Костиков А.А, - Конспект лекций (1249158)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Министерство образования и науки, молодежи и спортаДонбасская государственная машиностроительная академияСоставитель Костиков А.А.УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИКОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙдля студентов направлений подготовки6.040303 «Системный анализ»Краматорск 2012УДК 519, 92 (076.5)Конспект лекций по дисциплине «Уравнения математическойфизики»(студентов 3-го курса специальности 6.040303 «Системный анализ»заочной формы обучения)/ Сост. А.А.Костиков - Краматорск, ДГМА, 2012. – 46С.Вконспектерассматриваютсяосновныетипыуравненийматематической физики и различные методы их решения. Приводитсяфизическая интерпретация полученных результатов, рассматриваютсятеоремы существования и единственности решений краевых задач.

Данозначительное количество примеров и задач различного уровня сложности.Конспект лекций является учебным пособием для студентов,обучающихся по специальности системный анализ..Лекция 1.Уравнения математической физики. Постановка задач длялинейных дифференциальных уравнений в частных производных 2-гопорядка.Рассматриваемые вопросы.1. Предмет математической физики.2. Основные уравнения математической физики. Математические модели.3.

Постановка задач для линейных дифференциальных уравнений в частныхпроизводных 2-го порядка.Общие положения.Пусть u ( x, y ) – некоторая неизвестная функция∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u;;;;; … и т.д.∂x ∂y ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2ее частные производные различного порядка.Рассмотрим уравнение∂u ∂uF  x, y, u ( x, y ),,, … = 0,(1.1)∂x ∂yсвязывающие независимые переменные х, у, искомую функцию u(х, у) и ее частныепроизводные различного порядка.

Уравнение (1.1) называют дифференциальнымуравнением в частных производных.Порядок уравнения определяется наивысшим порядком частной производной,входящей в это уравнение.Примеры.∂u1)= 0 – дифференциальное уравнение первого порядка.∂x∂ 2u ∂u2)++ u = 0 – дифференциальное уравнение второго порядка∂x∂y ∂xи т .п .Решением дифференциального уравнения называется любая функция u(х, у),обращающая его в тождество.

Задачи, связанные с решением дифференциальногоуравнения в частных производных, как правило, более сложные по сравнению с задачамидля обыкновенных дифференциальных уравнений.Мы знаем, что общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений n-гопорядка зависит от n произвольных постоянных С1, С2, …, Сn. Более сложная ситуацияскладывается при решении дифференциальных уравнений в частных производных.∂uНапример, решением дифференциального уравнения= 0 является любая функция∂xu = f ( y ), т.е. общее решение зависит от бесконечного числа функций, зависящих толькоот одной переменной∂u ∂uИли+= 0.∂x ∂yРассмотрим u ( x, y ) = f ( x-y)∂u ∂f=⋅1(где z=x-y)∂x ∂z∂u ∂f=⋅ (−1)∂y ∂zи∂u ∂u ∂f∂f+=+ (−1) = 0∂x ∂y ∂z∂zпри произвольной функции f(z).Предмет теории уравнений в частных производных составляет изучениедифференциальных уравнений, описывающих то или иное явление природы, попреимуществу физической.

Наш курс будет посвящен по преимуществу уравнениям вчастных производных второго порядка.В связи с этим рассмотрим некоторые физические задачи, приводящие к решениюдифференциальных уравнений в частных производных.Задача 1 (о поперечных колебаниях струны).Пусть струна длиной l натянута с силой Т0 и находится в прямолинейномположении равновесия. В момент времени t=0 точкам струны сообщаются некоторыеотклонения и скорости.Поставим задачу об определении малых поперечных колебаний точек струны приt>0, если концы струны:а) жестко закреплены,б) свободны,в) двигаются в поперечном направлении по заданным законам.Сопротивлением среды и силой тяжести пренебрегаем.Решение.

Пусть ось ох совпадает с первоначальным положением струны вположении равновесияuT(х+∆ х)ABT(х)0ххlх+∆ хВыделим участок струны от А до В и спроектируем все действующие на этотучасток силы на ось u. Согласно принципу Даламбера сумма проекций должна равнятьсянулю.S AB =x + ∆x∫1 + (u′x ) 2 dx ≅ ∆x,xтак как мы рассматриваем малые колебания и (u′x ) – малой величиной пренебрегаем.Это значит, что удлинение участка струны не происходит и, следовательно, позакону Гука величина натяжения T0 =| T | не зависит ни от времени, ни от х.Проекция силы натяженияT0 sin α ( x + ∆x) − T0 sin α ( x) ≅ T0 (tgα ( x + ∆x) − tgα ( x)) = T0 (u′x ( x + ∆x) − u′x ( x)) ≅ T0u′xx′ ( x, t )∆x.Пусть p ( x, t ) – непрерывная линейная плотность внешних сил.

Тогда на АВ действуетвдоль оси u сила p ( x, t )∆x.Для нахождения силы инерции воспользуемся выражением − mutt′′ , где m = ρ∆x.Тогда2 ∂ 2u∂ 2u  T0 2 + p( x, t ) − ρ ( x) 2 ∆x = 0∂t  ∂xили∂ 2u∂ 2u−ρ()+ p ( x , t ) = 0.x∂x 2∂t 2Это и есть уравнение вынужденных колебаний струны.TЕсли ρ=const и a 2 = 0 , тоT0ρ∂ 2u∂ 2u2=a−+ g ( x, t ).(1.2)∂t 2∂x 2Кроме того, искомая функция u(х, у) должна удовлетворять начальным условиям:u ( x t ) t = 0 = ϕ ( x) – начальное положение струны∂u= ψ ( x) – начальный импульс.∂t t =0Краевые условия:а) струна закреплена на концахu ( x, t ) x = 0 = 0,u ( x, t ) x =l = 0б) в случае свободных концов должно быть∂u∂u= 0,=0∂x x = 0∂x x = lв)u t =0 = µ1 (t )  – законы движения концов струны.u t =l = µ 2 (t )Задача 2 (Уравнение неразрывности.

