PZ Syrvacheva (1227705), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

При установившихся условиях поток, входящий и выходящий из элементарного объема грунта, одинаков в любой момент времени. В этом случае левая часть уравнения сокращается, и уравнение будет иметь вид:

Функция теплоемкости состоит из двух частей. Первая часть – объемная теплоемкость грунта (талого или мерзлого), вторая часть – скрытая теплота фазовых переходов в интервале отрицательных температур, поглощенная или отданная грунтом из-за изменений фазы грунтовой воды, представленная в виде:

где L₀=335x10⁶ Дж/м³=335x10³ кДж/м³=79760 ккал/м³ – теплота фазовых превращений вода-лед; W_w – влажность мерзлого грунта за счет незамерзшей воды.

Объемная теплоемкость C_th(f) представляет собой наклон кривой теплооборотов в талых и мерзлых зонах, как показано на рис. 3.1. Слагаемое представляет показатель изменения компоненты скрытой теплоты фазовых переходов в спектре отрицательных температур, поглощенной или отданной грунтом из-за изменений фазы грунтовой воды (рис. 3.1).

Когда функция содержания незамерзшей воды в грунтах определена, общее содержание незамерзшей воды может быть выражено как:

где W_р – влажность на границе раскатывания; К_w – коэффициент содержания незамерзшей воды в мерзлых глинистых грунтах [13].

Подставляя соотношение (3.3) в выражение (3.1), получим полное дифференциальное уравнение:

Рисунок 3.1. Функция теплооборотов грунта в процессе промерзания-оттаивания

Формула (3.6) позволяет учитывать изменения компоненты скрытой теплоты фазовых переходов в интервале отрицательных температур, поглощенной или отданной грунтом из-за изменений фазы грунтовой воды.

Начальным условием для уравнений (3.1 и 3.6) является заданное значение поля температуры в исследуемой области Т (х, у, z) грунта в момент времени t=t₀ (рис. 3.2).

Граничные условия могут быть четырех видов:

1. Если известна температура грунта на поверхности S, то

1. Если внутри области S_q задан тепловой поток, то

где n – вектор направления внешней нормали к поверхности; q_n – плотность теплового потока, который считают положительным, если грунт теряет теплоту. Физическими примерами источников теплопотока являются проложенные в грунте трубы теплоснабжения, водяного пара или кабели энергоснабжения или связи. В каждом из этих случаев площадь поперечного сечения трубы или кабеля мала по сравнению с размерами окружающего грунта.

3. Если на поверхности грунта S_α происходит конвективный теплообмен, то

где α – коэффициент теплоотдачи; T_а – температура окружающей атмосферы.

4. Если на границах рассматриваемой области задан тепловой поток, то

Поток тепла q_n и конвективная потеря тепла не имеют места на одном и том же участке поверхности границы. Если существуют потери тепла за счет конвекции, то отсутствует отвод или приток тепла за счет теплового потока и обратно.

Система конечноэлементных уравнений задачи теплопроводности может быть получена минимизацией соответствующего функционала на множестве функций, удовлетворяющих граничным условиям задачи. С вариационной точки зрения решение уравнения 3.1 или 3.6 с указанными граничными условиями 1, 2, 3 и 4-го рода эквивалентно нахождению минимума функционала

что приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, записываемых в матричной форме следующим образом:

где – матрица теплоемкости грунта в мерзлом и талом сосотоянии; T – вектор узловых температур; t – время; – матрица теплопроводности грунта в мерзлом и талом состоянии; {F_k} – вектор правых частей разрешающей системы уравнений.

Неизвестная функция температуры Т аппроксимируется на момент времени t в элементах и во всей рассматриваемой области функциями формы N(х, у, z):

Матрица теплоемкости системы элементов имеет вид

где – матрица теплоемкости конечного элемента.

