Рассел С., Норвиг П. Искусственный интеллект. Современный подход (2-е изд., 2006) (1245267), страница 180
Текст из файла (страница 180)
Бернстейн [114] составил увлекательный популярный отчет об истории понятия риска. УПРАЖНЕНИЯ 13.1. Докажите на основании основных принципов, что Р(а[Ь л а) = 1. 13.2. С использованием аксиом вероятностей докажите, что любое распределение вероятностей дискретной случайной переменной должно в сумме составлять 1. 13.3. Было бы рациональным для агента придерживаться трех убеждений— Р(Л) = 0.4, Р(В) = 0.3 и Р(Д ч П) = 0.5? Если это так, то какойдиапазон вероятностей был бы рациональным для агента применительно кд л в? Составьте таблицу, подобную приведенной в табл. 13.), и покажите, полтверждает ли она ваши доводы в отношении рациональности.
Затем составьте еще олну версию этой таблицы, в которой Р(л ~ в) = 0.7. Объясните, почему рационально иметь уверенность в наличии этой вероятности, даже несмотря на то, что таблица показывает один случай, который соответствует проигрышу, и три случая, в которых достигается ничья. (Подсказка.
Какие обязательства взял на себя агент 1 применительно к вероятности каждого нз четырех случаев, в частности, того случая, когда имеет место проигрыш?) 13.4. Этот вопрос касается свойств атомарных событий, как описано на с. 629. а) Докажите, что дизъюнкция всех возможных атомарных событий логически эквивалентна значению сапе. (Подсказка.
Используйте доказательство по индукции, которое распространяется на произвольное количество случайных переменных.) б) Докажите, что любое высказывание логически эквивалентно дизьюнкции атомарных событий, из которых следует истинность этого высказывания. 13.5. Рассмотрите проблемную область, в которой речь идет о раздаче в покере на руки по 5 карт из стандартной колоды в 52 карты, на основе предположения, что раздача проводится честно. а) Каково количество атомарных событий в совместном распределении вероятностей (т.е.
каково количество различных раздач по 5 карт)? б) Какова вероятность каждого атомарного события? в) Какова вероятность получения королевского флеша стрит? Четырех королей? 13.6. Исходя из полного совместного распрелелення, приведенного в табл. 13.2, вычислите следуюШее: а) Р(евое)зас)зе) б) Р(сатЗсу) 657 Глава 13. Неопределенность в) Р ( Тоос)зас)зе ~ сачу Су) г) Р(Саьуеу! Соое)зас)зе м саес)з) Покажите, что три формы описания свойства независимости, приведенные в уравнении!3.8, являются эквивалентными. После ежегодного медицинского осмотра некоторого пациента у врача есть плохая новость и хорошая новость. Плохая новость состоит в том, что оказалась положительной проверка на наличие серьезного заболевания и что точность результатов проверки составляет 99% (это означает, что вероятность получения положительного результата проверки, если пациент имеет это заболевание, равна 0,99, и такова же вероятность получения отрицательных результатов проверки, если пациент не имеет этого заболевания).
Хорошая новость состоит в том, что это заболевание — редкое и поражает только ) из 10 000 людей того возраста, в котором находится пациент. Почему новость, что это заболевание редкое, названа хорошей? Каковы нюансы на то, что пациент лействительно имеет данное заболевание? 13.7.
13.8. 13.9. Очень часто бывает полезно рассмотреть результаты некоторых конкретных высказываний в контексте определенного общего фонового свидетельства, которое остается неизменным, а не действовать в условиях полного отсутствия информации. В приведенных ниже вопросах предлагается доказать более общие версии правила произведения и правила Байеса применительно к некоторому фоновому свидетельству е.
а) Докажите версию общего правила произведения с условными вероятностями: шили, что п-1 из этих монет являются нормальными, такими, что с одной стороны имеется орел, с другой — решка, а олна монета — фальшивая, и с обеих ее сторон имеется орел. а) Предположим, что вы открыли мешок, случайным образом выбрали монету, не пытаясь определить ее свойства, подбросили ее, после чего выпал орел. Какова (условная) вероятность того, что выбранная вами монета является фальшивой? б) Предположим, что вы прололжаете подбрасывать монету всего )г раз после того, как ее выбрали, и обнаруживаете )г выпадений орла.
Какова теперь условная вероятность того, что вы выбрали фальшивую монету? в) Предположим, что вы хотите принять решение в отношении того, является ли выбранная монета фальшивой, подбросив ее )с раз. Процедура Р(Х, Г(е) = Р(Х(х,е) Р(Г(е) б) Докажите версию правила Байеса из уравнения 13.10 с условными вероятностями. 13.10.
Покажите, что утверждение Р(А,В~С) = Р(А(С) Р(В(С) эквивалентно любому из следующих утверждений: Р(А)ВС) = Р(А)С) и Р(В(АС) = Р(В(С) 13.11. Допустим, что вам вручили мешок, содержащий и подлинных монет, и сооб- 658 Часть |'. Неопределенные знания и рассуждения в условиях неопределенности принятия решения возвращает Рдке (Фальшивая), если все )г бросков приводят к выпадению орла, а в противном случае возвращает ИОпМАь (Нормальная). Какова (безусловная) вероятность того, что эта процедура допускает ошибку? 13.12.
