15-16 (1261374), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Энергетический спектр частицы.Понятие о вырождении состояний.Решение будем искать в видеПолучим три одномерных уравнения(аналогично случаю с одномерной ямой)Решения которых, с учетом граничных условий:Отсюда, волновая функция частицы в трехмерном потенциальном ящике:***Энергетический спектр:Энергия частицы в трехмерном потенциальном ящике зависит от трех квантовых чисел.19Понятие о вырожденности состояний: уровни энергии, когда одному значению энергиисоответствуют несколько различных состояний называются вырожденными. Кратностьвырождения – количество этих состояний.
Для кубической ямы уровень не вырожден,когда, вырожден 3 порядка, когда, вырожден 6 порядка, когда20Движение микрочастицы в области одномерного потенциального порога.Порог задается выражением:1 – область U = 02 – обласьУравнения Шредингера:***a) Высокий порог: решения ищем в видеПрименим граничные условия, условия регулярности, условия нормированности:1)2)Получили:Первая волновая функция – сумма падающей и отраженной волны, вторая волноваяфункция – волна, прошедшая вглубь барьера.Система уравнений имеет решения при любых значениях энергии – спектр энергиичастицы непрерывен. Полученная функциятакже говорит о том, что существует(быстро убывающая при движении вдоль x) вероятность обнаружить частицу за порогом.21Коэффициенты отражения и прохождения:ОпределимОтсюда:Коэффициент отраженияКоэффициент прохождения***b) Низкий порогАналогично:Решение данной системы имеет вид:Применим граничные условия, условия регулярности, условия нормированности:1)2)Получили:22Коэффициенты отражения и прохождения:ОпределимОтсюда:Коэффициент отраженияВ квантовой физике есть вероятность отражения частицы от низкого потенциальногобарьера! При этом вероятность отражения не зависит от направления движениячастицы.Коэффициент прохожденияЭнергетический спектр частицы непрерывен вне зависимости от высоты порога!23Прохождение частицы через потенциальный барьер.
Туннельный эффект.Барьер задается выражением:Аналогично:Решение данной системы имеет вид:Применим граничные условия, условия регулярности, условия нормированности:1)2)олучим систему из 4 уравнений, с 4 неизвестными, применив условиянепрерывности. Решив ее, получим коэффициент , описываемый громоздкойформулой.24Коэффициент прохождения:ОпределимОтсюда:Коэффициент прохожденияВ случае криволинейного барьера, мы разбиваем его на прямоугольные элементарныеучастки шириной dx и суммируем:***Прохождение частицы через потенциальный барьер называется туннельным эффектом.Вероятность прохождения зависит от высоты и ширины барьера.
При прохождении черезбарьер не меняется полная энергия частицы.Туннельным эффектом объясняется контактная разность потенциалов, холодная эмиссияэлектронов из металла, альфа-распад.***Сканирующий туннельный микроскоп (СТМ):Устройство, позволяющее «увидеть атом»: между иглой и поверхностью металловсоздается разность потенциалов –потенциальный барьер. В силутуннельного эффекта между металлом ииглой возникает туннельный ток, повеличине которого можно судить овероятности прохождения,пропорциональной расстоянию от иглы доповерхности металла.25Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора, анализ его решений.Гармонический осциллятор – система, совершающая гармонические колебания поддействием квазиупругой силы.Потенциальная энергия ГОБудем называть КГО частицу, находящуюся в таком силовом поле.Уравнение Шредингера в данном случае имеет вид:Введем обозначения:уравнение Шредингерапримет вид:Анализ этого выражения показывает, что волновые функции будут непрерывны иконечны лишь при значенияхСоответственно получаем дискретный спектр энергии КГО:Волновые функции КГО имеютсложный вид, состоящий изпроизведения нормировочнойпостоянной, экспоненты иполинома Чебышева-Эрмита n-гопорядка.Волновые функции для первыхтрех энергетических уровней КГОимеют вид:26Представление физических величин операторами.
Собственные функции исобственные значения операторов. Вычисление средних значений физическихвеличин.Оператор – математическое правило, преобразующее одну функцию в другую.Второй постулат квантовой механики гласит, что каждой физической валичинесоответствует оператор этой физической величины, соотношения между операторамиимеют ту же структуру, что и отношения между соответствующими физическимивеличинами в классической механике.Квантомеханические операторы должны быть:A) ЛинейнымиB) самосопряженными (эрмитовыми)(cобственные значения эрмитовых операторов могут быть толькодействительными числами)***Собственные значения, собственные функции операторов:Спектр собственных значений называется дискретным, если его собственные значенияможно пронумеровать, если нельзя – непрерывным. Если одному собственному значениюпринадлежит несколько собственных функций, собственное значение называетсявырожденным.***Собственные функции ортонормированы***Среднее значение27Основные операторы физических величин:1) оператор координат, непрерывный спектр собственных значений2) радиус-вектор, непрерывный спектр собственных значений3) оператор импульса, непрерывный спектр собственных значений4) квадрат импульса, непрерывный спектр собственных значений5) момент импульса, момент импульса неопределен – нет собственныхзначений!6) Проекция момента импульса на осьдискретныйспектр собственных значений7) Квадрат момента импульса – дискретный спектр собственных значений (угловоймомент)8) Кинетическая энергия9) Потенциальная энергия10) Гамильтониан – оператор полной энергии28Операторы импульса и момента импульса.
Их собственные значения и собственныефункции.1) Импульс, обладает непрерывным спектром собственных значений.2), не обладает собственными значениями3) Проекция момента импульса на осьНайдем собственные значения:Решением этого ДУ является периодическая функцияИз условия периодичности получим соотношение:Получили дискретный спектр собственных значений:Собственные функции:4) Квадрат момента импульса – дискретный спектр собственных значений (угловоймомент)Решение ДУ для поиска его собственных значений сложное и не рассматривается в нашемкурсе, можно отметить, что в итоге также можно получить дискретный спектрсобственных значений:Каждому собственному значениюсоответствуют (2n+1) собственных функций, каждаяиз которых определяется параметром– другими словами,собственное значение имеет степерь вырождения, равную (2n+1).Собственные функции оператора квадрата момента импульса мы также не рассматриваем.29Коммутирующие операторы.
Условия возможности одновременного измеренияразных механических величин. Соотношение неопределённости Гейзенберга.Операторы коммутируют, если***При измерении физической величины мы получаем собственное значение ее оператора.Вероятность получить определенное значение при измерении равнаЕсли две различные величины можно точно измерить одновременно, тоЭто выполняется только в том случае, когда операторы этих физических величинкоммутируют.***Соотношение неопределенности Гейзенберга:Объект микромира нельзя характеризовать одновременно точной координатой и точнойвеличиной проекции импульса на ту же ось координат. Также это справедливо длянеопределенности энергии микропроцесса в процессе длительности t.Среднеквадатичная флуктуация:- назоам этонеопределенностью координаты, аналогично с импульсом. Тогда:***Стоит учесть, чтоДля любых некоммутируемых операторов:30Уравнение Шредингера для атома водорода.
Квантовые числа, их физическийсмысл.Электрон в атоме водорода движется в стационарном силовом полеВ сферической системе координатУравнение Шредингераможно записать в виде:Решением этого ДУ является сложная функция, зависящая от трех квантовых чисел, иявляющаяся произведением радиальной и шаровой составляющих:***Физический смысл квантовых чисел:1. Главное квантовое число:любом квантовом состоянии:2. Орбитальное квантовое числоопределяет полную энергию электрона вопределяет величину моментаимпульса атома:, характеризует размер и форму электронногооблака3.
Магнитное квантовое числоопределяет величину проекциимомента импульса, орбитального магнитного момента,соответственно, ориентацию электронного облака в пространстве4. Магнитное спиновое квантовое число- характеризует направлениесобственных механического и магнитного момента электроновВ атоме может быть только один электрон с данным набором квантовых чисел, согласнопринципу запрета Паули (в системе тождественных фермионов несколько фермионовне могут находиться в одном и том же состоянии)Число различных состояний в зависимости от энергетического уровня равно31Механический и магнитный моменты атома.
Опыт Штерна и Герлаха.Атом обладает механическим моментом L, у которого определена величина и проекция наось,;Так, как движущийся вокруг ядра электрон является заряженной частицей, его орбитуможно рассматривать как некоторый замкнутый контур с током, который можноохарактеризовать орбитальным магнитным моментомВ классической теорииМеханический и магнитный моменты связаны гиромагнитным соотношением:Отсюда:– магнетон Бора, единица измерения магнитных моментов атомов.Величина проекции магнитного момента равна:***Опыт Штерна и Герлаха.Помимо квантовании энергии в атомеприсутствует пространственноеквантование – дискретность проекциимагнитного момента атома навыбранное направление. В опытеШтерна и Герлаха поток атомовпропускается сквозь полюса магнита ссильным неоднородным магнитным полем, направленным вдоль оси z, которое за счетособой формы магнита сильно отклоняет пролетающие атомы в зависимости от ихмагнитного момента.
С позиций классической механики магнитные моменты в атомахориентированы хаотически, и на экране должно появляться сплошное пятно, но порезультатам опыта мы наблюдаем серию узких полос, подтверждающих пространственноеквантование магнитных моментов атомов.32Орбитальный, спиновый и полный механический и магнитный моменты электрона.Из квантовой теории следует, что в основном состоянии механический и магнитныймомент атома в невозбужденном состоянии равен нулю, однако если в опыте ШтернаГерлаха обеспечить такие условия, что в атомном пучке движутся только нерасщепленныеэлектроны, вопреки предположению, что пучок не должен расщепляться, он расщепляетсяна два симметричных пучка.Проекция магнитного момента невозбужденного атома серебра оказалась равнаЭто связано с тем, что электрон обладает собственным магнитным и механическиммоментами, названными спином, являющейся таким же его свойством как масса и заряд.Количественно спин характеризуется числомСобственные механический и магнитный моменты связаны гиромагнитнымсоотношением (в два раза больше, чем у орбитальных)Проекции собственных моментов на выделенное направление определяются спиновымквантовым числом***Полный механический и магнитный моменты атома (с учетом спина):Квантовое числоопределяет суммарный механический момент атома:, при отличном от нуля соответствующим двум различным ориентациямспинового момента относительно орбитального.
(для системы с 1 электроном)33Атом во внешнем магнитном поле. Эффект Зеемана.В сложном многоэлектронном атоме каждый из N электронов имеет собственныеорбитальный и спиновый механический и магнитные моменты.При сложении моментов в результирующий момент возможны два случая:***JJ-связь – механический и магнитный моменты каждого электрона складываются всуммарный момент электрона, моменты электронов складываются в результирующиймомент атома. Встречается у тяжелых атомов.***LS-связь, наиболее часто распространенная (связь Рассел-Саундерса), осуществляется последующей схеме:1) Все орбитальные моменты складываются в суммарный (L – суммарныйобритальный момент атома, его квантовое число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