Матрица теплопроводности системы элементов имеет вид:

где – матрица теплопроводности конечного элемента; [N] – матрица функций формы конечного элемента; [B] – матрица производных функций формы конечного элемента по координатам; S_α – площадь поверхности, по которой осуществляется теплообмен; α – коэффициент теплоотдачи поверхности.

Вектор узловых теплопритоков имеет вид:

Решение дифференциального уравнения (3.11) может быть получено по конечно-разностной схеме. Наиболее простая схема – левая конечная разность:

где T_n – температура в текущий дискретный момент времени; T_n-1 – температура в предыдущий дискретный момент времени.

Отсюда окончательно приходим к разрешающей системе конечно-элементных уравнений:

Система уравнений (3.17) является самостартующей, поскольку в момент времени t₀ температурное поле известно и равно заданному [23].

3.3 Численная реализация модели грунта для решения теплофизических задач

Для решения пространственных задач промерзания-оттаивания выбраны объемные конечные элементы в виде четырехузловых тетраэдров с функциями формы вида [28]:

где константы вычисляются с использованием определителей или матричным умножением. Запишем необходимые матрицы

Для интеграла (3.24) существуют три другие формы записи, по одной на каждую из оставшихся сторон. В каждой из них значения коэффициентов на главной диагонали равны двум и значения ненулевых коэффициентов вне главной диагонали равны единице. Коэффициенты в строках и столбцах, соответствующих узлам, расположенным вне рассматриваемой поверхности, равны нулю. Для интеграла (3.25) тоже существуют три другие формы записи. Нулевой коэффициент находится в строке, соответствующей узлу вне рассматриваемой поверхности. S_ijk – площадь поверхности, содержащей узлы i, j, k и т. д.

Результатом решения системы определяющих уравнений является поле узловых температур. Для линейных задач, когда свойства грунта постоянны, температура в узлах вычисляется непосредственно. Однако рассматриваемая модель грунта является нелинейной, поскольку свойства грунта являются функцией температуры.

Реализованная конечно-элементная модель использует повторяемую технику замены в итерационном процессе. На первой итерации для формирования матрицы жесткости системы используются исходные свойства элементов. Свойства грунта обновляются в последующей итерации в зависимости от вычисленной температуры в элементах на предыдущей итерации. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока число итераций не достигает указанного максимального числа или пока результаты решения не будут удовлетворять критерию сходимости [29].

В программе используется проверка изменения векторов температур {ΔT} между последовательными итерациями как мера сходимости. Векторная норма изменений называется остаточной и определяется как:

где R – остаток; n – общее количество узлов; j – номер узла; ΔT – узловое температурное различие между двумя последовательными итерациями.

Остаток – мера температурного различия между итерациями. В нормальном процессе сходимости остаток будет уменьшаться и приближаться к нулевому значению. Решение считается сходящимся, когда остаток меньше указанной точности решения.

Как только решение сошлось и значения узловых температур определены, вычисляются тепловые градиенты и единицы потоков тепла в каждых точках интегрирования по Гауссу в пределах каждого элемента из следующего выражения:

где i_x – градиент температуры в X направлении; i_y – градиент в Y направлении; i_z – градиент в Z направлении.

Скорость теплопотока в каждой точке интегрирования по Гауссу вычисляется из выражения:

где v_x – скорость в X направлении; v_y – скорость в Y направлении; v_z – скорость в Z направлении; [C] – матрица теплопроводности.

В реализованной программе теплопроводность в каждой точке интегрирования по Гауссу сохраняется в определенном массиве для последующего формирования уравнений конечного элемента. Те же самые значения теплопроводности используются для вычисления единицы потока тепла.

Возможен учет количества теплового потока в любом направлении. Это количество может быть вычислено по значениям узловых температур и коэффициентов глобального уравнения конечного элемента. Пример вычисления теплового потока по оси Х для гексаэдра показан на рис. 3.3.

Уравнение теплового потока в матричной форме будет записано в виде:

Рисунок 3.3. Направление теплового потока

Характеристики

Список файлов ВКР