Говорухин В., Цибулин Б. Компьютер в математическом исследовании (1185927), страница 51
Текст из файла (страница 51)
При г-1 происходит бифуркация, в результате которой нулевое равновесие обменивается устойчивостью с двумя ненулевылси. Внешнее воздейпвие Исследуем влияние периодического возмущения на поведение диссипативной системы. Для этого в уравнение для импульса добавим синусоидальное внешнее воздействие: > Уер;-[Оер3: Уер[П[П: 1пз(Уер[13(13)-гиз(Уер[П[П )+с"з!п(и«с): Уер:-Уер(1],уер[23: )сер;=)[-р1(с)=-р!(с) -(а-1)р!(с)-Ьр!(с)+св!п(тес),-р1(с)=р!(с)~ Гд ' з д ' '[Эс дс [р1(с),с)1(с)] В зависимости от значений амплитуды с и частоты «с в системе могут наблюдаться различные периодические режимы, а в некоторых случаях реализуется хаотическое движение шарика. Следующая команда демонстрирует хаотический режим (см. рис.
10.9), наблюдающийся при г О, Ь-0,1, с О, Э, тс О 5: > Оер)осзс)(вньз(а-о,ь 0.1,с-р.з,и-0.5 Уер[П) чар[2]. 1-0..280.[[р1(0)-1.5,р1(0)-О.ОП,стерв!се-0. 1, ясене [с.нар[23[13.нар[2][2П,)тпесо1ог-шасх, со1ог дгау,ахез-попе.тп!сйпезз-р.ахев-ьохеб.
от!витал!оп-[-170,703): Движение шарика в потенциальной яие 272 0.5 ртй) о -05 0 -0.5 1 .15 ч1(с) Рис. 10.9. Неавтономный квотнчвский режим Система с обратной связью Последней частью исследования является анализ системы с обратной связью. Здесь параметр а становится переменной, удовлетворяющей дифференциальному уравнению. Система уравнений имеет вид: > Сео:-соптегс(виьв(а-а(г),Ое)[1]).вес) ип1оп (б(сс(а(с),с)--ери 1оп*(бе)са"а(г)-Оис)"2)), сонтаг((Оке[2),вег) ып(оп (а(С)): Сее:ы ! — рцс)=-с!Цс) -(а(с)-1) дцс)-ьрцс),— а(с)ы-а(ба(с) — ЧЦс) ).
Э Э 2 '= Э 'дс Э Эс — ЧИс)=рИс)), (а(с),с(Цс),рИс)) Полученная система трех обыкновенных дифференпиальных уравнений описывает движение шарика в меняющейся во времени потенциальной яме. Напомним, что форма потенциальной ямы зависит от переменной а. Представим решение в удобном для физической трактовки виде с помощью Мар[е. Сначала используем анимационные возможности Мар[е для визуализации возможных режимов движения шарика. Выберем значения параметров, при которых в системе реализуется хаотический аттрактор, и решим соответствующую задачу Коши, Для вычисления мы используем метод Рунге-Кутты?-8-го порядка с выводом результата для значений времени заданных массивом ча1 т: > та) С:-агга)с(1..400): Гог 1 Сгое 1 Со 400 с$о ва1 1[11: (1-1)" 0.25: об: пшмо1."бво1те(вьвв(ерв11оп-1.бе)14-0.),Ь-0.4,Сее[13) ип1оп (ОИО)-0,2.р)(0) -0.2.а(0)-0.8),Сеч[2), С)сре-пшсег1с,та)ое-ча) С,аегноб бтега?8): ета1(паао1 [1.1) ): [с, чцс), а(с), рИ с) ) 272 Глава 10.
Примеры реаения задач Теперь проиллюстрируем движение шарика в изменяющейся потенциальной яме. Для этого напишем две процедуры: Ьа)1 для изображения самого шарика и Г!ОР!с для рисования графика потенциальной энергии и шарика в и-й момент времени: > Ьа11 .- Ргос(к.у) 1оса1 1; Р[ОТ(РО(ЧООИ5([зеЧ([ еча1Г(х+0 13"соз(Рт*1/10)/2). ета)т(0.02>у+0.04еюп(рт*т/10)/2) ), т - 1 .20)1)): епп. 1!Ор!с;=ргос(п): р1осз[гд зр1ау1(р1ос(зиоз(а-пцюзо)[2.11[о.3) Л). 01--1.0..1 О. со>ог-о)аса, гцтсупем-2), Ьап (полип)[2.1)[п.2;. зцоз(а=поело)[2,!)[п,3),01"поило)[2, 11[о,2).Ч))); епюд Результатом следующей команды будет мультфильм, состоящий из 400 кадров. Мы приводим на рисунке [см.
