МУ Что такое математическая физика - Бурский (1188235), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Гравитационная сила между двумя массами M1 и M2 ,находящимися на расстоянии r , равна F = – GM1M2/r2 с постоянной Ньютона G, аэлектрическая сила между двумя зарядами q1 и q2 , находящимися на расстоянии r ,выражается похожей формулой F=q1q2/r2. Для элементарных частиц обычно q1q2 > GM1M2 ,что объясняет, почему гравитацию, вообще говоря, игнорируют на атомных расстояниях,но для астрономических тел обычно GM1M2 > q1q2 , поэтому гравитация доминирует набольших расстояниях. Очевидно, что закон обратного квадрата означает, что сила стремитсяк бесконечности при r→ 0. Эта сингулярность не несла с собой особых трудностей Ньютону,поскольку, например, Луна всегда была на безопасном расстоянии от Земли, далёком от r =0. Но вот для электрона и атомного ядра, которые стали исследовать почти столетие назад,1/r2-сингулярность стала камнем преткновения.
Простые вычисления, основанные на физикеХIХ столетия, показали, что в атоме электрон должен, двигаясь по спирали, упасть на ядропримерно за 10-9 секунды, чего в действительности не происходит.11Чтобы устранить этот парадокс, была создана квантовая механика. В квантовоймеханике координата x и импульс q частицы не коммутируют, подчиняясь соотношениюГейзенберга [p,x]= – i , где –постоянная Планка. Это соотношение придает некоторую"размазанность", рассредоточенность электрону и другим частицам. Из-за этойрассредоточенности в реальности r не равняется нулю, и тем самым парадокс устраняется.То, что сейчас обсуждалось, является нерелятивистской квантовой механикой или квантовоймеханикой частиц.
Эта теория была развита около 1925 года и имела время, чтобы статьболее или менее математической. Общая теория эллиптических операторов на многообразииявляется математической основой квантовой механики, теория представлений групп такжетесно связана с ней.Квантовая теория поляПопытки привлечь релятивизм к описанию явлений микромира выглядят ещё болеевызывающе. В специальной теории относительности нельзя принять мгновенности действияна расстоянии, что предполагается в законах обратного квадрата. Вместо этого сила должнапорождаться полем, введение которого требует выполнения некоторых соотношенийнеопределённости, аналогичных соотношению Гейзенберга.
Всё становится более сложными интересным. Из соотношений неопределённости следует, что поле как бы приходитквантами, которые наблюдаются как частицы нового сорта – как фотоны в случаеэлектромагнитного поля. Вскоре выяснилось, что подобно классическим электромагнитнымволнам эти кванты могут рождаться и уничтожаться. Это привело к концепции антиматериии предсказаниям рождения и уничтожения материи и антиматерии. Здесь мы попадаем встранный и интересный мир, свойства и само существование которого являются вызовомматематике. Хотя квантовая механика была изобретена как способ избежать 1/r2сингулярности, получилось так, что, поскольку к теории были привлечены релятивистскиесоображения, то квантовая механика не устранила автоматически все проблемы, связанные ссингулярностью. Многие продвижения в физике с 1930 года относились к 1/r2-проблеме всвете объединения квантовой механики и специальной теории относительности.
Среди вехразвития, о которых говорилось выше, были такие:− около 1950 года ренормализационная теория и квантовая электродинамика далиболее точную теорию электронов и атома;− в 1967-73 годах неабелевы калибровочные теории были включены в аппаратописания природы ( давая электрослабую часть в стандартной модели), решая проблему1/r2-сингулярности в случае слабого взаимодействия;− в 1973 году была исследована и использована асимптотическая свобода внеабелевых калибровочных теориях, что позволило одолеть 1/r2-проблему в случае ядерныхсил. Эта теория завершила построение стандартной модели.Эти продвижения заложили основу новых отношений между квантовой теорией поляи геометрией.
Неабелевы калибровочные теории вместе с другими компонентами, которыеещё не упоминались, постепенно вели физиков к постановкам новых вопросов,привлекающих всё больше геометрические концепции и технику, не использовавшиеся ранеев физике. В то же время эта связь не была односторонней, и методы квантовой теории поляпозволили получить новые результаты в геометрии. И хотя квантовая теория поля ужедовольно немолода, её влияние на математику появилось совсем недавно и главныерезультаты этого влияния находятся в будущем.Квантовая гравитацияОтмеченные выше продвижения, приведшие к стандартной модели физики частиц,объединили большинство известных в физике феноменов, исключая гравитацию, под однойкрышей.
Остаётся лишь включить гравитацию, но это значит присоединить объектысовершенно иной природы. На первый взгляд гравитация является всего лишь другимпримером известной 1/r2-сингулярности. Гравитация и электростатика действительно вомногом очень похожи, но соотношения между ними не столь просты, как это можнопредположить из факта однородности управляющих ими законов обратного квадрата. Так,12например, уравнения электромагнитного поля (уравнения Максвелла) линейны, а уравненияЭйнштейна гравитационного поля весьма нелинейны. Квантовой рассредоточенности,следующей из соотношений неопределённости, по-видимому, недостаточно, чтобы решитьпроблему 1/r2-сингулярности для гравитационной силы. Решение этой проблемы–объединение квантовой механики и гравитации – устранит, вероятно, главное препятствие кунификации сил природы.
Создание квантовой гравитации важно и для того, чтобы ответитьна многие вопросы общего плана, которые может задать любой человек, даже не имеющийспециального физического образования. Астрономы, например, наблюдают, что вселеннаясейчас расширяется, поэтому можно говорить о начале расширения как о взрыве,называемом часто большим взрывом. Но рассуждения о большом взрыве кажутсяпарадоксальными. Что запустило часы ? Что было перед большим взрывом ? Обе теории : игравитация, и квантовая механика важны для понимания процессов, происходивших вблизивзрыва, так что ответы на подобные вопросы должны зависеть от того, как эти теорииработают вместе.Физики довольно неожиданно выяснили, начиная где-то с 1970 года, что проблемасоздания квантовой гравитации может быть решена лишь введением нового видарассредоточенности.
Например, "точечные частицы" заменяют "струнами". Конечно, иточечные частицы, и струны должны пониматься квантовомеханически. Квантовые эффектыпропорциональны постоянной Планка , а струнные эффекты пропорциональны некоторойновой постоянной α′ (равной примерно (10-32см)2), что определяет характерный размерструны. В этой теории и представление о струне, и квантовая неопределённость жертвуюткакими-то мешающими моментами, но вместе они справляются с 1/r2-сингулярностью вгравитации.
Если теория струн справедлива, то постоянная α′ столь же фундаментальна вфизике, как и , и эффекты, порожденные ею, по меньшей мере интересны. Деформации и α′ привлекают к рассмотрению новые фундаментальные конструкции и идеи геометрии.Что касается деформации , мы располагаем достаточным опытом и весьма широкими,может быть, не очень точными представлениями о геометрических структурах, которыемогут быть здесь использованы, хотя, как было сказано выше, математическое развитие этихидей находится в отдалённом будущем. Деформация α′ куда более мистична и трудна дажедля физиков, поскольку основные концепции и методы ещё не разработаны. Их поискибудут, возможно, наиболее волнующими приключениями в теоретической физике вближайшие десятилетия.
Математически осмысленные вопросы, связанные с деформацией , по крайней мере уже начали задавать, хотя ответы ожидать ещё рано, а похожиеволнующие вопросы, порождённые деформацией α′, ещё не поставлены. Это так хотя быпотому, что основной предпосылкой понимания того, что должна означать деформация α′,является тщательное знакомство с -деформацией, а это пока не описано математически.Идея замены точечных частиц струнами настолько наивна на первый взгляд, что,быть может, трудно поверить, что она действительно фундаментальна.
Если рассматриватьдействительные и комплексные числа как действительные векторные пространства, тоdimRR=1, dimRC=2. Траектория движения точечной частицы в пространстве-времениодномерна и может считаться действительным многообразием, а траектория движенияструны в пространстве-времени – двумерна (над R) и может рассматриваться как некотораякомпактная риманова поверхность. Современная физика без струн примерно аналогичнаматематике без комплексных чисел.Теории струнТребования со стороны квантовой механики и специальной теории относительностик новым теориям были настолько строги, что исторически создание теорий струн было оченьтрудным.
Эти требования, которые должны были быть выполнены, были в большой степенизавышены. Были приложены огромные усилия в создании теорий струн, и лишь где-то в1984-85 годах путь удалось расчистить, и причём сразу в пяти направлениях. Эти теорииотличались некоторыми общими свойствами струн:13− В двух теориях (тип IIA и тип IIB, которые отличаются наличием или отсутствиеминвариантности при изменении ориентации пространства-времени) струны замкнуты,ориентированы и являются электрическими изоляторами.− В двух теориях (гетеротические суперструны с калибровочной группой SO(32) илиE8×E8 ) струны замкнуты, ориентированы и сверхпроводящие.− В последнем случае (тип I) струны неориентированы , являются изоляторами,могут иметь концы и могут нести электрические заряды на своих концах.Поскольку теорий струн немного, общий каркас струнных теорий даёт некоторыеобщие предсказания :1.
Гравитация. Каждая из пяти струнных теорий предсказывает гравитацию (плюсквантовую механику), т.е. эти теории предсказывают наличие некоторой структуры, котораяна больших расстояниях выглядит как общая теория относительности , но с добавкой (ксожалению, чрезвычайно малой в практических экспериментах), пропорциональной α′.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
