Бориско (1223143), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Из лемм 2.7–2.10 вытекает равенство (2.57), гдеR8 = R + R5 + R6 − R7 .41(2.58)Применяя оценки для R, R5 , R6 , R7 из указанных четырех лемм, получаем(2.58).ОбозначимZ∞Ik (x) =e−t2/2 kt cos(tx) dt.0Лемма 2.12. Справедливо равенство√2π −x2 /2e.2I0 (x) =Доказательство. Известно, что1√2πZ∞eitx−t2/22dt = e−x/2.−∞Так какZZ∞eitx−t2 /2∞e−tdt =−∞2/2cos(tx) dt,−∞то отсюда следует утверждение.Лемма 2.13. Справедливо равенство√I2 (x) = (1 − x2 )422π −x2 /2e.2Доказательство. Интегрируя по частям два раза, получаемZZ1 ∞ −t2 /21 ∞ −t2 /2I0 (x) =ed sin(xt) =et sin(xt) dt =x 0x 0ZZ1 ∞ −t2 /21 ∞ −t2 /2=− 2et d cos(xt) = 2e(1 − t2 ) cos(xt) dt =x 0x 0³´1= 2 I0 (x) − I2 (x) .xОтсюда, используя лемму 2.12, получаем утверждение леммы 2.13.ОбозначимZ∞L(x) =−t2 /2 sin(tx)et0Zdt,xF (x) =ϕ(t) dt.0Лемма 2.14.
Справедливо равенствоL(x) = πF (x).Доказательство. Справедливо равенствоZ∞L0 (x) =√2e−t/2cos(tx) dt =02π −x2 /2e.2Учитывая, что L(0) = 0, получаем√L(x) =2π2Zx2e−t043/2dt = πF (x).Лемма 2.15. Справедливы равенстваB 1 = F (a),p−qϕ(a).B2 = √6 npqДоказательство. Имеем1B1 =πZ∞e−t02Z ∞√sin(tanpq)1sin(au)2npq/2dt =du.e−u /2tπ 0uПервое равенство теперь вытекает из леммы 2.14.Кроме того,npqB2 =(p − q)6πZ0∞√t cos(ta npq) dt =Z ∞p−qp−q2= √e−u /2 u2 cos(au) du = √I2 (a).6π npq 06π npqe−t2npq/2 2Тогда второе равенство получаем с помощью леммы 2.13.Лемма 2.16. Справедливо равенствоp−qA = F (a) − √ϕ(a) + R8 ,6 npqгде R8 удовлетворяет неравенству (2.58).Доказательство.
Утверждение вытекает из лемм 2.11 и 2.15.44Доказательство теоремы 2.1. Утверждение следует из (2.31), (2.35),(2.36), леммы 2.16, а также равенстваZa2F (a2 ) − F (a1 ) =ϕ(t) dt.a1Напомним обозначения [x] и dxe. Символом [x] обозначается целая частьвещественого числа x, т. е. [x] – это наибольшее целое, не превосходящееx. Символом dxe обозначается нименьшее целое число, не меньшее, чем x.Если x дробное, то dxe = [x] + 1.
А если x – целое, то dxe = [x].Лемма 2.17. Справедливы равенства[−x] = −dxe,(2.59)[n + x] = n + [x],когда n – целое,dxe = n − [n − x],когда n – целое.(2.60)(2.61)Доказательство. Равенство (2.59) следует из определений символов [·] иd·e. Равенство (2.60) очевидно. А равенство (2.61) следует из двух предыдущих. Действительно,[n − x] = [n + (−x)] = n + [−x] = n − dxe.Лемма 2.18. Пусть t1 < t2 – произвольные вещественные числа,£¤√K1 = nq − t1 npq ,£¤√K2 = np + t2 npq .45Тогда случайное событие√√np + t1 npq ≤ Sn ≤ np + t2 npq(2.62)эквивалентно событиюn − K1 ≤ Sn ≤ K2 .Доказательство. Учитывая, что Sn принимает только целые значения между 0 и n, заключаем, что событие (2.62) эквивалентно событиюN ≤ Sn ≤ K2 ,§¨√где N = np + t1 npq .