рис. 10.10) только четыре из ннх. > р)о[а[О!зр>ау!([зес(Г!Ор!с(т),1-1..400)1, (иеццепсе-ггце.ахез=ИОЧЕ): Рис. 10.10. Четыре кадра мультфильма, иллюстрирующего динамику шарика в изменяющейся потенциальной яие В заключение представим на одном рисунке изменяющуюся во времени потенциальную энергию и траекторию шарика. Вычислим для каждого значения переменной 1 координаты шарика и присвоим их массивам ча1 Ч и ча1 01. В качестве координат здесь фигурирует значение потенциальной энергии и переменная 01: > ча) Ч:-аггау()..400): та) 01:-аггау(1. 400): Гог ! Ггою 1 Ьо 400 Оо ча! Ч[т):-ета)т(зцоз(а-пиюзо)[2.П[1,31. 01 пцюво)[2,1)[),2).Ч)); ча1 01[!].-пцюзо)[2,11[).21; ос: Создадим набор точек зрсогче, приближающих траекторию шарика, и присвоим переменной р! с1 результат выполнения команды зрасеснгче, соединяющей эти точки в трехмерном пространстве: > зрсцгче:-[лед([()-1)*0.25.ча) 01[!Л.оа) Ч[тВ.)-1..400)1; > р! с1:-р)огв[зрасес огне) ( зрсц гче.
со) ос-Ь) аск ЛЬ! с)спела-б. огтепсат!оп-[-125.20)): Теперь сформируем набор точек, каждая из которых является значением потенциальной энергии в различные моменты времени на интервале (11=[-0. 55, О. 55): Исследование уравнений в частных производных методои [алеркина 273 > т;-'!': 10ас:-[зец([эвд([(1-1)*0.25. -0.65+(*0.065. аоЬз(а-пиппо1[2,1)[0.3), ц1--0.65+(*0.065.УЛ . т 0,.20И .1 1..400)3,' При помощи команды 5огТОаса построим поверхность для данных 60аг, а результат присвоим переменной р! с2. С помощью авЫ епг! ! ОЬ[ и ! ! ОЬЬ определим параметры подсветки и назначим серый цвет поверхности при помощи зпаа! пд: > р(с2:=р)огз[зиг[г)а1а)(зоаг,згу!е-РАТСНН00010, ашЬ)епг! )дпс-[1.1.1],! )дпс-[0.0,1.0,1.1, Ц, анап(пд-7ОЯЕУ5СА[Е.аюеп(а(топ-[-125.20) ): Наконец, при помощи команды О! зр! ау получим рисунок (сы.
рис. 10.11), на котором в различные моменты времени изображены форма потенциальной ямы и положение шарика: > от эр! ау((р( с1, рэ с2), ахеэ=тгапес. 1)1! етопс-[НЕ[уЕТ1СА, 12! )аЬе! э=[ "т","01". "ч"!.1аЬе)топ(-[Т!НЕ5,ВО[0,14)). 0.1 005 -О 05 0 Рис. 10.11. Изменение во времени формы потенциальной энергии и траектории шарика Исследование уравнений в частных производных методом Галеркина В предыдущем разделе мдтематическая модель движения материальной точки выражалась системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Математические модели динамики неоднородных по пространственным переменив!м величин обычно записываются в виде уравнений в частных производных.
Такое математическое описание используется в механике деформируемых тел, физике, гидродинамике, химии и других науках (см., например, книгу [591 и библиографию в ней). В этом разделе мы проиллюстрируем один из возможных способов исследования уравнений в частных производных с помощью Мар!е и МАТ[.АВ. 274 Глава 1о. Примерк решения задач В некоторых случаях уравнения в частных производных поддаются аналитическому решению, но часто приходится прибегать к численному анализу.
Это означает аппроксимацию исходных уравнений в частных производных системой обыкновенных дифференциальных или разностных уравнений и решение полученного конечномерного аналога. Широко распространены два способа дискретизации уравнений в частных производных: аппроксимация конечными разностями [651 и методы типа Галеркина (68~. С помощью конечных разностей приближенная система выписывается явно без особых трудностей, а получение галеркинских аппроксимаций зачастую связано с громоздкой аналитической работой, которую позволяет автоматизировать Мар!е.
Идея метода Галеркина состоит в том (см., например 1681), что приближенное решение разыскивается в виде отрезка ряда по известным базисным функциям с неизвестными коэффициентами при них. Базисные функции являются функциями пространственных переменных, бесконечный набор функций должен образовывать полную систему и каждая из них должна удовлетворять граничным условиям. Неизвестные коэффициенты при базисных функциях в стационарном случае будут константами, а в случае нестационарных задач — функциями, зависящими от времени.
Конечномерная система относительно неизвестных получается после подстановки отрезков рядов в исходные уравнения и проецирования результата на все присутствующие в аппроксимации базисные функции. Под проецированием здесь понимается интегрирование по пространственной области полученного выражения, умноженного на базисную функцию.
Обычно при использовании метода Галеркина используют ортогонзльный набор функций, что значительно упрощает вывод уравнений. При выводе гзлеркинской аппроксимации с помощью Мар!е возникает ряд технических проблем. Во-первых, приходится интегрировать выражения, состоящие из большого числа слагаемых, что требует значительных компьютерных ресурсов, а в силу их ограниченности это не всегда возможно, особенно для аппроксимаций большого порядка. Другая проблема вызвана необходимостью численного решения систем уравнений большого порядка, для чего предпочтительнее попользовать не Мар!е, а программные средства численного анализа.
Для преодоления перечисленных трудностей можно предложить интегрирование каждого слагаемого отдельно, использование рабочих файлов для записи промежуточных результатов и вызов МАТ1.АВ для численного решения полученных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Модель «активный хищник — жертва» Начало математическому описанию взаимодействия популяций было,положено В. Вольтерра в 1930-х годах (см. Г79]), и с того времени математическое модвлировэпие в биологии активно развивается. Спектр задач и методов исследования в этой области 'очень широк (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
