Бровкин А.Г., Бурдыгов Б.Г., Гордийко С.В. Бортовые системы управления космическими аппаратами (2010) (1246599), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Угол ! отсчитывается от экваториальной плоскости Земли к северу (0 ≤ !≤ /2) и к югу (-/2 ≤ !≤ 0) иравен географической широте. Долгота отсчитывается от гринвичского меридиана к востоку (0 ≤ ≤ /2). Постоянная =f M, где М –масса Земли. Величина re принимается равной большой полуоси общего земного эллипсоида. Функции Pn0 (sin) называются основнымимногочленами Лежандра, а Pn m (sin) при mn≠n – присоединеннымифункциями Лежандра.
Постоянные Cn m и Dn m являются коэффициентами этого разложения и определяются при помощи гравиметрических и геодезических измерений, а также по наблюдениям Луны иискусственных небесных тел.В связи с тем, что для рассмотрения выбрана геоцентрическаясистема координат (начало координат в центре масс Земли),С10= С11=D11= 0. Кроме того, координатные оси совпадают с осямиинерции и C11=D21=0.
Выбор системы координат позволяет выразитьгравитационный потенциал Земли в виде [14] nre nV(r,!,) = — f1+s—d(Сn m cos m+Dn m sin m) Pn m (sin!)g.rn=2 m=0 r_Это выражение можно записать для нормированных величин Сn mooDnm и нормированных многочленов и присоединенных функций Лежандра Pnm (sin!): n__re n _s—d(Сn m cos m+Dn m sin m) Pn m (sin!)g,V(r,!,) = —f1+rn=2 m=0 r–где Сnm = Сnm–Dnm = Dnm√oo(n +m)!(2n +1) (n m)!——————– ;;√ ——————–(2n +1) (n m)!(n +m)!CИСТЕМА ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ193√–(2n +1) (n m)!Pnm (sin!) = Pn m ——————– ;(n +m)!1 при m =0, = 2 при m =0.hМногочлены и присоединенные функции Лежандра.
Многочлены Лежандра, используемые для представления гравитационногополя Земли в виде ряда, вычисляются по формулеn1 d 2Pn0 (x) = ——— (x 1) ,2nn ! dxnа присоединенные функции Лежандра – по формуле_m2nd(1x 2 ) dPnm (x) = (1x ) ——P(x)=—————(x 2 1) .n0mnn+ m2 n ! dxdx_m2 2mn+mПервые многочлены и присоединенные функции Лежандра имеютвид P00 =1, P10 = x, P11 = √1x 2 ,1P20 = — (3x 21),2P21 = 3x√1x 2, P22 = 3(1x 2).Зная P00 , P10 , P11, можно вычислить Pn m для любых m и n с помощью рекуррентных соотношений(n+1)Pn+1,0 (x) (2n +1)Pn 0 (x)+n Pn -1,0(x) =0,dd— P(x) = (2n +1) Pn 0 (x) + — ,dx n+1,0dx(2n +1) x Pnm (x) (n m +1)Pn+1,m (x)(n +m)Pn -1,m(x) =0,причем Pnm = 0 при m > n.Если гравитационный потенциал записывается в сферическихкоординатах, то x = sin φ.Переход от приведенных выражений к нормированным выражениям происходит по формулам предыдущего подраздела.194БОРТОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ КОСМИЧЕСКИМИ АППАРАТАМИУскорения от действия нецентрального гравитационногополя Земли.
Сила тяжести g, действующая на единичную массу, илиускорение силы тяжести имеет видg=1дVдV1 дV– ————– –— ;дr d + s r д! d +s r .cos! д d√s——22дV1 дV1дVгде gr = — ,g! = – —— , g = ——––— –.дrr д!r cos! дкомпоненты вектора ускорения в геоцентрической системе координат.Если использовать выражение для гравитационного потенциалаЗемли с нормированными коэффициентами, то компоненты вектораускорения примут вид__r n n _ gr = —2 — (n +1) —e(Сnm cosm+Dnm sinm) Pnm (sin!);r m=0r n=2ro re—g! = —2r n=2 rns donos d om=0___(Сn m cos m+Dn m sinm) Pn m (sin!);___ re n nm (С cos m+D sinm) P (sin!);———–g = —nmnmr 2 n=2 r m=0 cos! n m_Pnm (sin!) – производная по x, где x =sinφ.os d oПрецессия и нутация. Вследствие возмущающего действия, оказываемого на вращение Земли телами Cолнечной системы, ось вращения Земли совершает в пространстве сложное движение (прецессияи нутация).
