в полярную системуtiGкоординатСкачаносAnПределы интегрированияx 2 + y 2 = 2 y,z = 13 4 − x 2 , z = 0.Решение:Перейдем к цилиндрической системе координат:⎧ x = r cos ϕ⎪⎨ y = r sin ϕ⎪z = z⎩V = ∫ dϕ013 / 4 − r 2 cos 2 ϕ2 sin ϕ∫r dr0∫0πdz = ∫ dϕ2 sin ϕ∫ r (13 / 4 − r002cos 2 ϕ ) dr =tiGπTU.ru7 _11_13 _1Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:ππ⎛ ⎛ 13 ⋅ r 2 r 4⎞ 2 sin ϕ ⎞⎛ 13⎞= ∫⎜⎜− ⋅ cos 2 ϕ ⎟ | ⎟ ⋅ dϕ = ∫ ⎜ ⋅ sin 2 ϕ − 4 ⋅ sin 4 ϕ ⋅ cos 2 ϕ ⎟ ⋅ dϕ842⎠⎠ 0 ⎠0 ⎝⎝0⎝ππ131313 ⎛sin 2ϕ ⎞ π 13π2ddϕϕϕϕϕ⋅sin⋅=⋅1−cos2⋅=⋅−()⎜⎟| =∫o 24 ∫04 ⎝2 ⎠04ππ22π=An⎛ 1 − cos 2ϕ ⎞ 1 + cos 2ϕ∫0 sin ϕ ⋅ cos ϕ ⋅ dϕ = ∫0 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ ⋅ 2 ⋅ dϕ =41⋅ (1 − cos 2ϕ + cos 2 2ϕ ) ⋅ (1 + cos 2ϕ ) ⋅ dϕ =8 ∫0ππ11 ⎛sin 2ϕ ⎞ π 1 1 + cos 4ϕ= ⋅ ∫ (1 − cos 2ϕ − cos 2 2ϕ + cos3 2ϕ ) ⋅ dϕ = ⋅ ⎜ ϕ −⋅ dϕ +⎟ |− ⋅8 08 ⎝2 ⎠ 0 8 ∫02ππ 1 ⎛1sin 4ϕ ⎞ π⋅ ∫ (1 − sin 2 2ϕ ) ⋅ d ( sin 2ϕ ) = − ⋅ ⎜ ϕ +⎟ |+16 08 16 ⎝4 ⎠0анос+π1 ⎛sin 3 2ϕ ⎞ π π π+ ⋅ ⎜ sin 2ϕ −⎟| = − =16 ⎝3 ⎠ 0 8 16 1613ππ− 4 ⋅ = 3π416СкачV =аносачСкTU.rutiGAn7_11_13_2x = 3 y 2 − 5, x = −2,z = 2 − x 2 + 16 y 2 ,z = 8 − x 2 + 16 y 2 .Решение:1V = ∫ dy−1∫12dx3 y 2 −5−2⎛ y3⎞1dzdy6dx633dy18==−y=⋅−+y()⎜⎟| =∫∫ ∫2∫⎝ 3⎠ −1−1−13 y −5x 2 +16 y 212−4= 243СкачаносAntiG= 18 ⋅8 − x 2 +16 y 2−2TU.ru7 _12 _13 _1Найтиобъем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:аносачСкTU.rutiGAn7_12_13_27 _13 _13z = 1 − x2 − y2 ,3z 2 = x 2 + y 2 .Решение:Перейдем к цилиндрической системе координат:⎧ x = r cos ϕ⎪⎨ y = r sin ϕ⎪z = z⎩Найдем линию пересечения графиков функций:TU.ruНайти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:V =∫ dϕ01− x 2 − y 23/2∫r dr(2 2 2x +y30⎛⎜ 1= ∫ dϕ ⋅ ⎜ − ⋅0⎜ 2⎝2π2π=19∫32∫2πdz =)∫ dϕ03/2∫01 − r 2 ⋅ d (1 − r 2 ) −019∫ 96 ⋅ dϕ = 48 π2 ⎞⎛r ⋅ ⎜ 1 − r 2 − r 2 ⎟ dr =3 ⎠⎝An2πtiG⎧ z = 1 − ( x2 + y2 )⎧ z = 1 − x2 − y 2⎧2 z 2 + 3z − 2 = 0⎧ z = 0,5⎪⎪⎪⎪⇔⎨⇔⎨ 2⇔⎨ 2⎨ 3z33z223z22⎪ =x +y⎪ x2 + y 2 =⎪x + y =⎪⎩ x + y = 4⎩2⎩2⎩232∫03⎞ 2π342⎛ 1⎞2r 3 ⎟rdr ⎟ = ∫ d ϕ ⋅ ⎜ − ⋅ (1 − r 2 ) 2 − ⎟ | =36⎠0⎝ 3⎟ 0⎠Скачанос07 _14 _13 _1z = −16 ( x 2 + y 2 ) − 1,z = −32 x − 1.Решение:Перейдем к цилиндрической системе координат:⎧ x = r cos ϕ⎪⎨ y = r sin ϕ⎪z = z⎩−16 ( x 2 + y 2 ) − 1 = −32 x − 1x2 + y 2 = 2 xπ /2∫πV =dϕ− /22 cos ϕ∫0−16 r 2 −1r dr∫ϕπ /2dz =−32 r cos −1∫0π /2r ⋅ ( −16r 2 + 32r cos ϕ ) dr =π2264 14∫π cos ϕ ⋅ dϕ = 3 ⋅ 4 ⋅−2∫π (1 + cos 2ϕ )−2⋅ dϕ =2∫π (1 + 2 ⋅ cos 2ϕ + cos22ϕ ) ⋅ d ϕ =−2∫ (1 + cos 4ϕ ) ⋅ dϕ =π2Скач−22π64 1⋅ ⋅3 8π64 ⎛ 1⎞ 2⋅ ⎜ ⋅ (ϕ + sin 2ϕ ) ⎟ | +3 ⎝4⎠ −πанос64 1⋅ ⋅3 42Anππ+dϕ ⋅2 cos ϕ64⎛ 32 34 ⎞d⋅⋅r⋅−rcos4| = ∫cos 4 ϕ d ϕ =ϕϕ⎜⎟∫3⎝ 3⎠ 0−π / 2−π / 264=⋅3=2 cos ϕ− /2π /2=∫πtiGНайдем линию пересечения поверхностей:TU.ruНайти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:π64 ⎛ 3ϕ 11⎞ 2⋅⎜+ ⋅ sin 2ϕ + ⋅ sin 4ϕ ⎟ | = 8π3 ⎝ 8 432⎠ −π2аносачСкTU.rutiGAn7_14_13_2TU.ru7 _15 _13 _1Найти объем тела, заданного неравенствами:4 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 49,x2 + y 2, y ≤ 0, y ≤ 3x.99Решение:Перейдем к сферической системе координат:z≥⎧ x = r cos ϕ cos θ⎪⎨ y = r sin ϕ cos θ⎪ z = r sin θ⎩∫π /2∫dϕ ⋅−2π / 3arctg0=335dϕ ⋅⋅3 −2π∫ / 37dθ ⋅ ∫ r 2 ⋅ cos θ dr =120∫dϕ ⋅−2π / 399π /2∫arctgcos θ ⋅ dθ =1990анос∫π333352πV = ⋅ ∫ (1 − 0,1) ⋅ dϕ =⋅ 0,9 ⋅= 67π3 −2π / 333Скач0∫arctgcos θ ⋅ dθ ⋅199π /2335⋅ ∫ dϕ ⋅ sin θ | =13 −2π / 3arctg⎛⎛1 ⎞⎞⎜ 1 − sin ⎜ arctg⎟ ⎟ ⋅ dϕ99⎝⎠⎠−2 / 3 ⎝Находим :11α = arcth⇔ tgα =⇒ ctgα = 99999911так как 1 + ctg 2α =, то sin α =210sin αПолучаем :0=π /299An0V =tiGЯкобиан преобразования равен r 2 cos θr3 7|=32аносачСкTU.rutiGAn7_15_13_2x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 6 z ,x = 0, y = 0, z = 0( x ≥ 0,y ≥ 0) ;μ = 90 y.Решение:Перейдем к цилиндрической системе координат:π /2M =∫0∫00∫90 ⋅ r ⋅ sin ϕ dz =10∫0dϕ ⋅ ∫ r ⋅ sin ϕ ⋅ d ϕ = 15 ⋅4π /2π /2∫01r /6⎞⎛d ϕ ⋅∫ ⎜ 90 ⋅ r 2 ⋅ sin ϕ ⋅ z | ⎟ dr =0 ⎠0⎝r5 1sin ϕ ⋅ dϕ ⋅ | = 3 ⋅5 02π /2∫аносачСкπ /2sin ϕ ⋅ dϕ = −3cos ϕ | = 30An0r2 / 6dϕ ⋅∫ r drπ /2= 15 ⋅1tiG⎧ x = r cos ϕ⎪⎨ y = r sin ϕ⎪z = z⎩TU.ru7 _16 _13 _1Тело V задано ограничивающими его поверхностями, μ - плотность.Найти массу тела.0аносачСкTU.rutiGAn7_16_13_2.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания