Беллман Р. Прикладные задачи динамического программирования (2013) (1246769), страница 50
Текст из файла (страница 50)
СТАЦИОНАРНЫЙ РОСТ Возникает вопрос относительно того, укладывается ли комплекс описанного типа в обыкновенную модель роста, в которой запасы, а также мощность равномерно возрастают во времени. Если так, то мы могли бы ожидать экспоненциального роста. Так, например, рассматривая дифференциальное уравнение в (7.8), мы подозреваем асимптотическое поведение вида х е ш, у е е, (7. 2()) где ш и г ие зависят от времени. Мы приходим к соопю- шениям Л те = А ш+ Вг, Сг( Рте (7.21) и к задаче определения наибольшего Л, для которого выполняются эти соотношения.
Вопросы такой природы являются частью теории линейных неравенств. Они играют важную роль в теории игр и линейном программировании, исследовании вычислительных аспектов линейных неравенств. Задача, поставленная выше, впервые была рассмотрена фон Ненманом в связи с его Остальная часть программы касается вычисления таблицы значений ~,(сн с„), блока переноса этой таблицы и ее последующего использования при составлении таблицыг +,(сне,). Таблица 7.1 представляет собой результат анализа одной типичной ситуации. Вычисления позволяют выбирать оптимальным образом вершину на каждом шаге для любого начального условия, а также составлять список выполненных распределений стали в автомобильной промышленности.
Чтобы оценить преимущества полученных результатов, был проведен ручной счег, использующий политику, диктуемую вычислительной машиной; это выявляет фактический рост системы во времени, Чувствительность процесса была продемонстрирована путем оценивания дохода при политике, неоптимальнои только для первого решения.
Первоначальнып выбор вершины 3 приводит к повсеместному уменьшению производительности на 8 процентов. 314 многоп!АГОВые ппоизводственные ппоцессгя )гл. чп исследовзнием возможности экспоненциально расширяющейся экономики. Каким бы взжным ни был вопрос об оптимальном стационарном режиме, проблема подхода к стационарному режиму важнее, так как большинство приложений имеет дело с процессами конечной длительности. В нашем рассмотрении марковских процессов принятия решений мы опять столкнемся с асимптотическим поведением и связью с линейным программированием. Там мы подробно изложим некоторые результаты.
КОММЕНТАРИИ И БИБЛИОГРАФИЯ 6 1. Читатель, интересующийся дальнейшим рзссмотреиием задач на узкие места, может обратиться к главам 6 и 7 книги «Динамическое программирование», где представлены более сложные модели н нескольно аналитичесних решений. По приложениям н лесоводству и дальнейшие численные результаты сл!.
Т. А г1в)г н, 'йгогй)пй егопр гпа!пх !и дупапнс воде1 о1 1огез1 вапаяеаепт, >. Зарапеле Гогезтгу Вос» чо1. 40, 1958, рр. 185 — !90. По приложениям н химической технологии сл!. 5. М. К о Ь е г ! з, Р>пав!с Рспп!аппп!пе Гогпа1а!!оп о1 1Ле Са1а!уа1 Кер)асеаеп! РгоЫев (1о аррсаг). К.
Аг!з, К. Ве)1птап апг1 К. Ка1аЬа, Вове ор!)а!га1гоп ргоЫеаа )п сйеписа! еп6!псе!!пй, СЛсп!. Епяг. Ргойгеэа 5>птр. Вег!еэ, чо!. 56, 1960, рр. 95 — 102. К. А г) з, Тйе Орйаа1 1>ез!Еп о1 СЬегп!са! Кеас!огз, Асадепис Ргезз. )пс., Ыелч Уогй, 4. Непрерывный вариант симпленс-метода линейного программирования, предназначенный для получения решений непрерывных вариационных задач, описанных в этом параграфе, разработан Леманом. См. 8. ).е Л в а п, Оп Ше Сопбпнош еыгпр!ех Тесйп!чне.
ТЛе КАКО Согрога1!оп, КеаеагсЛ Мегпогапднп! КМ-1386, !954. 6 5. Эти результаты были даны в работах: К. В е1!в а п, Оп Ьошепссй ргоЫеаа апд йупапис ргопгаапипп, Ргос Ыа!. Асад. 5с! СВА, чо!. 39, 1953, рр. 947 — 951. К. В е 11 гп а и, Вон)енес й ргоЫевэ. 1нпс!!опа! ейпа1!опз, апй й>панис ргойгаагпй>8, Есопоплетг!са, то1. 22, Хо. 4, 1954. 315 КОММБНТАРИИ И БИБЛИОГРАФИЯ 9 9. Первоначальная работа фон Неймана: Д чоп 5|ек |па пп, А шобе! о! Кепега| есопош|с ецц|ПЬгшш, Пег|еж о! Есопопнс В!об!еа, чо|. 13, 1945 — 1946, рр, 1 — 9, Дальнейшие результаты могут быть найдены в М.
М о г | а 51ш а, Есопопнс ехрапэ|оп апб тйе |п|егеш гаге щ Еепегайгеб чоп Хекпгапп шобе1з, Есопогпе|пса, чо1. 28, 1960, рр. 352 — 363. 3. О. Ке щепу, О. Могпепатегп, О. 1.. Тйогпра оп, А Еепега1иапоп о! гйе чоп Хеогпапп тобе! о! ап ехрапб!пи есопошу, Есопоше|Нса, чо|. 24, 1956, рр. 115 — 135. К. М а г х, Сар||а1, С.
Кеи апд Со., С!Псайо, !|пи!1, 1933, чо1. П, С|гаргега 20 апг1 21. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА Исходные положенил о построении моделей расширенного воспроизводства даны К. Марксом и В. И. Ленинылг. К. М а р к с, Капитал, т. П, ! осполитиздат, 1957, стр, 511 и далее. В. И.