Задача обтекания).Рассмотрим движение идеальной жидкости (газа), т.е. жидкости в которойотсутствуют силы вязкости.Пусть V (v1 , v2 , v3 ) – вектор скорости движения жидкости, ρ ( x, t ) –ее плотность,f ( x, t ) – интенсивность источников. Выделим в жидкости некоторый объем ω,ограниченный поверхностью S.

Изменение массы жидкости внутри ω в единицувремени равно∂∂ρρ ( x, t )dx = ∫ dx∫∂t ω∂tωс другой стороны это изменение должно равняться приращению количества Q1 жидкостиза счет источниковQ1 = ∫ f ( x, t )dx,ωминус количество Q2, вытекающей через SQ2 = ∫ ρ (v ⋅ n t )ds = ∫ div( ρ ⋅ v )dx – формула Остроградского-Гауса,Sωгде n – внешняя нормаль к S, таким образом∫ (υt + div( ρ ⋅ v ) − f )dx = 0.ωВ силу произвольности ω∂ρ+ div( ρ v ) = f ( x, t ).(1.3)∂tЭто и есть уравнение неразрывности движения идеальной жидкости.Рассмотрим теперь задачу обтекания твердого тела Ω с границей S потенциальнымпотоком несжимаемой однородной жидкости, имеющей заданную скорость v0 набесконечности при отсутствии источников.

В этом случае ρ = const и f ≡ 0. Поэтому:div v = 0 при условии vn S = 0.Пусть u –потенциал скоростей, т.е. V = gradu , тогдаdiv grad u = 0 ⇒ ∆u = 0 и∂u= 0.∂n Sv ( x) → v0 ,| x |→ ∞поэтомуx∈Ω∆u = 0(1.4) ∂u=0limgradu=v0 ∂n| x|→ ∞ SЗадача 3 (о распространении тепла).Вывод уравнения теплопроводности базируется на законе Фурье, согласно которомуколичество тепла, проходящего за время ∆t через малую площадку ∆S, лежащую внутрирассматриваемого тела, определяется формулой∂u ( x, t )∆Q = − k ( x, u )∆S∆t ,∂nгде n – нормаль к ∆S, направленная в сторону передачи тепла, k(x, u) – коэффициентвнутренней теплопроводности, u(x, t) – температура тела в точке x = ( x1 , x2 , x3 ) в моментвремени t. Предполагается, что тело изотропно в отношении теплопроводности, т.е.k(x, u) не зависит от направления площадки.Выделим внутри тела объем ω, ограниченный S.

Согласно закону Фурье,количество тепла, втекающее через S за промежуток [t1, t2], равно2∂u∫ dt ∫S k ∂n ds = t∫ dt ω∫ div(kgrad u )dω.t11t2tЕсли F ( x, t ) – плотность тепловых источников, то количество тепла, образованного за ихсчет в ω за указанный промежуток времени, равноt2∫ dt ω∫ F ( x, t )dω.t1Общее количество тепла притекающего в ω за время от t1 до t2 можно посчитать и засчет приращения температурыt2∂u∫ cρ (u( x, t ) − u ( x, t ))dx = ∫ dt ω∫ cρ ∂t dω,ω21t1где c(x) и ρ (x) – теплоемкость и плотность вещества. Тогдаt2∂u∫ dt ω∫  cρ ∂t − div(k grad u) − F ( x, t ) dω = 0.t1В силу произвольности ω и промежутка времени t1, t2, следует равенство∂ucρ− div(k grad u ) = F ( x, t ) ,∂t(1.5)называемое уравнением теплопроводности. Еслиk ( x, u ) = k ( x )(не зависит оттемпературы), то уравнение (1.5) становится линейным. Если же тело однородно(c( x) = const , ρ = const ) и уравнение (1.5) примет вид:∂u= a 2 ⋅ ∆u + f ( x, t ).(1.6)∂tИз физических соображений следует, что для однозначного описания процессараспространения тепла необходимо кроме уравнения, задать начальное распределениетемпературыu t = 0 = ϕ ( x) – начальное условиеи температурный режим на границеu Γ = ϕ ( x, t ) – граничное условие,(возможны и другие варианты задания граничных условий).Рассмотренные три физические задачи приводят нас к решению трех различныхтипов дифференциальных уравнений второго порядка.

Все дифференциальные уравненияв частных производных второго порядка можно условно разделить на три класса:1) уравнения гиперболического типа,2) уравнения эллиптического типа,3) уравнения параболического типа.Лекция 2.Классификация уравнений в частных производных..Рассматриваемые вопросы.1. Уравнения гиперболического типа.2. Уравнения параболического типа.3. Уравнения эллиптического типа.При рассмотрении вопроса о классификации дифференциальных уравнений вчастных производных ограничимся дифференциальными уравнениями второго порядка.В общем виде такое уравнение может быть записано в виде:∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u  = 0,F  x, y, u,,,,,(2.1)∂x ∂y ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 если искомая функция u зависит от двух переменных.Однако и в дальнейших рассуждениях будем рассматривать уравнения, линейныеотносительно старших производных∂ 2u∂ 2u∂ 2u∂u ∂u ,a11 2 + 2a12+ a22 2 = F1  x, y, u ,,(2.2)∂x∂x∂y∂y∂x ∂y где aij = aij ( x, y ) – заданные функции.Произведем классификацию уравнений вида (2).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги