Сборник задач для упражнений по курсу - Основы вычислительной метаматики (1238838), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Для уравнения∂ 2u ∂ 2u∂u=++ f (x, t)∂t∂x2 ∂y 2построить разностные схемы метода переменных направлений по следующимобразцам 2 n+1/2 2 nn+1/2− un∂ u∂ uu=+f+2τ /2∂x∂y 2а) 2 n+1/2 2 n+1n+1n+1/2u−u∂ u∂ u=++f2τ /2∂x∂y 2 2 ∗ 2 nu∗ − un∂ u∂ u=++f2τ∂x∂y 2б) 2 n+1 2 nn+1∗∂ u∂ uu−u=−2τ∂y∂y 2Исследовать спектральную устойчивость полученных схем.VIII.8*. Решение краевой задачи∂u∂ 2u=,∂t∂x20 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ Tu(x, 0) = ϕ(x) =∞Xck sin kπxk=1u(0, t) = u(1, t) = 0определяется приближенно по разностной схемеpppy− 2upm + um−1up+1m − um,= m+1τh2u0m = ϕ(mh)up0 = upM = 0.m = 1, 2, .

. . , M − 1,Mh = 1– 28 –Выписать решение дифференциальной задачи в виде ряда Фурье, а разностной задачи — в виде конечного ряда Фурье. Сравнивая эти ряды, рассмотретьмеханизм сходимости решения разностной задачи к решению дифференциальной при τ = rh2 , r ≤ 12 , h → 0 и механизм расходимости при r > 12 , h → 0VIII.9*. Задача Коши∂u ∂u−= 0,∂t∂xu(x, 0) = eiαxt > 0, −∞ < x < ∞имеет решениеu(x, t) = eiαt eiαx .Аппроксимирующая эту задачу разностная схемаpup − upmup+1m − um− m+1= 0,τhu0m = eiαhmимеет решениеp = 0, 1, . . . , m = 0, ±1, ±2, .

. .pupm = 1 − r + reiαh eiαhm ,которое при p = τt , m = hx стремится к стремится к решению дифференциальной задачи при h → 0 каково бы ни было фиксированное число r = hτ . Междутем, при r > 1 разностная задача не удовлетворяет необходимому для сходимости условию Куранта-Фридрихса-Леви. Объясните кажущийся парадокс.– 29 –IX. Задачи для эллиптических уравненийIX.1. а) Построить пятиточечную разностную схему для задачи Дирихле∂ 2u ∂ 2u+= f (x, y),0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1∂x2 ∂y 2ux=0 = ux=1 = uy=0 = uy=1 = 0б)* Написать программу и вычислить решение разностной задачи методомразделения переменных (методом Фурье).IX.2. а) Построить пятиточечную разностную схему для уравнения Пуассона∂ 2u ∂ 2u+= f (x, y),0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1∂x2 ∂y 2при следующих краевых условиях∂u =0u x=0 = u x=1 = u y=0 =∂y y=1б)* Вычислить решение разностной задачи с помощью метода разделенияпеременных (метода Фурье).IX.3.

Для краевой задачи∂ 2u ∂ 2u+= f (x, y),0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1∂x2 ∂y 2u(0, y) = u(1, y) = u(x, 0) = u(x, 1) = 0a) Предложить явную разностную схему, основанную на принципе установления.б) Оптимизировать временной шаг и оценить число итераций, достаточноедля уменьшения ошибки начального приближения в тысячу раз.IX.4. Построить разностное уравнение, аппроксимирующее уравнение∂∂u∂∂ua(x, y)+b(x, y)= f (x, y), a(x, y) > 0, b(x, y) > 0.∂x∂x∂y∂y– 31 –Составители: В.И.Косарев, О.Л.Косарева, Н.П.Онуфриева, В.Б.Пирогов,В.С.Рябенький, Л.И.Северинов, Л.М.Стрыгина, Р.П.Федоренко,А.С.Холодов, Л.А.Чудов.Сборник задач для упражнений по курсу:Основы вычислительной математики.

Характеристики

Список файлов книги