Остается доказать, что N = n − K1 . Последнееравенство легко вывести с помощью (2.61):§¨√√N = np + t1 npq = n − [nq − t1 npq ] = n − K1 .Лемма доказана.√Лемма 2.19. Пусть θ1 и θ2 – дробные части чисел nq − t1 npq и√np + t2 npq соответственно. Тогда¯Z¯¯¯Za2t2ϕ(t) dt −a1ϕ(t) dt−t1´¯¯ 0.06051 ³(1/2 − θ2 ) ϕ(t2 ) + (1/2 − θ1 ) ϕ(t1 ) ¯¯ ≤, (2.63)−√npqnpq46³´¯ 0.09181 ¯¯ 00¯000000.¯ϕ (a2 ) − ϕ (a1 ) − ϕ (t2 ) − ϕ (t1 ) ¯ ≤√6 npqnpq(2.64)Доказательство. Из определения θ1 и θ2 вытекают равенства√K1 + θ1 = nq − t1 npq,√K2 + θ2 = np + t2 npq.(2.65)(2.66)Заметим, что (2.65) можно записать в виде√n − K1 = np + t1 npq + θ1 .(2.67)Имея в виду дальнейшее использование теоремы 2.1, положим√√np + 1/2 + a1 npq = n − K1 = np + t1 npq + θ1 ,√√np − 1/2 + a2 npq = K2 = np + t2 npq − θ2 .(2.68)(2.69)Тогда1/2 − θ1a1 − t1 = − √,npq1/2 − θ2a2 − t2 = √.npqИспользуя обозначениеZxΦ(x) =ϕ(t) dt,−∞47(2.70)имеем по формуле Тейлора1/2 − θ2(1/2 − θ2 )2 0Φ(a2 ) = Φ(t2 ) + √ϕ(t2 ) +ϕ (t2 ),npq2npq1/2 − θ1(1/2 − θ1 )2 0Φ(a1 ) = Φ(t1 ) − √ϕ(t1 ) +ϕ (t1 ),npq2npqгде t2 и t1 – некоторые точки.
Вычитая второе равенство из первого, получаем¯Z¯¯¯a2a1´¯¯1 ³ϕ(t) dt −ϕ(t) dt − √(1/2 − θ2 ) ϕ(t2 ) + (1/2 − θ1 ) ϕ(t1 ) ¯¯ ≤npqt1¯¯1 ¯1 1¯2 02 0≤max |ϕ0 (t)|.¯(1/2 − θ2 ) ϕ (t2 ) − (1/2 − θ1 ) ϕ (t1 )¯ ≤2npqnpq 4 tZt2Нетрудно видеть, что 14 max |ϕ0 (t)| = 2√12πe < 0.0605. Тем самым неравенtство (2.63) доказано.Для доказательства (2.64) также применим формулу Тейлора:1/2 − θ2 (3)ϕ00 (a2 ) = ϕ00 (t2 ) + √ϕ (t2 ),npq1/2 − θ1 (3)ϕ00 (a1 ) = ϕ00 (t1 ) − √ϕ (t1 ),npqгде t2 и t1 – некоторые точки.
Вычитая второе равенство из первого, получаем¯³´¯¯ 00¯000000¯ϕ (a2 ) − ϕ (a1 ) − ϕ (t2 ) − ϕ (t1 ) ¯ ≤¯1 ¯¯1¯(3)(3)≤√max |ϕ(3) (t)|.¯(1/2 − θ2 ) ϕ (t2 ) + (1/2 − θ1 ) ϕ (t1 )¯ ≤ √npqnpq t48Так как¯¯max |ϕ (t)| = max ϕ(t) |t − 3t| = ϕ(t) |t − 3t|¯ √(3)3t3tt=√3− 6и¯1¯3ϕ(t) |t − 3t|¯ √ √ < 0.0918,t= 3− 66то (2.64) также доказано.Замечание 2.2. У автора вместо константы 0.0918 присутствует 0.069.Приведем пример, который показывает, что константа 0.069 неверна.
Возьмемn = 200,p = 0.15,t1 = 0.6,t2 = 0.78.Тогда с точностью до 10−9√nq − t1 npq = 166.970148518,√np + t2 npq = 33.938806926.Следовательно,θ1 = 0.970148518,θ2 = 0.938806926.49По формулам (2.70) получаемa1 = a2 = 0.693103280.Вычисления показывают, что√·³´¸npq 00000000ϕ (a2 ) − ϕ (a1 ) − ϕ (t2 ) − ϕ (t1 ) =6√´npq ³ 00=−ϕ (t2 ) − ϕ00 (t1 ) = −0.08249098.6Таким образом, константа 0.069 (второе неравенство на с. 130 в [7]) должна быть заменена на некоторое число, не меньшее, чем 0.082. Применениеформулы Тейлора приводит к константе 0.0918.Доказательство теоремы 1.3. Имеем³´´³Sn − np√√P t1 ≤ √≤ t2 = P np + t1 npq ≤ Sn ≤ np + t2 npq =npq=лемма 2.18P(n − K1 ≤ Sn ≤ K2 ) =³´√√=P np + t1 npq + θ1 ≤ Sn ≤ np + t2 npq − θ2 =(2.66), (2.67)³´√√=P np + 1/2 + a1 npq ≤ Sn ≤ np − 1/2 + a2 npq =(2.68), (2.69)= P.
(2.71)По теореме 2.1Za2P =a1´p − q ³ 0000ϕ (a2 ) − ϕ (a1 ) + R9 .ϕ(t) dt + √6 npq50Используя (2.63), (2.64) и (2.1), получаемZt2P =t1µ1(1/2 − θ1 ) ϕ(t1 )+ϕ(t) dt + √npq¶´p − q ³ 0000+ (1/2 − θ2 ) ϕ(t2 ) + √ϕ (t2 ) − ϕ (t1 ) + R, (2.72)6 npqгде|R| ≤0.0605 0.0918 |p − q|++npqnpq√0.1204 + 0.1776|p − q|++ 0.9742 e−3 npq/2 . (2.73)npqУтверждение теоремы 1.3 следует из (2.71)–(2.73).3Биография Я. В. УспенскогоЯков Викторович Успенский (1883 − −1947) – выдающийся советский,позже американский математик [10]. Родился в семье дипломата: его отец,Виктор Матвеевич Успенский, был атташе дипломатической службы.В 1903 г. Яков Викторович поступил на математическое отделение физико-математического отделения Петербургского университета, которое досрочно окончил в 1906 г., получив диплом 1-й степени.
Первую научнуюработу, опубликованную в «Математическом сборнике» (1906), Успенскийнаписал в студенческие годы. После завершения обучения остался при университете и начал готовиться к получению профессорского звания: велпрактические занятия, читал лекции по теории чисел.Позднее, став преподавателем, он расширил тематику своих лекций: начал читать курсы исчисления конечных разностей, теорию эллиптическихфункций. Одновременно Успенский преподавал в Институте инженеров путей сообщения (1907 − 1929) и на Высших женских (Бестужевских) курсах51(1911 − 1917). Некоторые университетские курсы лекций, которые читалУспенский, были изданы небольшим тиражом. В задачнике, изданном преподавателями Института инженеров путей сообщения, ему принадлежалоболее 1000 оригинальных задач.Рисунок 2 – Я.
В. Успенский [11]6 мая 1911 г., сдав магистерские экзамены, Яков Викторович успешно защитил диссертацию на тему «Некоторые приложения непрерывныхпараметров к теории чисел» (СПб., 1910) и получил степень магистра чистой математики. Оппоненты Ю.В. Сохоцкий и А.А. Марков отмечали,что автор диссертации – «вполне сложившийся ученый, успевший стойкои мастерски справляться с серьезными научными трудностями». В 1915 г.Успенский в порядке исключения был избран экстраординарным профессором Петроградского университета (по уставу 1884 г. магистры не моглизанимать профессорские должности, но во время первой мировой войныуниверситет ощущал нехватку квалифицированных специалистов). Рекомендуя факультету кандидатуру Успенского, академик В.А.
Стеклов отмечал не только эрудицию и незаурядные способности молодого ученого, нои «несомненный талант самостоятельного и оригинального исследователя,52стоящего на вершине пути к дальнейшему научному успеху». В университете Успенский работал до 1923 г. (с 1917 г. – в должности ординарногопрофессора).Революционные события 1917 г. помешали Успенскому защитить докторскую диссертацию, но в 1921 г. он был избран действительным членомРоссийской Академии наук на свободную, после смерти академика А.М.Ляпунова, вакансию. Яков Викторович продолжал заниматься своей любимой областью математики – теорией чисел, опубликовал ряд работ, средикоторых выделялись 5 мемуаров в «Известиях Российской Академии наук»за 1925−1926 гг. о представлении чисел квадратичными формами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