Ленин, !1о поводу так называемого вопроса о рынках, Соч., т. 1, изд. 5, стр. 67 — 122. Дальнейшие результаты люжно найти в работах: В. С. Немчинов, Экономико-математические методы и модели, Сопэкгиз, 1962. Л. В. К а н т о р о в и ч, Экономический расчет наилучшего использования ресурсов, Изд-во АН СССР, 1959. Математический анализ расширенного воспроизводства (Труды научного совещания о применении математических методов в экономических исследованиях и планировании, т.
П), Изд-во АН СССР, !962. Л. Г е й т, Линейные экономические модели, ИЛ, 1963. Р. А л а е н, Матеиатическая экономия, ИЛ, 1963. С. К а р л и н, Математические методы в теории игр, программировании и экойомике, М,, Изд-во гМир», 1964. ГЛАВА Ч!И ПРОЦЕССЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 1. ВВЕДЕНИЕ В этой и следующих главах мы хотим рассмотреть некоторые приложения динамического программирования к процессам регулирования с обратной связью и к процессам, которые могут быть сведены к таковым. Так же как в главах, где рассматривались траекторные задачи и вариационное исчисление, мы посвятим первую из глав ознакомлению н формулировке задач, а следующую — вычислительным аспектам. Как мы неоднократно подчеркивали, и то и другое составляет отдельные, но близко связанные части единой проблемы.
Их полное разделение ставит любую попытку решения реальной физической проблемы на слишком невыгодные исходные позиции. Мы начнем рассмотрение с классической задачи регулирования (управления). Содержание этой задачи совершенно отлично от того, что мы в обыденной жизни именуем словом «управление», Далее мы рассмотрим математическую формулировку типичной задачи о регулировании с обратной связью, встречающейся в электронике. Первоначально мы будем затрагивать детерминированные процессы с обычными реальнымн ограничениями, неаналитическими и неявными функционалами. Затем мы обратимся к более сложным стохастическим процессам регулирования и процессам с приспособлением (адаптивным), где будут приведены вычислительные результаты, полученные Аоки.
Из последующего будет ясно, что аналитические и вычислительные исследования в этой обширной области, полной 2] кллссическля задача Рвгулиэоялиия зп заманчивых и значичельных проблем, только начались. Поэтому очень мало было сделано в направлении строгой формулировки процессов; много еше остается сделать для обоснования используемых методов.
Как обычно, мы сможем обойти ряд вопросов обоснования, рассматривая только дискретные варианты задач автолаатического управления. Попутно мы хотим указать на то, что в этой обшей области существуег много интересных аналитических проблем. В дополнение к вопросам, касающимся задач об управлении с обратной связью, мы рассмотрим задачу о максимальных отклонениях, возникающую при эксплуагации ядерных реакторов, неявную вариационную задачу детерминировзнного типа, задачу о релейном управлении и неявные вариационные задачи стохастического типа, которые будут встречаться при решении проблемы «мягкой посздки» нз Луну или друтие планеты, некоторые залачи о максимальной высоте и максимальной дальности, интересные для баллистики, и, наконец, некоторые процессы передзчи сообщений, связзнные с теорией информзции.
В конце главы приведено большое число ссылок нз работы, посвященные другим приложениям. 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА РЕГУЛИРОВАНИЯ Лвп лл-1 ' —,„+а,—,„, +...+а и=О. (8д8 Идея регулирования с обратной связью наиболее часто связывается с регулятором, использованныи Уаттом для паровой машины. В действительности она еше старше, так как регулятор, изображенный Гюйгенсом для регулирования часов, был применен для ветряных мельниц и водяных колес до появления паровой мзшины. Более того, по-видимому, в Китае за несколько тысяч лет до промышленной революции уже использовались методы обратной связи.
Тем пе менее вплоть до самого последнего времени математические исследования процессов регулирования концентрировзлись вокруг относительно узкого понятия устойчивости. Рассмотрим систему, описываемую с помощью линейного дифференциального уравнения и-го порядка с постоянными коэффициентами пРОцвссы РегулиРОВАния с ОБРАтнОЙ сВязью (гл. чи! Это уравнение может возникнуть как уравнение в вариациях для более сложного нелинейного уравнения в ходе исследования устойчивости положения рзвновесия. Система будет считаться устойчивой, если все решения уравнения(8.1) стремятся к нулю при г — со. Как хорошо известно, это эквивалентно требованию того, чтобы все корни характеристического уравнения Л" +а,Л" '+...+О„=О (8.2) имели отрицательные вещественные части. Необходимые и достаточные условия для этого были получены Раусом и Гурвицем; с тех пор было сделано еше многое в этой области.
Проблема регулирования была, таким образом, приведена к проблеме расчета. Она свелась к необходимости построения физической системы так, чтобы обеспечить выполнение условий устойчивости. Этот способ исследования является слабым по ряду существенных соображений. В первую очередь утверждается линейность основных уравнений или, что эквивалентно, предполагается малость отклонений от положения равновесия *). Во-вторыч, не охватывается рассмотрение стохастических (случайных) процессов и, в частности, процессов с адаптацией. Поэтому мы в дальнейшем не будем уделять внимание проблемам устойчивости.
Читатель, интересующийся их изучением, найдет ряд ссылок в конце главы. 3. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ РЕГУЛИРОВАНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ Наша математическая модель будет построена по следующей схелюе. Рассмотрим диаграмму на рис. 77. Эту диаграмму надлежит интерпретировать следующим образом. В момент времени г на выходе системы о' имеется сигнал х(г). Этот сигнал сравнивается с желаемым выходным сигналом ы(().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
