КР №1 - Интегралы (1265165), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Ц илиндрическая система координат.

Точку М(x,y,z) в декартовой системе координат определим тройкой новых переменных M(ρ,φ,z) в цилиндрической системе координат, где ρ – длина радиуса-вектора точки М' (М' – проекция точки М на плоскость хоу), φ – угол, образованный этим радиус-вектором с осью ох (положительное измерение угла против часовой стрелки), z – аппликата точки М. Эти три переменные (ρ,φ,z) называются цилиндрическими координатами точки М.

Цилиндрические координаты связаны с декартовыми следующими соотношениями (1): , причем ρ ≥ 0, 0 ≤ φ ≤ 2π, z R, якобиан преобразования равен как в полярной системе координат ρ.

Тогда .

Пример 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

z = x² + y² + 1 и (2).

Решение. Изобразим тело, объем которого будем

вычислять. Оно ограничено двумя параболоидами.

Его проекция на плоскость хоу – окружность.

Решая систему (3) , находим уравнение их пересечения на плоскости z = 2: . Радиус окружности R = 1.

Запишем уравнения параболоидов в цилиндрической системе координат, используя формулы связи (1) и уравнения поверхностей (2 и 3): , и границы изменения переменных интегрирования: 0 ≤ φ ≤ 2π; 0 ≤ ρ ≤ 1;

V =

= {в полученном двойном интеграле при вычислении внутреннего интеграла получим константу (пределы интегрирования – константы), поэтому внешний интеграл можно вычислить как сомножитель внутреннего интеграла} =

= .

Сферическая система координат.

Точку М(x,y,z) в декартовой системе координат определим тройкой новых переменных M(ρ,φ,θ) в сферической системе координат, где ρ – длина радиуса-вектора точки М (ОМ), φ – угол в плоскости хоу, образованный проекцией радиус-вектора (ОМ') с осью ох (положительное измерение угла против часовой стрелки), θ – угол в плоскости уоz от оси oz до ρ (положительное измерение угла по часовой стрелке). Эти три переменные (ρ,φ,θ) называются сферическими координатами точки М.

Сферические координаты связаны с декартовыми следующими соотношениями (4): , причем ρ ≥ 0, 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π, якобиан преобразования равен ρ²sinθ. Заметим, что уравнение сферы х²+у²+z²=R² в сферических координатах имеет вид (подставьте координаты (4)): ρ = R.

Тогда .

Пример 6. Вычислить тройной интеграл , где V – шар,

радиуса 1: х²+у²+z² ≤ 1.

Решение. Исходя из приложений, необходимо вычислить массу шара с переменной плотностью, изменяющейся в каждой точке по закону (смотри подынтегральную функцию): .

Так как область интегрирования – сфера, то вычисления выполним в сферических координатах (4):

=

= {заметим (!), что в сферических координатах тройной интеграл имеет постоянные пределы во всех трех интегралах и в подынтегральных выражениях каждого интеграла переменные разделены, поэтому их можно вычислять в любом порядке} = .

Пример 7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

сферой х²+у²+z² = 2, и конусом z = . Рассмотреть часть

области, лежащей внутри конуса.

Р ешение. Решим систему

2z² = 2, z² = 1, в нашем случае z ≥ 0, поэтому возьмем , z = 1. Тогда проекция тела на плоскость хоу – окружность x² + y² = 1, поэтому 0 ≤ φ ≤ 2π. Значения угла θ найдем из уравнения конуса z = , подставив в него сферические координаты:

tgθ = 1, поэтому и пределы изменения θ примут значения 0 ≤ . Сферический радиус меняется от нуля до сферы: 0 ≤ ρ ≤ , так как в сферических координатах уравнение сферы х²+у²+z² = 2 имеет вид ρ = .

Далее вычисляем объем тела

= {заметим (!), что в сферических координатах тройной интеграл имеет постоянные пределы во всех трех интегралах и в подынтегральных выражениях каждого интеграла переменные разделены, поэтому их можно вычислять в любом порядке} = .

Вычисление криволинейных интегралов I рода.

Вычисление криволинейных интегралов I рода сводится к вычислению определённых интегралов.

Если кривая L = АВ задана параметрическими уравнениями в R⁽³⁾: , то , где , х(t), y(t), z(t) – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, точке А соответствует , точке В соответствует .

Если кривая L = АВ задана параметрическими уравнениями в R⁽²⁾: , то ^*, где , х(t), y(t) – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, точке А соответствует , точке В соответствует .

* Кривая L = АВ в R⁽²⁾ может быть задана не только на плоскости хоу, но и на плоскостях: xoz или yoz.

Если кривая L = АВ R⁽²⁾ : у = у(х) на х [а;в] (или х = х(у)) на у [с;d]), то интеграл может быть вычислен по параметру х

или по параметру у:

, в том числе на любой координатной плоскости.

Если кривая L = АВ R⁽²⁾ в полярной системе координат: на , то интеграл может быть вычислен по параметру : .

Приложения криволинейного интеграла I рода.

• Вычисление длин дуг в R⁽²⁾ и R⁽³⁾: .

• Вычисление массы (заряда) кривой L, если плотность кривой (или плотность заряда) в каждой её точке задана, например : .

• Вычисление моментов инерции относительно осей ох и оу ( ) и начала координат ( ) для материальной кривой L:

, , .

• Вычисление координат центра тяжести линии :

, .

Пример 1. Вычислить массу кривой L, если плотность кривой в каждой её точке

равна модулю ординаты этой точки: .

Решение. =

=

=

= .

В данной задаче можно вычисления выполнить в полярной системе координат:

=

= .

Вычисление поверхностных интегралов I рода.

Вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычислению двойного интеграла по области D – проекции поверхности S на любую из координатных плоскостей.

Если поверхность S задана неявно F(x;y;z) = 0, то нормаль к поверхности:

, где - единичная пормаль к поверхности, а  её направляющие косинусы.

Поверхностный интеграл может быть вычислен по любой из следующих формул:

.

Если поверхность S задана явно z = f(x;y), то нормаль к поверхности:

, где - единичная пормаль к поверхности, а  её направляющие косинусы.

При проектировании на плоскость XOY: и

.

Приложения поверхностного интеграла I рода.

• Вычисление площади поверхности S в R⁽³⁾: .

• Вычисление массы (заряда) поверхности S, если плотность на поверхности (или заряда) в каждой её точке задана: : .

• Вычисление статических моментов и координат центра тяжести поверхности: ; ; ;

координаты центра тяжести поверхности: .

• Вычисление моментов инерции материальной поверхности S: ; ; ;

Пример 1. Вычислить массу полусферы радиуса R, если в каждой точке поверхности плотность .

Решение. .

Переходим к полярным координатам, так как проекция полусферы на координатную плоскость ХОУ - окружность радиуса R с центром в начале координат:

( для вычисления определенного интеграла сделаем замену переменной: ) =

.

Пример 2. Вычислить площадь части полусферы .

Решение. Сфера радиуса R=3. Окружность на плоскости YOZ смещена по оси OZ и имеет уравнение: .

=

= (Вычисления выполняем в ПСК) =

=

.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)