Говорухин В., Цибулин Б. Компьютер в математическом исследовании (1185927), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Сначала мы рассмотрим идеальный случай, когда трение отсутствует, а движение определяется потенциальной энергией т'. Затем будет изучено влияние днссипации и внешней силы, а в заключение — действие обратной связи. Мы остановимся на ключевых моментах, таких как построение фазового портрета, анализ равновесий и их бифуркаций и др. Интересно отметить, что знаменитая система Лоренца 1771 может быть записана в виде уравнения маятника с обратной связью 1751. Консервативная система Вначале рассмотрим случай консервативной системы. Запишем выражения для потенциальной энергии т' и гамильтониана Н.
Переменная О1 является координатой шарика, а р1 — его скоростью: > 9:- О1"4/44(а-1)ео1 2/2: )гг — 11 + — (а — 1) 411 4 2 4 2 > Н. р1 2/249: 2 1 4 2 Н:и-р1 +-411 +-(а-1) 41 2 4 2 Для вывода системы обыкновенныхдифференциальных уравнений, определяемых гамильтанианом н, воспользуемся командой из пакета йе1ооря 266 Глава 10. Цранерм реаеннл задач > н!1П(ОЕгоо)ь); > Нец:-Пав!)гоп ець(Н): нее:= — Р!(!) = -Ч1(!) — (а — 1) Ч!(!), Э Ч!(!) = Р)(!)~ [Р1(г), Ч1(!)] ГЭ, Э '=~Э! В результате получена система двух автономных обыкновенных дифференциаль- ных уравнений первого порядка относительно неизвестных р1(Ь) и ц1(Ь), завися- щая от параметра а. Изучим влияние параметра а на динамику шарика. Выберем два значения пара- метра а (а=О. 8-2) и построим для них графики потенциальной энергии и фазовые портреты.
Для построения фазовых по[зтретов воспользуемся командой 0[р>ос па- кета 0[[ее[я. Параметры команды задают интервал интегрирования (1-- 14 .. 14), точ- ки траекторий, шаг интегрирования (ятеря>ге-.1), количество узлов для изобра- жения векторного поля (си гцг!0=[20,15]), а также размер стрелок, оси координат, цвет и толщину линий. Обратимся дважды к этой команде, указав различные зна- чения параметра а и точки траекторий при 1=0. Результат присвоим переменным р!Српаяе! (а=О) и р!српаяе2 (а=2>: > р!српаяе1:= ОЕр!ог(ьоЬь(а=О,Ней[1]),Нец[2].
С--14.,14, [ [цИО)-1.5.рИО) 0].[цИО) 1,рИО) 0], [ц1Ю)=О,рИО)-0.02], [цИО> 0.4.РИО> О], [ЧИО>"0.8,рИО>"О], [ЧИО) О,РИО)=0 3], [ЧИО)-0.6.рИО) О! ], ягора>ге*.1,снгйюа-[20.15], аггОнь-зпа)1.ясепе-ьогс(Нец[2]).1!песо1ог-Ы асч.со!оп-дгау, ахея-попедь!скпеяя-О>: > р!срьаяе2 :- ОЕО)ос(яооя(а-2,Нее[1]).Нее[2].!"-14..14. ПОИ О >-1.5. РИ 0)-0]. [ЧИ 0)-1.2.
Р1 ( 0)-О), [цИО>-О В,рИО>-О.О],[цмо>-0.5,РИО>=О]. [цИО)-О.2. РИО)-О]] Мерь ! ге . 1, Сп пвг!О-[20. 15]. аггонь-яеа>1, ьсепе-ьогг(нец[2]).1!песо>ог-о)асй.со)ог-йгау, ахея-попе дь!сгпеяь-О); Теперь построим для выбранных значений параметра графики потенциальной энер- гии, обратившись дважды к команде р1 ог, и присвоим результаты переменным р! о1Н1 и р10СН2: > р1о>Н] -р!ЬС(ьоЬя(4=0,0)Ш1 -1 5 1.5.
ахея-оспе. со!о Ь)асх Л!С)е "а-0". 1!(1е(оп!-[СООй!Ей.ОВ[!ООЕ,20].)аое)ь-["".""]); > р>огН2: р)аг(зовя(а-2.У).ц1--1.5..1.5, ахея-попе, со)ог-Ь>аса.в!!>е-'"а-2". г)Я>е(опг-[сООй!ей,ОВ[!00е.20].)аье)ь-["",""]): Для совмещения картин на одном рисунке сначала объединим их в один графи- ческий объект, запретив наложение рисунков параметром !пьеццепсе-Ьгае; и при- своим результат переменной Ьеп>рр) 01: > яеерр)ог;-р)о!я[0)яр!ау](р>огН1,р!ЬаН2,р!срааяе1,р!српаяе2. япьециепсе-Сгое): Следующая команда выводит все четыре картины на одном рисунке (см.
Рнс. 10.6): > р>ось[О!ьр)ау](яеврр)оя.!пьециепсе-Га)ьа)! Движение марика в потенциальной лме 2б7 а=О )ц 0),У Рис. 10.6, графики потенциальной энергии и соответствующие фаэовые портреты длп двух значений параметров Из полученных фазовых портретов видно, что колебания для консервативной системы не затухают. Для а<1 существуют два типа движений: одни происходят в окрестности равновесий, соответствующих локальным минимумам потенциальной энергии, а другие охватывают оба эти равновесия. При а>1 все колебания происходят вокруг единственного равновесия, соответствующего минимуму потенциальной энергии.
Система с диссипацией Перейдем к исследованию системы с трением. В уравнение для импульса добавим диссипативный член, который в зависимости от знака параметра Ь определяет либо диссипацию, либо накачку энергии. Переменной Оец присвоим измененную систему обыкновенных дифференциальных уравнений: > Оец.
[Нец]: дед[1][1]:-1 Ьз(дед[1][1])-поз(дец[1][1])-Ь*р1(1): Оец:-Оец[Ц Ое)[2]; ))сд:=~ — ГР1(т)=-ц1(т) -(а — 1)ц)(т)-ЬР1(т),— ц)(т) р1(т)~[01(т),ц)(т)] Гд д 'и'[дт 'дт Теперь изучим влияние трения на динамику системы. Для этого построим фазовые портреты для двух значений параметра а (О и 2) и Ь 0.1 н присвоим результаты переменным р1с1 и р! с2: > р1с1: ОЕр1 М(вцьв(а-О, Ь-0.1,0ец[1]),дед[2]Л-О ..
ВО, ПцИО)"1.5,р1(0)-0.0], [Ц1(О) 0.1.р1(0)-0.0]].стерв!те-0.1. гд гдг10-[20,15],аггоыв заа11. всепееагт(над[2]), со1ог-дгау.ахез-попе,Ф!скпевв-О. 1!11е-"а-0 ь-О. 1". 11песо1оп-Ь)аси Л!11етопс-[С0001Ей, 00[0,15]): > р!с2:-ОЕр)от(воьв(а-2,0-0.1,дед[1]),Оец[2]Л-О..ВО, Пц1(0)"1.5.р1(0)-О.ОП.эсера!ае-.1,01гдг!0-[20.15]. а ггоиа-ми1 1, 263 Глава 1ж Примеры ров)ения задач ясепе-яогт(над[2]),11песо!ог-Ь)асх,со1ог-дгау. ахея-попеЛП1сйпеяя-0,111)е-"а-2 Ь-0.1". С)11ЕГОпт-(СООй!Ей, ВО[0.15]): Следующие команды выводят на одном рисунке (см. рис. 10.7) оба фазовых портрета; > иттп(р1отя,етяр1ау): > Ш яр1ау(оп яр1ау([р1с1.ртс2].!пяе)попсе-(гое), тпяейнепсе-Га)яе): =о ъ=о .