Вместе с осью вращения Земли движется и ее экваториальная плоскость. Эти движения приводят к смещению точки весеннего равноденствия по экватору.Для того чтобы от системы координат J2000 перейти к системекоординат, фиксированной на момент времени tтек , надо учесть прецессию и нутацию:r (t тек) =N.P.r2000 ,где N – матрица нутации, Р – матрица прецессии.CИСТЕМА ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯВ случае использования приведенной формулы приходим послепреобразования к системе координат, определяемой истинным геоэкватором и равноденствием даты tтек .
При этом положение точки весеннего равноденствия относительно Гринвичского меридиана в 0hвсемирного времени определяется гринвичским истинным звезднымвременем S0 .Если при переходе от одной системы координат к другой используется только матрица прецессии (матрица нутации обычно полагается единичной), то приходим к системе координат, определяемойсредним равноденствием и экватором даты tтек . При этом положениеточки весеннего равноденствия относительно Гринвичского меридиана в 0h всемирного времени определяется гринвичским среднимmзвездным временем S0 .Параметры прецессии и нутации определяются на основе теорииDE200/LE200 [14].Прецессионные параметры $, z, вычисляются по формулам:$ = 2306.2181t 0.30188t 20.017998t 3;z = 2306.2181t1.09468t 20.018203t 3; = 2004.3109t0.42665t 20.041833t 3;t = (JD-2451545)/36525,где JD – юлианский день даты t тек ;t вычисляется в юлианских столетиях.Далее вычисляется матрица прецессии P как произведение трехматриц P1 .
P2 . P3:cosz sinz 0cos 0 sin cos$ sin$ 0P1 sinz cosz 0 , P2 0 10 , P1 sin$ cos$ 0001sin 0 cos 001Матрица нутации N вычисляется как произведение трех матрицN1 .N2 .N3 :195196БОРТОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ КОСМИЧЕСКИМИ АППАРАТАМИ1N1 0000cos sin 0100cosε sinε , N2 sin cos 0 , N1 0 cosε0 sinε0sinε cosε0010 sinε0 cosε0где εε0εdε ,d; – долгопериодическая часть нутации по долготе,d – короткопериодическая часть нутации по долготе,ε – долгопериодическая часть нутации наклона,dε – короткопериодическая часть нутации наклона,ε0 – средний наклон эклиптики к экватору.Приведенные части нутации вычисляются по формулам, содержащим кратности соответствующих аргументов, средние аномалииЛуны и Солнца, среднюю элонгацию (разность средних долгот) Луныи Солнца, среднюю долготу восходящего узла орбиты Луны на эклиптике, время в юлианских столетиях от стандартной эпохи J2000.Численный метод решения уравнений движения.
Для интегрирования уравнений движения можно использовать метод РунгеКутта четвертого порядка. Векторное уравнение, приведенное впервом подразделе данного раздела, эквивалентно шести скалярнымуравнениямdx/dt vx ; dy/dtvy ; dz/dtvz ;dvx /dt g1x+g2x+g3x;dvy /dt g1y+g2y+g3y;dvz /dt g1z+g2z+g3z .Стандартный метод Рунге – Кутта четвертого порядка предполагает на шаге h двадцать четыре обращения к правым частям несвязанных уравнений. Так как существует зависимость междуприведенными шестью уравнениями, то число обращений к правымчастям можно сократить до двенадцати. Так, для первых компонентвекторов координат и скоростей имеем:CИСТЕМА ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯx ( t 0 +h) = x 0 +h v x0+h 2 ( g x0+g x1/2+gx1/2)/6 ;v( t 0 +h) = v x0+h(g x0+2g x1/2+gx1/2+g x1) /6 ,где x ( t 0 +h) , v( t 0 +h) – значения первых компонент векторов координат и скоростей в конце шага интегрирования h;x0, vx0 – значения первых компонент векторов координат и скоростей в начале шага интегрирования;gx0 – значение первой компоненты вектора ускорения, обусловленной действием Земли, Солнца и Луны, в начале шага интегрирования;g x1/2 – значение первой компоненты вектора ускорения, обусловленной действием Земли, Солнца и Луны, в середине шага интегрирования;gx1/2 – значение первой скорректированной компоненты вектораускорения, обусловленной действием Земли, Солнца и Луны, в середине шага интегрирования;g x1 – значение первой компоненты вектора ускорения, обусловленной действием Земли, Солнца и Луны, в конце шага интегрирования.Схема алгоритма решения задачи.