В этом упражнении предлагается выполнить вычисление коэффициента нормализации лля примера с менингитом. Вначале выберите подходящее значение лля Р(Я)-.н) и примените его лля вычисления ненормализованных значений Р(м~ Я) и Р( — Н~ Я) (те. игнорируя терм Р(В) в выражении правила Байеса). Теперь нормализуйте эти значения таким образом, чтобы они в сумме составляли 1. 13.13. В этом упражнении исследуется то, как влияют соотношения, касающиеся условной независимости на количество информации, требуемой лля вероятностных вычислений. а) Предположим, что необходимо рассчитать значение Р()з~ е,, е,), а информация об условной независимости отсутствует. Какие из слелующих множеств чисел являются достаточными лля такого вычисления? ! .
Р ( Е1, Еа), Р (Н), Р ( Е1 ~ Н), Р ( Ез )) Н) 2. Р ( Е1, Ез ), Р ( Н), Р ( Ег, Ег ~ Н) 3. Р(Н), Р(Е1 ~ Н), Р(Ез ~ Н) б) Предположим, известно, что Р(Е„)Н, Е,) =Р(Е,'(и) для всех значений Н, е,, е,. Какое из этих трех множеств значений теперь будет достаточным? 13.14.Допустим, что х, у, Š— булевы случайные переменные. Обозначьте восемь элементов в совместном распределении Р (х, У, Я) буквами алфавита от а до )з. Выразите утверждение, что х и у являются условно независимыми, если дано е, в виде множества уравнений, связывающих элементы от а до )з.
Сколько среди них неизбыточных уравнений? 13.15. (Адалглировани из (7)97(.) Предположим, что вы — свидетель ночного наезда на пешехода в Афинах с участием такси, виновник которого уехал с места происшествия. Все такси в Афинах покрашены в синий или зеленый цвет. Вы поклялись под присягой, что такси было синим, а результаты широких экспериментов показывают, что в условиях плохого освещения надежность распознавания синего и зеленого цветов составляет 75% Возможно ли рассчитать наиболее вероятный цвет этого такси? (Подсказка.
Тщательно проведите различие между высказыванием, что такси — синего цвета, и высказыванием, что оно внешне казалось синим.) А что можно сказать, получив информацию о том, что в Афинах 9 из )О такси имеют зеленый цвет? 13.16. (Адалглироваио из (П9!(.) Три заключенных, л, В и Е, заперты в своих камерах. Всем известно, что один из них завтра будет казнен, а другие помилованы.
Но только губернатор знает, кто именно будет казнен. Заключенный л просит охранника об одолжении: "Пожалуйста, узнайте у губернатора, кто будет казнен, а затем передайте сообщение одному из моих друзей, В или С, чтобы он знал, что утром будет помилован". Охранник соглашается, а после возвращения говорит заключенному А, что передал сообщение о помиловании заключенному В. Глава 13. Неопределенность 659 Каковы шансы заключенного А на то, что он будет казнен, при наличии этой информации? (Ответьте на этот вопрос с помощью математики, а не энергичной жестикуляции.) 13.17. Напишите общий алгоритм получения ответов на запросы в форме Р[саиэе]е) с использованием наивного байесовского распределения.
Вы должны исходить из предположения, что свидетельство е может присваивать значения любому подмножеству переменных результата. 13.18. Каглегоризацией глекста называется задача присваивания данному конкретному документу одной из фиксированного множества категорий на основе анализа содержащегося в нем текста. Для решения этой задачи часто используются наивные байесовские модели. В этих моделях переменной запроса является категория документа, а в качестве переменных "результата" рассматривается наличие или отсутствие кажлого слова из языка документа; основнос предположение состоит в том, что слова в документах встречаются независимо друг от друга, а их частоты определяются категорией документа.
а) Объясните точно, как можно сформировать такую модель, получив в качестве "обучающих данных" множество документов, которые были распределены по категориям. б) Объясните точно, как следует определять категорию нового документа. в) Является ли указанное предположение о независимости обоснованным'? Обсудите этот вопрос. 13.19. В проведенном в данной главе анализе мира вампуса использовался тот факт, что каждый квадрат содержит яму с вероятностью 0,2, независимо от содержимого других квадратов.
Вместо этого примите предположение, что точно ЛГ/5 ям разбросаны равномерно случайным образом среди )у квалратов, отличных от [1, 1]. Остаются ли переменные Р,, и Р,, все еще независимыми? Каково теперь совместное распределение Р [Р, „, ..., Р,, )? Снова проведите вычисления вероятностей наличия ям в квадратах [1, 3] и [2, 2] . В этой главе описано, как составлять сетевые модели для формирования рассуждений в условиях неопределенности в соответствии с законами теории вероятностей. В главе 13 рассматривались синтаксис и семантика теории вероятностей. В ней отмечалась важность связей, определяющих независимость и условную независимость высказываний, для упрощения вероятностных представлений о мире. В данной главе описан систематический способ явного представления таких связей в форме байесовских сетей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