1 и=2 Ъ=О. 1 Рис. 10.7. Фавовыв портреты для двух наборов параметров Вычисления показывают, что для каждого равновесия существует множество начальных данных, из которых решение к нему стремится. При введении трения равновесия системы становятся асимптотически устойчивыми и исследование их устойчивости можно провести средствами (тт[ар!е. Равновесия и их устойчивость Остановимся на изучении равновесий и их устойчивости для диссипативной системы. Вначале получим уравнения равновесий и найдем их координаты; > Еде)1 ец:-ехрапе(яиоя(д1(С)"д!.р1(С)-р1.0ед[1]И: Еди(1 ед:= [О=-д1> — д1 а +д1-Ьр1,0=р1) > Еди(1:-яо1че(сопчегт(Еди11 ед,яес). (р1,О1)); иди(1>м (р1=0,д1= 0), (р1= 0, д! =Копн]Г( а~+а-1,(аЬе1 = Ь1) ) Далее вычислим матрицу линеаризации системы и характеристический много- член: > А:-1тпа!д[]асоЬ)ап](мар(гля,Едот1 е)).[р1.01]): -Ь -Зт)1 -а+1 1 1 0 > слр:-1)па)д[сПагро)у](А.)апвеа): еар:м Хт + ]ч Ь + 3 д1 ~ + а - 1 Движение шарика в потенциальной яме 2б9 Решая полученное уравнение, найдем собственные значения и присвоим их переменной е!9 ец: : юд ь):->и1чглсьр,)шйса), ' г е(Х ед:= - — Ь + — /Ь вЂ” 12 д! — 4 а + 4, — — Ь вЂ” - 1 Ь вЂ” 12 д! - 4 а + 4 2 2 ' 2 2 Теперь, подставив значения параметров в полученные выражения, легко вычис- лить координаты любого равновесия и изучить его устойчивость.
Отметим, что для всех равновесий координата р1 равна нулю и в выражениях для собственных чисел фигурирует только ц1. Выделим из множества равновесий координаты ц1, а затем с помощью команды нар2 только их значения: > Еци!1 ц1:-»Еци!1[1][2],а11ча1иеп(Ецит1[2][2])1.
Едш! д 1:= » д! = О, д! = -,Г а ь 1, д! = чга+ 1 ) Еци!1 р1о(:-мпр2(ор,2! [до!1 ц1); еди!!р)ог;= 1 О, тсеа + 1, — ч'-а + 1 ) Представим зависимость координаты ц1 равновесия и характера его устойчивости от параметров а и Ь графически. Опишем процедуру Еци!1 ч)з, которая для данно- горавновесня строитповерхностьц1наинтервалеа1[-1.4.2.б] нЫ[-1,)].Входным параметром процедуры является номер равновесия.
Внутри процедуры использу- ется локальная переменная Е], которой присваивается максимальное собственное значение для данного равновесия. Для вывода поверхности воспользуемся коман- дой р1 о[3!] пакета Мар]е, а дпя задания цвета введем функцию тт. Функция тт при- нимает значение 0.4, если максимальное собственное значение положительно, и 0.9 в противном случае. Таким образом, на рисунке устойчивые равновесия бу- дут обозначены более светлым цветом: > гциг1 ч!ш "ргис('::гпгедег) 1аса' т!.[(; ().-гах(еча)с(йе(виьс(р1"Ь.ц!"Еаит) р)ог(т],егд ец[ 1]))), еча1 с(йе(пиьз(р1-0 .01-Еци! 1 р)от[!] .е!д ец[1] )) ) ); тт;-ргесен!ге(еча1!((1)>0,0.4.0.9); р)о(34(Еци!1 р)от[!],а--1.4.
2.Ь.Ь--1 .1, со)ог [!Г.Л!.(г].дг!О-[31,40]): епи; Едш! Мг: ртос((с!лгелег) 1оса1 Г»,]]; ]! и>гаах(сча!с(%(пиьп(р! =О, д! = Едш! р!от1г], е(Х ед[1]))), сча!с(9»(пиЬп(р! = О, д! = Един р!ос» Ц, е!Х ед [ 1]) ) ) ); ]Ум> р!ссстч!пе( О < счаИ[Г! ), .4, .9); р)отзс)( Един р!от[ (], а = -14 .. 26, Ь = -1 .. 1. со!ог = [[~]ь]]г], лги = [31, 40 ] ) спс) ртос Обратившись трижды к описанной процедуре, построим бифуркационную диаграмму для трех равновесий и характерных интервалов изменения параметров (см.
рис. 10,8): > отпртаи(пец(Еци!1 чтп(!).1-1..3).ахея-(сапе). 270 Глава 10. Примеры ранения задач с!11е-"Бифурхационнав лнатраииа",ог!епсас!Ьп-[50.50], С!11е(оп(-[СООЙ!ЕЙ. 14].1апе1з-["а","Ь"."р!"]): Бифуркациснная уплапрамма !5 ! 0.5 р! 0 -0.5 -! -!.5 -! Рнс. Зо.а. Поверхности равновесий в пространстве парвиетров и переменной р! Видно, что нулевое равновесие существует при всех значениях параметров и устойчиво прн г>1 н Ь>0, а ненулевые равновесия существуют только при г«1 и устойчивы, когда параметр Ь отрицателен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