Задача решается в системекоординат J2000. Для решения задачи должны быть заданы начальныеусловия и время начала расчета (например, в стартовом полетном задании на момент штатного расчетного начала автономного полета КА).Также для решения задачи должны быть заданы на определенныйпериод полета эфемериды Солнца и Луны в системе координат J2000.Расчет эфемерид может производиться на борту КА или на Земле.Во втором случае задавать эфемериды возможно с использованием разных интерполяционных полиномов (наиболее предпочтительным выглядит сплайн-аппроксимация) и передавать на борткоэффициенты полиномов для необходимых временных интервалов.В случае использования интерполяционных полиномов эфемеридыдля Солнца могут задаваться реже, чем эфемериды для Луны.
Предположительно эфемериды Солнца могут задаваться на начало каждогодня, а для Луны эфемериды должны задаваться не реже, чем через двачаса. Окончательный выбор временных промежутков для задания197198БОРТОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ КОСМИЧЕСКИМИ АППАРАТАМИэфемерид может быть сделан из условий необходимой точности расчетов вектора состояния после разработки программ для математического моделирования. Выбор места расчета эфемерид (на борту КАили на Земле) также будет определен после разработки программ дляматематического моделирования, определения числа операций в ПО ипроработки возможности передачи на борт необходимого объема информации.Для 0h гринвичского времени каждых суток полета рассчитываются матрицы прецессии и нутации и звездное время. Как и расчетэфемерид, так и расчет матриц прецессии и нутации и звездного времени может быть проведен на борту или в наземных условиях.
Выборместа расчета матриц прецессии и нутации и звездного времени (наборту КА или на Земле) определяется после разработки программ дляматематического моделирования, определения числа операций в ПОи проработки возможности передачи на борт необходимого объемаинформации.Зная координаты КА в момент начала интегрирования, можнонайти компоненты гравитационных ускорений, обусловленные воздействием Солнца и Луны, на момент начала интегрирования по формулам, приведенным в данном разделе.Для вычисления компонентов гравитационных ускорений, обусловленных воздействием гравитационного поля Земли, необходимочетыре раза на каждом шаге интегрирования от координат КА в системе координат J2000 переходить, используя матрицу совместногоучета прецессии и нутации, к координатам КА в системе координат,определенной 0h гринвичского времени текущей даты по формуламданного раздела.
Затем, для перехода к гринвичской системе координат (ГСК), необходимо воспользоваться матрицей поворота вокруг осивращения Землиcos sin 0M sin cos 0001где =S + UTC;CИСТЕМА ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯS – гринвичское истинное или среднее звездное время в 0h всемирного времени;– скорость вращения Земли;UTC – всемирное время от 0h рассматриваемой даты.По найденным координатам КА в ГСК могут быть вычисленыкомпоненты гравитационного ускорения gφ, gλ, gr по формулам, приведенным в данном разделе для сферической системы координат.
Этигравитационные ускорения легко перепроектировать в ГСК. Затем необходим перевод найденных ускорений в систему координат J2000.Для этого найденный вектор ускорения умножается на матрицу M -1,обратную матрице поворота вокруг оси вращения Земли. Далее преобразованный вектор умножается на матрицу, обратную матрице прецессии и нутации. Так как матрицы P1, P2, P3, N1, N2, N3, M ортогональные, то матрица M -1 и матрица, обратная к матрице прецессиии нутации, получаются из исходных матриц транспонированием.После всех приведенных вычислений может быть проведен первый шаг интегрирования по методу Рунге – Кутта. Все следующиеоперации метода Рунге – Кутта аналогичны приведенным.Для проверки правильности вычислений по методу Рунге – Куттаи оценки погрешностей округления при использовании малых шаговпри математическом моделировании предполагается использовать параллельно с методом Рунге – Кутта метод Грегга – Булирша – Штера.При разработке алгоритмов предлагается ввести процедуру минимизации погрешностей.
Накопление ошибок расчета может бытькомпенсировано коррекцией расчета, проводимой по кодовым командам с Земли с необходимой частотой. Суть коррекции состоит в использовании при численном интегрировании с некоторого моментавремени, заданного в кодовой команде (КК), точных параметров вектора состояния, определенных в наземных условиях и переданных наборт в составе КК, а не вектора состояния, полученного в конце предыдущего шага интегрирования. Периодичность коррекции определяется после разработки программ для математического моделирования,определения числа операций в ПО и проработки возможности передачи на борт необходимого объема информации.199200БОРТОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ КОСМИЧЕСКИМИ АППАРАТАМИСхема отработки алгоритма решения задачи. Так как коэффициенты разложения в ряд гравитационного поля Земли на сегодняшний день не стандартизованы, разные организации используют своиданные для коэффициентов разложения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
